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1、1.2 不等关系及简单不等式的解法,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,1.两个实数比较大小的方法,提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.,=,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.不等式的性质 (1)对称性:abbb,bc . (3)可加性:aba+c b+c;ab,cda+c b+d. (4)可乘性: ab,c0ac bc;ab,cb0,cd0ac bd. (5)可乘方:ab0an bn(nN,n1).,ac,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,-5-,知识梳理,双基
2、自测,2,3,4,1,5,4.三个“二次”之间的关系,x|xx2或xx1,x|x1xx2,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式的解法,x|xa,x|xa,x|axb,2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)abac2bc2. ( ) (3)若关于x的不等式ax2+bx+c0. ( ) (5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R. ( ),答案,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.若ab0,cd
3、0,则一定有( ),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.若0ab1,则下列不等式成立的是( ),答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,A.x|1x3 B.x|-1x3 C.x|-1x0或0x3 D.x|-1x0或1x3,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.在应用不等式性质时,不可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加,“同向且两边同正的不等式”才可相乘,“可乘性”中的c的符号等都需要注意. 2.当判断两个式子大小时,对错误的关系式举反
4、例即可,对正确的关系式,则需推理论证. 3.解不等式ax2+bx+c0(0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( ) A.MN C.M=N D.不确定 A.abc B.cba C.cab D.bac 思考比较两个数(式)的大小常用的方法有哪些?,答案,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1). a1(0,1),a2(0,1),a1-10,即M-N
5、0.MN. (2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.,易知当xe时,f(x)f(4)f(5),即cba.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得比较大小常用的方法有:作差法、作商法、构造函数法. (1)作差法的一般步骤是:作差;变形;定号;下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式. (2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小. (3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,
6、c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( ) A.cba B.acb C.cba D.acb (2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是 .,答案,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2(1)如果aR,且a2+aa-a2-a B.a2-aa-a2 C.-aa2a-a2 D.-aa2-a2a (2)若ab0,cd0,则一定有( ),思考判断多个不等式是否成立的常用方法有哪些?,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质
7、,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(1)已知aabab2 B.ab2aba C.abaab2 D.abab2a (2)已知a,b,cR,则下列命题中正确的是( ) A.若ab,则ac2bc2,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一 不含参数的一元
8、二次不等式 例3不等式-2x2+x+30的解集为 . 思考如何求解不含参数的一元二次不等式?,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二 分式不等式 思考解分式不等式的基本思路是什么?,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向三 含参数的一元二次不等式 例5解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a0. 思考解含参数的一元二次不等式时,分类讨论的依据是什么?,解 由x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0, 故x1=a,x2=1. 当a1时,x2-(a+1)x+a0的解集为x|1xa, 当a=1时,x2-(a+1)x+a0的解集为, 当a1时,x2
9、-(a+1)x+a0的解集为x|ax1.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.不含参数的一元二次不等式的解法:当二次项系数为负时,要先把二次项系数化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,并求出相应方程的两个根,最后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集. 2.解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将 或高次不等式.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.解含参数的一元二次不等式要分类讨论,分类讨论的依据是:(1)二次项中若含有参数应先讨论是等于0,小于0,还是大于0,再将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式.(2)当不等式对应方
10、程的根的个数不确定时,讨论判别式与0的大小关系.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+10.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解:若a=0,则原不等式等价于-x+11;,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,当a=1时,原不等式的解集为;,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一 在R上恒成立求参数范围 例6若一元二次不等式 对一切实数x恒成立,则k的取值范围为( ) A.(-3,0 B.-3,0) C.-3,0 D.(-3,0)
11、 思考一元二次不等式在R上恒成立的条件是什么?,答案,解析,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二 在给定区间上恒成立求参数范围 例7设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围. 思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向三 给定参数范围的恒成立问题 例8已知对任意的k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是 . 思考如何求解给定参数范围的恒成立问题?,答案,解析,-
12、34-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.ax2+bx+c0(a0)对任意实数x恒成立的条件是,2.不等式在某区间上恒成立问题的求解方法:设f(x)=ax2+bx+c. (1)不等式解集法:不等式在集合A中恒成立,等价于集合A是不等式解集B的子集,通过求不等式的解集,并研究集合的关系求出参数的取值范围. (2)函数最值法:已知二次函数f(x)的值域为m,n,则f(x)a恒成立f(x)min=ma;f(x)a恒成立f(x)max=na. (3)分离参数法:先将参数与变量分离,转化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式;再求f2(x)的最大(或最小)值;最后通过解不等式f1()f
13、2(x)max或f1() 2 () min 得参数的范围.,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一种新的函数,然后利用新函数求解.确定主元的原则:知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)设a为常数,xR,ax2+ax+10,则a的取值范围是( ) A.(0,4) B.0,4) C.(0,+) D.(-,4) (2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是 . (3)已知不等式x
14、yax2+2y2对任意的x1,2,y2,3恒成立,则实数a的取值范围是 .,答案,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.比较法中的作差法的主要步骤为作差 变形 判断正负. 2.判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法很简单. 3.简单的分式不等式一般可以先等价转化为一元二次不等式,再利用一元二次不等式的解法进行求解. 4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a0时的情形.,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,5.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.,