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1、第八章 立体几何,-2-,8.1 空间几何体的结构 及其三视图和直观图,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,1.空间几何体的结构特征,平行且相等,全等,任意多边形,有一个公共顶点的三角形,相似,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,矩形,直角边,直角腰,圆锥,半圆面或圆面,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,2.三视图 (1)几何体的三视图包括 ,分别是从几何体的 方、 方、 方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 基本要求: , , . 画法规则: 一样高, 一样长, 一样宽;看不到的轮廓线画 线.,正视图、侧视图、俯视图,正前,正左,正上,长对正,高平齐,宽相
2、等,正侧,正俯,侧俯,虚,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,3.直观图 (1)画法:常用 画法. (2)规则 原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴、y轴的夹角为 ,z轴与x轴和y轴所在平面 . 原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中 ,平行于y轴的线段长度在直观图中 .,斜二测,45(或135),垂直,保持不变,变为原来的一半,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,4.常用结论 (1)常见旋转体的三视图 球的三视图都是半径相等的圆. 底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. 底面与水平面平行
3、放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. 底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,2,-10-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( ) (2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.( ) (4)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.( ) (5)在用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中A=
4、45.( ),答案,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.(教材习题改编P8TA1(2)给出下列命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; 棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,解析 不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,
5、如图(1)所示;不一定.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.,-13-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( ),答案,解析,-14-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( ),答案,解析,-15-,知识梳理,双基自测
6、,2,3,4,1,5,5.(2018湖北襄阳月考)如图,已知直观图四边形ABCD是一个底角为45,腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是( ),答案,解析,-16-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.从空间几何体的定义入手,借助几何模型强化其结构特征. 2.注意空间几何体的不同放置对其三视图的影响. 3.在斜二测画法中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定端点的办法来画,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置.,-17-,考点1,考点2,考点3,例1下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一
7、条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 思考如何熟练应用空间几何体的结构特征?,答案: D,-18-,考点1,考点2,考点3,解析: A错误,如图(1)是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图(2),若ABC不是直角三角形,或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾. 图(
8、1) 图(2),-19-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力. 2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,依据题意判定. 3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.,-20-,考点1,考点2,考点3,对点训练1设有以下命题: 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; 底面是矩形的平行六面体是长方体; 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形; 棱台的相对侧棱延长后必交于一点; 其中
9、真命题的序号是 .,答案:,-21-,考点1,考点2,考点3,解析:命题符合平行六面体的定义,故命题是真命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题是假命题;命题是真命题,如图,PD平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明PAB,PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形;命题由棱台的定义知是真命题.,-22-,考点1,考点2,考点3,例2(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图,D是ABC中BC边的中点,且ADy轴,AB,AD,AC三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,则( ) A.ABADAC B.ACADAB C.AB=ACAD D.ADABAC,C,-23-,考点
10、1,考点2,考点3,(2)如图,已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形,则 原ABC的面积为 . 思考用斜二测画法画直观图的方法技巧有哪些?,-24-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)ADy轴,根据斜二测画法的规则,在原图形中应有ADBC,又AD为BC边上的中线,所以ABC为等腰三角形.AD为BC边上的高,则有AB,AC相等且大于AD.,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)(方法一)建立如图所示的坐标系xOy,ABC的顶点C在y轴上,边AB在x轴上,OC为ABC的高. 把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴,则点C变为点C,且OC=2OC,点A,B即为点A,B,长度不变. 已知AB=A
11、C=a,在OAC中, 由正弦定理,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出. 2.把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度变成原来的2倍. 3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:,-28-,考点1,考点2,考点3,对点训练2已知正三角形ABC的边长为a
12、,则它的直观图的面积是 .,答案,解析,-29-,考点1,考点2,考点3,考向一 由空间几何体的直观图识别三视图 例3一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是( ) 思考由直观图得三视图的基本思路是什么?,答案,解析,-30-,考点1,考点2,考点3,考向二 由空间几何体的三视图还原直观图 例4(2018江西赣州十四县市期中)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的各个面中最大面的面积为 ( ),思考由三视图还原几何体的直观图的基本步骤有哪些?,答案,解析,-31-,考点1,考点2,考点3,考向三 由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 例5如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出
13、的是一个锥体的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是( ) 思考各视图之间的联系是什么?,答案,解析,-32-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示. 2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图. 3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.,-33-
14、,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2018安徽马鞍山二模)如图,点E在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1上,且CE= CC1,削去正方体过B,E,D1三点所在的平面下方的部分,则剩下部分的侧(左)视图为( ),A,-34-,考点1,考点2,考点3,(2)(2018河北衡水调研)某几何体的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图可以为( ),B,-35-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)先作出B,E,D1三点所在的平面,可以取AA1的中点F,则平行四边形BED1F就是B,E,D1三点所在的平面(两个平行的平面被第三个平面所截交线平行),所以剩下部分的侧(左)视图是A,故选A. (
15、2)由俯视图与正视图可知,该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.,-36-,考点1,考点2,考点3,1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 2.旋转体要抓住“旋转”的特点,弄清底面、侧面及其展开图的形状. 3.三视图的画法: (1)实线、虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、高平齐、宽相等”.,-37-,考点1,考点2,考点3,1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点. 2.空间几何体不同放置
16、时其三视图不一定相同. 3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易忽视实虚线的画法.,-38-,易错警示三视图识图中的易误辨析 典例将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为( ),-39-,易错分析:(1)不能正确把握投影方向、角度致误;(2)不能正确确定点、线的投影位置;(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线. 答案:B 解析:侧视图中能够看到线段AD1,应画为实线,而看不到B1C,应画为虚线.由于AD1与B1C不平行,投影为相交线,因此选B. 反思提升1.因对三视图的原理认识不到位,区分不清选项A和B,而易误选A. 2.因对三视图的画法要求不明而误选C或D,在画三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画,被遮住的部分的轮廓线用虚线画. 3.解答此类问题时,还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图,在复习时要明确三视图的含义,掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求.,