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1、 各地中考数学压轴题精选4150_解析版【41.2012长沙】26如图半径分别为m，n（0mn）的两圆O1和O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，O2与x轴，y轴分别切于点R，点H（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由解答：解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），设过点O1
2、，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：（0mn），解得，所求直线的解析式为：y=x（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，Q（1，4）如解答图1，连接O1QQ（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到：O1Q=又O1Q为小圆半径，即QO1=m，=m，化简得：m210m+17=0 如解答图1，连接O2Q，同理可得：n210n+17=0 由，式可知，m、n是一元二次方程x210x+17=0 的两个根，解得：x=5，0mn，m=5，n=5+O1（m，m），O2（n，n），d=O1O2=8（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+
3、bx+c，因为开口向下，所以a0如解答图2，连接PQ由相交两圆性质可知，PQO1O2P（4，1），Q（1，4），PQ=，又O1O2=8，S1=PQO1O2=8=；又S2=（O2R+O1M）MR=（n+m）（nm）=；=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1抛物线过点P（4，1），Q（1，4），解得，抛物线解析式为：y=ax2（5a+1）x+5+4a，令y=0，则有：ax2（5a+1）x+5+4a=0，设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=，在x轴上截得的线段长为1，即|x1x2|=1，（x1x2）2=1，（x1+x2）24x1x2=1，即（）24（）=1，化简得：8a210a+1=0
4、，解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a0）矛盾，不存在这样的抛物线【42. 2012六盘水】25如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0t4）解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四
5、边形AQPQ那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。专题：代数几何综合题；压轴题。分析：（1）由PQBC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；（2）如解答图1所示，过P点作PDAC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值；（3）要点是利用（2）中求得的AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以
6、得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分；（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在RtPQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中AQP面积的表达式，这样可以化简计算解答：解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角（1）BP=2t，则AP=102tPQBC，即，解得t=，当t=s时，PQBC（2）如答图1所示，过P点作PDAC于点DPDBC，即，解得PD=6tS=AQPD=2t（6t）=t2+6t=（t）2+，当
7、t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分，则有SAQP=SABC，而SABC=ACBC=24，此时SAQP=12由（2）可知，SAQP=t2+6t，t2+6t=12，化简得：t25t+10=0，=（5）24110=150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t如答图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，即，解得：PD=6t，AD=8t，QD=ADAQ=8t2t=8t在RtPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8t）2+（6t）
8、2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=，t=5s时，AQ=10cmAC，不符合题意，舍去，t=由（2）可知，SAQP=t2+6tS菱形AQPQ=2SAQP=2（t2+6t）=2（）2+6=cm2所以存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2点评：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题 【43. 2012攀枝花】23如图，在平
9、面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点ACD均在坐标轴上，且AB=5，sinB=（1）求过ACD三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上AE两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值考点：二次函数综合题。专题：动点型。分析：（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OCODOA的长，进而确定ACD三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式（2）首先由AB的坐标确定直线AB的解析
10、式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分（3）该题的关键点是确定点P的位置，APE的面积最大，那么SAPE=AEh中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点解答：解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）；设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x3），得：2（3）a=4，a=；抛物线：y=x2+x+4（2）由A（2，0）
11、、B（5，4）得直线AB：y1=x；由（1）得：y2=x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1y2时，2x5（3）SAPE=AEh，当P到直线AB的距离最远时，SABC最大；若设直线LAB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直线L：y=x+；可得点P（，）由（2）得：E（5，），则直线PE：y=x+9；则点F（，0），AF=OA+OF=；PAE的最大值：SPAE=SPAF+SAEF=（+）=综上所述，当P（，）时，PAE的面积最大，为点评：该题考查的是函数的动点问题，其中
12、综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路【44. 2012山西】26综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标考点：二次函数综合题。解答：解：（1）当y=
13、0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线AC的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三
14、个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线BD的解析式为：y=x+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）【45
15、.2012黄石】25.（本小题满分10分）已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，且。（1）求抛物线的顶点坐标.（2）已知实数，请证明：,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，.请你用含有的表达式表示出的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则，两点间的距离为）【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；配方法【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a
16、的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值（2），因此将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式【解答】解：（1）抛物线过（,）点，3aa 分x2bxx2bx=的两根为x1,x2且且bb 分x2x（x）抛物线的顶点坐标为（，） 分（2）x，显
17、然当x时，才有 分（3）方法一：由平移知识易得的解析式为：yx2 分(m，m)，B（n，n）AOB为RtOA+OB=ABmmnn（mn）（mn）化简得：m n 分AOB=m nAOBAOB的最小值为，此时m,(,)分直线OA的一次函数解析式为x分方法二：由题意可求抛物线的解析式为：（1分） B(n，n2)A(m，m2)OCDyx，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则由 得 即 （1分）由（2）知：当且仅当，取得最小值1此时的坐标为（，）（2分）一次函数的解析式为（1分）【点评】该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能
18、灵活应用【46.2012广安】26如图，在平面直角坐标系xOy中，ABx轴于点B，AB=3，tanAOB=，将OAB绕着原点O逆时针旋转90，得到OA1B1；再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180，得到OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B、B1、A2（1）求抛物线的解析式（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求
19、得抛物线的解析式；（2）求出PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PBB1面积的最大值；值得注意的是求PBB1面积的方法，如图1所示；（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标解答：解：（1）ABx轴，AB=3，tanAOB=，OB=4，B（4，0），B1（0，4），A2（3，0）抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B、B1、A2，解得抛物线的解析式为：y=x2+x4（2）点P是第三象限内抛物线y=x2+x4上的一点，如答图1，过点P作PCx轴于点C设点P的坐标为（m，n
20、），则m0，n0，n=m2+m4于是PC=|n|=n=m2m4，OC=|m|=m，BC=OBOC=|4|m|=4+mSPBB1=SPBC+S梯形PB1OCSOBB1=BCPC+（PC+OB1）OCOBOB1=（4+m）（m2m4）+（m2m4）+4（m）44=m2m=（m+2）2+当m=2时，PBB1的面积最大，这时，n=，即点P（2，）（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为如答图2，过点Q作QDBB1于点D由（2）可知，此时QBB1的面积可以表示为：（x0+2）2+，在RtOBB1中，BB1=SQBB1=BB1QD=2，（x0+2）2+=2，解得x0
21、=1或x0=3当x0=1时，y0=4；当x0=3时，y0=2，因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（1，4）或（3，2）点评：本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握【47. 2012张家界】25如图，抛物线y=x2+x+2与x轴交于CA两点，与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中
22、点（1）分别求出点A点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿ABAO方向向BO移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。解答：解：（1）令y=0，即x2+x+2=0；解得 x1=，x2=2C（，0）、A（2，0）令x=0，即y=2，B（0，2）综上，A（2，0）、B（0，2）（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2，0）在直线上，0=k12+2k1=直线AB的解析式
23、为y=x+2（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，BAO=30，DOA=60；OD与O点关于AB对称OD=OA=2D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）因为y=过点D，3=，k=3（4）AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：APsin30=t，OQ=OAAQ=2t；SOPQ=（2t）t=（t2）2+；依题意，得0t4当t=2时，S有最大值为【48. 2012宜宾】22如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l：y=x5上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点CD（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点
24、P，使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。解答：解：（1）顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x5上，当x=1时，y=15=4，A（1，4）（2）ABD是直角三角形将A（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B（0，3）当y=0时，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD是直角三角形（3）存在由题意知：直线y=x5交y轴于点A（0
25、，5），交x轴于点F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF与OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x15），则G（1，x15）则PC=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2，4P（2，7），P（4，1）存在点P（2，7）或P（4，1）使以点ABDP为顶点的四边形是平行四边形【49. 2012武汉】25如图1，点A为抛物线C1：y=x22的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线
26、C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点NNQx轴于点Q，当NP平分MNQ时，求m的值考点：二次函数综合题。解答：解：（1）当x=0时，y=2；A（0，2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得直线AB解析式为y=2x2点C为直线y=2x2与抛物线y=x22的交点，则点C的横、纵坐标满足：，解得、（舍）点C的坐标为（
27、4，6）（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于DE两点yD=4，yE=，DE=FG=DE=4：3，FG=2直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点yF=2a2，yG=a22FG=|2aa2|=2，解得：a1=2，a2=2+2，a3=22（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NHy轴于点H；设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x22m；0=t22m，2m=t2y=x2t2，点P坐标为（0，t2）点N是直线AB与抛物线y=x2t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：，解得、（舍）N（2t，22t）NQ=22t，MQ=22t，MQ=NQ，MNQ=45MOT、NHT均为等腰直角三
28、角形，MO=OT，HT=HNOT=4，NT=，NH=（2t），PT=t+t2PN平分MNQ，PT=NT，t+t2=（2t），t1=2，t2=2（舍）2m=t2=（2）2，m=2【50.2012潜江】24如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐
29、标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；（2）分两种情况进行讨论，当AE为一边时，AEPD，当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，a2+a+2），分情况讨论，当P点在y轴右侧时，当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过A（1，0），B（4，0）两点，解得：y=x2+x+2；当y=2时，x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），即：
30、点D坐标为（3，2）（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为一边时，AEPD，P1（0，2），当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，P点的纵坐标为2，代入抛物线的解析式：x2+x+2=2解得：x1=，x2=，P点的坐标为（，2），（，2）综上所述：p1（0，2）；p2（，2）；p3（，2）（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，a2+a+2），当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=2（a2+a+2）=a2a，又CQO+FQP=90，COQ=QFP=90，FQP=OCQ，COQQFP，QF=a3，OQ=OFQF=a（a3）=3，CQ=CQ=，此时a=，点P的坐标为（，），当P点在y轴左侧时（如图2）此时a0，a2+a+20，CQ=a，PQ=2（a2+a+2）=a2a，又CQO+FQP=90，CQO+OCQ=90，FQP=OCQ，COQ=QFP=90，COQQFP，QF=3a，OQ=3，CQ=CQ=，此时a=，点P的坐标为（，）综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（，）点评：此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意