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1、高考数学（浙江专用）,10.3 抛物线及其性质,考点一 抛物线的定义和标准方程,考点清单,考向基础 1.抛物线的定义 到一定点F和定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做 抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 焦点在x轴上,标准方程为y2=2px(p0). 焦点在y轴上,标准方程为x2=2py(p0). 要根据一次项来判断焦点的位置,若x为一次项,则焦点在x轴上,若y为一 次项,则焦点在y轴上.一次项系数大于0时,焦点在正半轴上,系数小于0 时,焦点在负半轴上.,考点二 抛物线的几何性质,考向基础 1.抛物线的图形及其性质,2.点P(x0,y0)和抛物线y
2、2=2px(p0)的关系 (1)P在抛物线内(含焦点) 2px0. 【知识拓展】 1.如图所示,AB是抛物线x2=2py(p0)的过焦点的一条弦(焦点弦),分别过 A,B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论:,(1)点P的轨迹是一条直线,为抛物线的准线l:y=- ; (2)两切线互相垂直,即PAPB; (3)PFAB; (4)点P的坐标为 . 2.焦点弦:F为抛物线的焦点,AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,A(x1,y1),B (x2,y2),AB的倾斜角为. (1)x1x2= ; (2)y1y2=-p2; (3)弦长l=x1+x2+p,x1+x22 =p,即当x1=x2时
3、,弦长最短,为2p; (4)弦长l= ;,(5)SAOB= ; (6)设点A在x轴上方,B在x轴下方,则|AF|= ,|BF|= ; (7) + = ; (8)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切; (9)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切; (10)焦点F对A,B在准线上射影的张角为90. 3.非焦点弦性质 (1)已知直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点,若OAOB,则直线l过 定点(2p,0),反之亦成立; (2)已知M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对,称轴上一点,则|MN|min=,方法1 求抛物线标准方程的方法 1.定义法:根
4、据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的值,得到抛物 线的标准方程. 2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定p的值,这里应注意抛物线 的标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在x轴上的,设为y2=ax(a 0),焦点在y轴上的,设为x2=ay(a0).,方法技巧,例1 (2017浙江温州十校期末联考,14)若OAB的垂心H(1,0)恰好为抛 物线y2=2px(p0)的焦点,O为坐标原点,点A、B在此抛物线上,则此抛物 线的方程是 ,OAB的面积是 .,解题导引,解析 由H(1,0)为抛物线的焦点,得 =1,所以p=2,所以抛物线的方程是 y2=4x.由已知条件可知A、B关于x轴对称
5、,可设A ,B ,y0 0且y02.由AHOB,得 =-1,解得y0=2 ,故OAB的面积S= 4 5=10 .,答案 y2=4x;10,评析 本题考查抛物线的定义和标准方程,抛物线的对称性,三角形垂 心的性质,面积的计算等基础知识,考查推理运算能力.,方法2 利用抛物线的定义解决有关问题的方法 抛物线是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹,利用抛物线的定义解 决问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等 价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物 线焦点弦有关问题的有效途径.,例2 (2017浙江杭州二模(4月),7)设倾斜角为的直线经过抛物线C:y2= 2px(p0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴 下方.若 =m,则cos 的值为 ( ) A. B. C. D.,解题导引,解析 如图,过点A,B分别作准线l的垂线,垂足分别是M,N,再过点B作AM 的垂线,垂足为B1. 由抛物线的定义知cos = = = = = ,故选A.,答案 A,