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1、 2.7 函数图象,教材研读,1.函数的图象,2.平移变换,3.对称变换,4.伸缩变换,5.作函数图象的一般步骤,考点突破,考点一 作函数图象,考点二 识图与辨图,考点三 函数图象的应用,1.函数的图象,教材研读,一个函数的图象经过适当的变换,可以得到另一个与之相关的函数图象. 在高考中要求学生掌握三种变换: 平移变换 、 伸缩变换 、 对称变换 .,2.平移变换 (1)y=f(x)的图象向 左 平移a(a0)个单位得到函数y=f(x+a)的图象. (2)y=f(x-b)(b0)的图象可由y=f(x)的图象向 右 平移b个单位得到. 对于左右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀: 左
2、加 右减 .而对于上下平移变换,相比较则容易掌握,原则是 上加下减 ,但要注意加减指的是在f(x)整体上.如:h0,y=f(x)h的图象可由y=f(x) 的图象向上(下)平移 h 个单位而得到.,3.对称变换 (1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 y轴 对称; (2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 x轴 对称; (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 原点 对称; (4)y=|f(x)|的图象:将y=f(x)的图象在x轴 下方 的部分关于x轴翻折, 其余部分不变; (5)y=f(|x|)的图象:先作出y=f(x)(x0)的图象,再利用偶函数的图象关于 y轴 对称,作出y
3、=f(|x|)(x0)的图象.,4.伸缩变换 (1)y=Af(x)(A0)的图象:将y=f(x)的图象上所有点的 纵坐标变为原 来的A倍 ,横坐标不变; (2)y=f(ax)(a0)的图象:将y=f(x)的图象上所有点的 横坐标变为原来 的 ,纵坐标不变.,5.作函数图象的一般步骤 (1)求出函数的定义域; (2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性等)和图象上的特殊点、线(如渐 近线、对称轴等); (4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象.,6.掌握基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数 函数、三角函数)的图象,它们是图象变换的基础.,7.函数图象是对
4、函数关系的一种直观、形象的表示,是体现数形结合思 想的基础,关于函数图象的知识,应解决好以下三个方面的问题: (1)作图:在定义域内依据函数的性质选取关键的一部分点; (2)识图:在观察、分析图象时,要注意图象的分布、变化趋势、具有的 性质,以及解析式与图象的关系等; (3)用图:利用函数的图象可以讨论函数的性质,确定方程根的个数,等等.,8.证明图象的对称性时应注意: (1)证明函数图象的对称性,即证明图象上的任意一点关于对称中心(或 对称轴)的对称点仍在图象上; (2)证明曲线C1与C2的对称性,即要证明C1上任一点关于对称中心(或对 称轴)的对称点在C2上,反之亦然.,知识拓展 (1)y
5、=f(x)为偶函数函数图象关于y轴(即直线x=0)对称f(-x)=f(x)对定义域内任意x成立. (2)y=f(x+a)为偶函数y=f(x)图象关于直线x=a对称 f(a-x)=f(a+x) 对定义域内任意x成立,或f(2a-x)=f(x),f(2a+x)=f(-x)对定义域内任意x成立. (3)y=f(x)图象关于直线x= 对称f(a+x)=f(b-x)对定义域内任意x成立,或f(a+b-x)=f(x), f(a+b+x)=f(-x)对定义域内任意x成立.,(4)y=f(x)为奇函数函数图象关于O(0,0)对称f(-x)+f(x)=0对定义域内 任意x成立. (5)y=f(x+a)为奇函数y
6、=f(x)图象关于点(a,0)对称 f(a-x)+f(a+x)= 0 对定义域内任意x成立,或f(2a-x)+f(x)=0, f(2a+x)+f(-x)=0对定义域内 任意x成立.,1.函数f(x)= 的图象是 ( C ),2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对 称,则f(x)= ( D ) A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 D.e-x-1,3.已知函数f(x)= 则f(x)的图象为 ( A ),4.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1, 2),(3,1),则f 的值等于 2 .,5.若关于x的方程|
7、x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 (0,+) .,作函数图象 典例1 作出下列函数的图象: (1)y= ;,(2)y=x2-2|x|-1; (3)y=|log2(x+1)|.,考点突破,解析 (1)函数y= 的图象可由y= 的图象变换而来,如图所示. (2)y= 图象如图所示. (3)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x,方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就 可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而作出图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可去掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图
8、象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出.,易错警示 (1)画函数的图象一定要注意定义域. (2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函 数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析 式的影响.,1-1 分别作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|(x+1); (2)y= .,解析 (1)当x2,即x-20时, y=(x-2)(x+1)=x2-x-2 = - ; 当x2,即x-20时, y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2 =- + .,所以y= 其图象如图所示.,(2)作出y=
9、 的图象,保留y= 图象中x0的部分,加上y= 的图象 中x0的部分关于y轴的对称部分,即得出y= 的图象,如图中实线部 分所示.,典例2 (1)(2017课标全国文,7,5分)函数y=1+x+ 的部分图象大致 为 ( D ),识图与辨图,(2)(2016课标全国理,7,5分)函数y=2x2-e|x|在-2,2上的图象大致为 ( D ),解析 (1)当x(0,1)时,sin x0, y=1+x+ 1+x1,排除A、C. 令f(x)=x+ ,则f(-x)=-x+ =-f(x), f(x)=x+ 是奇函数, y=1+x+ 的图象关于点(0,1)对称,故排除B. 故选D. (2)令f(x)=y=2x
10、2-e|x|.,当x(0,2时, f(x)=2x2-ex, f (x)=4x-ex. f (x)在(0,2)上只有一个零点x0, 且当00. 故f(x)在(0,2上先减后增, 又f(2)-1=7-e20,所以 f(2)1. 故选D.,方法指导 识图、辨图的思想方法 (1)知图选式 从图象的左右、上下分布观察函数的定义域、值域; 从图象的变化趋势观察函数的单调性; 从图象的对称性观察函数的奇偶性; 从图象的循环往复观察函数的周期性. 利用上述方法,排除错误的选项,筛选正确的选项.,(2)知式选图 从函数的定义域判断图象的左右位置,从函数的值域判断图象的上下 位置; 从函数的单调性判断图象的变化趋
11、势; 从函数的奇偶性判断图象的对称性; 从函数的周期性判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除错误的选项,筛选正确的选项.,2-1 函数y=sin x2的图象是 ( D ),解析 由y=sin x2为偶函数判断函数图象的对称性,排除A,C;当x= 时,y =sin =sin 1,排除B,故选D.,2-2 (2019浙江金华十校调研)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f (x)的解析式可能是 ( A ) A.f(x)= cos x B.f(x)= sin x C.f(x)=xcos x D.f(x)=,解析 由题图可知,函数f(x)为奇函数,因此排除B.对于选项C,当x=0时, 函数值为
12、0,与图象不符,因此排除C.对于选项D,当x+时, f(x)0,与 图象不符,因此排除D.故选A.,典例3 已知函数f(x)= 则关于x的方程f =a的 实根个数不可能为 ( A ) A.5 B.6 C.7 D.8,函数图象的应用 命题方向一 确定方程根的个数,解析 如图所示,在不同的平面直角坐标系中分别画出函数f(x)以及g(x) =x+ -2的大致图象.,当a0时,方程f(x)=a有1个正根,方程f =a有2个根;当a=0时,方 程f(x)=a有1个正根,另一个根为0,f =a有3个根;当0a1时,方 程f(x)=a有2个正根和1个大于-4的负根,f =a有4个根;当a=1 时,方程f(x
13、)=a有1个负根-4和3个正根,f =a有7个根;当1a2 时,方程f(x)=a有3个正根和1个小于-4的负根,f =a有8个根;当 a=2时,方程f(x)=a有2个正根和1个小于-4的负根,f =a有6个,根;当a2时,方程f(x)=a有1个正根和1个小于-4的负根, f =a有4个根.故f =a的实根个数可能为2,3,4,6,7,8.故 选A.,规律总结 根据方程合理构造函数,若构造的是一个函数,则方程根的个数就是函 数图象与x轴的交点个数;若构造的是两个函数,则方程根的个数就是两 个函数图象的交点个数.,典例4 已知函数f(x)= 设aR,若关于x的不等式f(x) 在R上恒成立,则a的取
14、值范围是 ( A ) A.-2,2 B.-2 ,2 C.-2,2 D.-2 ,2 ,命题方向二 求参数的取值范围,解析 令g(x)= , 当a0时,如图1所示, 若f(x)g(x)恒成立,则g(0)2,得a-2, -2a0;,图1 当a0时,如图2所示,x1时, f(x)=x+ , 则f (x)=1- , 由f (x)= ,得x=2,此时y=3, 即点B(2,3), 则g(2)= +a3, 得a2,0a2.,图2 综上可知,-2a2.,典例5 (2015北京,7,5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x) log2(x+1)的解集是 ( C ) A.x|-1x0 B.x|-1
15、x1 C.x|-1x1 D.x|-1x2,命题方向三 求不等式的解集,解析 作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示. 其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1), 结合图象可知f(x)log2(x+1)的解集为x|-1x1,故选C.,方法指导 f(x),g(x)之间的不等关系表现在函数的图象上即为图象的上下位置关 系,通过图象可以直观地求解不等式.,典例6 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( C ) A. f(x)是偶函数,递增区间是(0,+) B. f(x)是偶函数,递减区间是(-,1) C. f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D
16、. f(x)是奇函数,递增区间是(-,0),命题方向四 研究函数性质,解析 将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)= 画出函数f(x) 的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f (x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.,方法指导 利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或容易画出在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶 性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于函数的图象研究,但一定要注 意函数的性质与图象特征的对应关系.,同类练1 下列区间中,函数f(x)=|lg(2-x)|在其上为增函数的是 ( D ) A.(-,1 B. C. D.1,2)
17、,解析 用图象法解决,将y=lg x的图象关于y轴对称得到y=lg(-x)的图象, 再向右平移两个单位,得到y=lg-(x-2)的图象,将得到的图象在x轴下方 的部分翻折上来,即得到f(x)=|lg(2-x)|的图象,由图象知,函数f(x)在1,2)上 是增函数,故选D.,同类练2 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等 的实根,则实数k的取值范围是 ( B ) A. B. C.(1,2) D.(2,+),解析 f(x)= 如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= . 要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)
18、与g(x)的图象有两个,不同的交点,由图可知, k1.,变式练 已知函数f(x)= 若f(3-a2)f(2a),则实数a的取值范 围是 -3a1 .,解析 根据所给的分段函数画出函数图象如下: 由图象可知函数f(x)在整个定义域上是单调递减的,由f(3-a2)2a,解得-3a1.,深化练 已知函数f(x)= g(x)=|x-k|+|x-1|,若对任意的x1,x2R, 都有f(x1)g(x2)成立,则实数k的取值范围为 .,解析 对任意的x1,x2R,都有f(x1)g(x2)成立,即f(x)maxg(x)min. 观察f(x)= 的图象可知, 当x= 时,函数f(x)max= . 因为g(x)=|x-k|+|x-1|x-k-(x-1)|=|k-1|, 所以g(x)min=|k-1|, 所以|k-1| ,解得k 或k .,故实数k的取值范围是 ,