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1、分数阶傅立叶变换 （Fractional Fourier Fransform),简介,19291980 早期未被人们重视的研究。 1980年，V.Namias 从特征值和特征函数的角度提出了分数阶傅立叶变换的概念。定义为传统傅立叶变换的分数幂形式。 1994年， L.B.Ameida将分数阶傅立叶变换解释为时频面上的坐标轴旋转。,主要研究方向和成果,FRFT的基本性质 FRFT与其他时频分析工具的关系 FRFT的光学实现技术和应用 FRFT的数值计算与快速算法 FRFT在信号处理中的应用 高维分数阶傅立叶变换的研究,FRFT的一般研究思路：,1.将傅立叶变换的应用直接推广到FRFT。 传统的傅
2、立叶变换是将信号在一组正交完备的正弦基上展开，所以正弦信号的傅立叶变换是一个函数。 分数阶傅立叶变换是将信号在一组正交的chirp信号上展开，则一个chirp信号的某一阶次的FRFT也是一个函数。,FRFT的一般研究思路：,单分量、多分量Chirp信号的检测和参数估计。 雷达信号的目标检测和识别。 SAR和ISAR成像。 运动目标检测和识别。 宽带干扰抑制。,FRFT的一般研究思路：,2.将FRFT视为时频面上的旋转算子 信号FRFT的时频分布是信号时频分布的一个旋转。 可用于信号间的分离，噪声抑制。这是分数阶傅立叶域滤波或扫频滤波的基本原理。进一步提出分数阶傅立叶变换域的最佳滤波的概念。 可
3、以应用于多路复用技术。,FRFT的一般研究思路：,3.研究FRFT与其他时频分析方法的关系 研究与Wigner_Ville分布、小波变换、短时傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。利用已有的研究成果研究分数阶傅立叶变换的应用。,FRFT的一般研究思路：,例如：分数阶傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。 信号分数阶傅立叶变换的模平方是信号在该方向的Radon_Wigner变换。 利用这个结果可以研究基于分数阶傅立叶变换的噪声背景下的线性调频信号检测方法。,分数阶傅立叶变换的定义：,讨论：,变换核的性质：,讨论：,变换的性质：,性质4的证明：,FRFT的其他定义：,特征函数和
4、特征值（V.Namias,1980),计算：,分数阶傅立叶变换定义3：,分数阶傅立叶变换的性质：,线性性：,逆：,分数阶傅立叶变换的性质：,可交换性：,可结合性：,分数阶傅立叶变换的性质：,特征值与特征函数：,Parseval准则：,分数阶傅立叶变换的性质：,与Wigner分布的关系：,分数阶傅立叶变换的运算性质,分数阶傅立叶变换的运算性质：,分数阶傅立叶变换的运算性质：,例：,例：,分数阶傅立叶变换的运算性质：,常见信号的分数阶傅立叶变换,常见信号的分数阶傅立叶变换,常见信号的分数阶傅立叶变换,常见信号的分数阶傅立叶变换,常见信号的分数阶傅立叶变换,常见信号的分数阶傅立叶变换,分数阶傅立叶变换的不确定性原理：,例：方波的分数阶傅立叶变换,分数阶卷积：,傅立叶变换卷积定理成立的原因：,1.线性调频信号相乘,2.变尺度傅立叶变换,3.线性调频信号相乘,分数阶卷积的定义：,分数阶卷积的定义：,定理：,思考题：,两个函数的乘积的分数阶傅立叶变换有什么特点？ 两个函数相关的分数阶傅立叶变换应该如何定义？有什么特点？,离散分数阶傅立叶变换的计算,FRFT的离散化问题,离散分数阶傅立叶变换的计算,目前DFRFT的四种离散化算法,离散分数阶傅立叶变换的计算,2.分解方法：,时间和频率的无量纲化：,由于时域和频域采用不同的量纲，我们需要对时间和频率的无量纲化处理。,