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1、 广东省梅州市2013年中考数学试卷一、选择题每题3分，共5小题，共15分只有一个正确答案1（3分）（2013梅州）四个数1，0，中为无理数的是（）A1B0CD考点：无理数分析：无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项解答：解：1，0是整数，是有理数；是分数，是有理数；无理数有：故选D点评：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数2（3分）（2013梅州）从上面看如图所示的几何
2、体，得到的图形是（）ABCD考点：简单组合体的三视图分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中解答：解：从上面看易得上面一层有1个正方形，下面一层有3个正方形故选C点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图3（3分）（2013梅州）数据2，4，3，4，5，3，4的众数是（）A5B4C3D2考点：众数分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据求解即可解答：解：这组数据的众数为：4故选B点评：本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数4（3分）（2013梅州）不等式组的解集是（）Ax2Bx2C
3、x2D2x2考点：解一元一次不等式组专题：计算题分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解解答：解：，解不等式得，x2，解不等式得，x2，所以，不等式组的解集是x2故选A点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）5（3分）（2013梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A3B4C5D6考点：多边形内角与外角分析：由于任何一个多边形的外角和为360，由题意知此多边形的内角和小于360又根据多边形的内角和定理可知任何一个多边形的内角和必定是180的整数倍，则此多边
4、形的内角和等于180由此可以得出这个多边形的边数解答：解：设边数为n，根据题意得（n2）180360解之得n4n为正整数，且n3，n=3故选A点评：本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解二、填空题每题3分，共8题，共24分6（3分）（2013梅州）3的相反数是3考点：相反数分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号解答：解：（3）=3，故3的相反数是3点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号一个正数的相反数是负数，一个负数的相
5、反数是正数，0的相反数是0学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆7（3分）（2013梅州）若=42，则的余角的度数是48考点：余角和补角分析：根据互为余角的两个角的和等于90列式计算即可得解解答：解：=42，的余角=9042=48故答案为：48点评：本题考查了余角，熟记互为余角的两个角的和等于90是解题的关键8（3分）（2013梅州）分解因式：m22m=m（m2）考点：因式分解-提公因式法专题：计算题分析：直接把公因式m提出来即可解答：解：m22m=m（m2）点评：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键9（3分）（2013梅州）化简：3a2bab=3a考点：整式的除法专题：
6、计算题分析：原式利用单项式除单项式法则计算即可得到结果解答：解：原式=3a故答案为：3a点评：此题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除单项式法则是解本题的关键10（3分）（2013梅州）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为8106吨考点：科学记数法表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数解答：解：将8000000用科学记数法表示为：8106故答案为：8106
7、点评：此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值11（3分）（2013梅州）如图，在ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BAC的度数是105度考点：切线的性质分析：首先通过作辅助线构建直角三角形，然后解直角三角形即可解答：解：设圆与BC切于点D，连接AD，则ADBC；在直角ABD中AB=2，AD=1，B=30，因而BAD=60，同理，在直角ACD中，得到CAD=45，因而BAC的度数是105点评：运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角
8、三角形解决有关问题12（3分）（2013梅州）分式方程的解x=1考点：解分式方程专题：计算题分析：本题的最简公分母是x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解结果要检验解答：解：方程两边都乘x+1，得2x=x+1，解得x=1检验：当x=1时，x+10x=1是原方程的解点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根13（3分）（2013梅州）如图，已知ABC是腰长为1的等腰直角三形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个
9、等腰RtADE，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是（）2013考点：等腰直角三角形专题：规律型分析：设等腰直角三角形一个直角边为1，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，可以发现n个，直角边是第（n1）个的斜边长，即可求出斜边长解答：解：设等腰直角三角形一个直角边为1，等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍第一个（也就是RtABC）的斜边长：1=；第二个，直角边是第一个的斜边长，所以它的斜边长：=（）2；第n个，直角边是第（n1）个的斜边长，其斜边长为：（）n则第2013个等腰直角三角形的斜边长是：（）2013故答案为：（）2013点评：此题主要考查学生对等腰直角三角形的理
10、解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍，从中发现规律此题有一定的拔高难度，属于中档题三、解答题共10小题，共81分14（7分）（2013梅州）计算：考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值分析：分别进行零指数幂、二次根式的化简、绝对值、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可解答：解：原式=123+2=点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值等知识点，属于基础题15（7分）（2013梅州）解方程组考点：解二元一次方程组；解一元一次方程专题：计算题分析：+得到方程3x=6
11、，求出x的值，把x的值代入得出一个关于y的方程，求出方程的解即可解答：解：，+得：3x=6，解得x=2，将x=2代入得：2y=1，解得：y=1原方程组的解为点评：本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组的应用，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中16（7分）（2013梅州）如图，在平面直角坐标系中，A（2，2），B（3，2）（1）若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为（2，2）；（2）将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为（3，2）；（3）由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为
12、零的概率考点：关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移；概率公式分析：（1）根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数求解即可；（2）把点A的横坐标加5，纵坐标不变即可得到对应点D的坐标；（3）先找出在平行四边形内的所有整数点，再根据概率公式求解即可解答：解：（1）点C与点A（2，2）关于原点O对称，点C的坐标为（2，2）；（2）将点A向右平移5个单位得到点D，点D的坐标为（3，2）；（3）由图可知：A（2，2），B（3，2），C（2，2），D（3，2），在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（1，1），（0，0），（1，1），P=故答案为
13、（2，2）；（3，2）；点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化平移，概率公式难度适中，掌握规律是解题的关键17（7分）（2013梅州）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计图和图是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）九年级（1）班共有60名学生；（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是18；（3）若全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有300名考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图专题：
14、计算题分析：（1）根据“很好”的人数除以所占的百分比，即可求出九年级（1）班的人数；（2）根据“一般”所占的百分比乘以总人数求出“一般”的人数，进而求出“较差”的人数，求出所占的百分比，乘以360度即可求出所占的度数；（3）用“较差”与“一般”的百分比之和乘以1500，即可得到结果解答：解：（1）根据题意得：1830%=60（人），则九年级（1）班的人数为60人；（2）“一般”的人数为6015%=9（人），“较差”的人数为60（9+30+18）=3（人），则“较差”所占的度数为360=18；（3）“较差”、“一般”的学生所占的百分比之和为5%+15%=20%，则对安全知识的了解情况为“较差”、
15、“一般”的学生共有150020%=300（名）点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键18（8分）（2013梅州）已知，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（a，2）（1）求a的值及反比例函数的表达式；（2）判断点B（，）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由考点：反比例函数与一次函数的交点问题专题：计算题分析：（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出a的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）将B横坐标代入反比例解析式中求出纵坐标的值，即可作出判断解答：解：（1）将A（a，2）代入y=
16、x+1中得：2=a+1，解得：a=1，即A（1，2），将A（1，2）代入反比例解析式中得：k=2，则反比例解析式为y=；（2）将x=2代入反比例解析式得：y=，则点B在反比例图象上点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键19（8分）（2013梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积考点：扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质分析：（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出
17、DE的长，即可得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出DEA=30，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FABSDAES扇形EAB求出即可解答：解；（1）在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，AB=AE=4，DE=2，EC=CDDE=42；（2）sinDEA=，DEA=30，EAB=30，图中阴影部分的面积为：S扇形FABSDAES扇形EAB=22=2点评：此题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键20（8分）（2013梅州）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵A，B
18、两种树苗的相关信息如表：单价（元/棵）成活率植树费（元/棵）A2090%5B3095%5设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下列问题：（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？考点：一次函数的应用分析：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000x）棵，根据总费用=（购买A种树苗的费用+种植A种树苗的费用）+（购买B种树苗的费用+种植B种树苗的费用），即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）根据这批树苗种植后成活了925棵，
19、列出关于x的方程，解方程求出此时x的值，再代入（1）中的函数关系式中即可计算出总费用；（3）根据绿化村道的总费用不超过31000元，列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围，即可求解解答：解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000x）棵，由题意，得y=（20+5）x+（30+5）（1000x）=10x+35000；（2）由题意，可得0.90x+0.95（1000x）=925，解得x=500当x=500时，y=10500+35000=30000，即绿化村道的总费用需要30000元；（3）由（1）知购买A种树苗x棵，B种树苗（1000x）棵时，总费用y=10x+35000，由题意，
20、得10x+3500031000，解得x400，所以1000x600，故最多可购买B种树苗600棵点评：此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式、列出方程与不等式，明确不等关系的语句“不超过”的含义21（8分）（2013梅州）如图，在四边形ABFC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB与点E，且CF=AE，（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）若四边形BECF为正方形，求A的度数考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的性质分析：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离
21、相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；（2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即ABC=45，进而求出A=45度解答：（1）证明：EF垂直平分BC，CF=BF，BE=CE，BDE=90，BD=CD，又ACB=90，EFAC，BE：AB=DB：BC，D为BC中点，DB：BC=1：2，BE：AB=1：2，E为AB中点，即BE=AE，CF=AE，CF=BE，CF=FB=BE=CE，四边形BECF是菱形（2）解：四边形BECF是正方形，CBA=45，ACB=90，A=45点评：此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等知识，根据已知得
22、出CBA=45是解题关键22（10分）（2013梅州）如图，已知抛物线y=2x22与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）考点：二次函数综合题分析：（1）在二次函数的解
23、析式y=2x22中，令y=0，求出x=1，得到AB=2，令x=0时，求出y=2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出ABC的面积；（2）先将y=6代入y=2x22，求出x=2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4分两种情况讨论：当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x22，求出x的值，得到点P的坐标；当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x22，求出x的值，得到点P的坐标；（3）由于QDB=BOC=90，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：OB与BD边是对应边，OB与QD边是
24、对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可解答：解：（1）y=2x22，当y=0时，2x22=0，x=1，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2，又当x=0时，y=2，点C的坐标为（0，2），OC=2，SABC=ABOC=22=2；（2）将y=6代入y=2x22，得2x22=6，x=2，点M的坐标为（2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4平行四边形的面积为8，MN边上的高为：84=2，P点纵坐标为62当P点纵坐标为6+2=8时，2x22=8，x=，点P的坐标为（，8），点N的坐标为（，8）；当P点纵坐标为62=4时，2x22=4，x=，点P的坐标
25、为（，4），点N的坐标为（，4）；（3）点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），OB=1，OC=2QDB=BOC=90，以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：OB与BD边是对应边时，OBCDBQ，则=，即=，解得DQ=2（m1）=2m2，OB与QD边是对应边时，OBCDQB，则=，即=，解得DQ=综上所述，线段QD的长为2m2或点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，三角形、平行四边形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，但难度不大，注意要分情况讨论求解23（11分）（2013梅州）用如图，所示的两个直角三
26、角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P（1）当点P运动到CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求PAB的度数探究二：如图，将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN在旋转DEF的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由考点：几何变换综合题分析：（1）如答图1所示，过点A作AGBC于点G，构造RtAPG，利用勾
27、股定理求出AP的长度；（2）如答图2所示，符合条件的点P有两个解直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出角的度数；（3）如答图3所示，证明AMDCND，得AM=CN，则AMN两直角边长度之和为定值；设AM=x，求出斜边MN的表达式，利用二次函数的性质求出MN的最小值，从而得到AMN周长的最小值解答：解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：由题意，得CFB=60，FP为角平分线，则CFP=30，CF=BCsin30=3=，CP=CFtanCFP=1过点A作AGBC于点G，则AG=BC=，PG=CGCP=1=在RtAPG中，由勾股定理得：AP=（2）由（1）可知，FC=如答图2所示，以点A为
28、圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=过点A过AGBC于点G，则AG=BC=在RtAGP1中，cosP1AG=，P1AG=30，P1AB=4530=15；同理求得，P2AG=30，P2AB=45+30=75PAB的度数为15或75探究二：AMN的周长存在有最小值如答图3所示，连接ADABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，AD=CD，C=MAD=45EDF=90，ADC=90，MDA=NDC在AMD与CND中，AMDCND（ASA）AM=CN设AM=x，则CN=x，AN=ACCN=BCCN=x在RtAMN中，由勾股定理得：MN=AMN的周长为：AM+AN+MN=+，当x=时，有最小值，最小值为+=AMN周长的最小值为点评：本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点难点在于第（3）问，由发现并证明AMDCND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值