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1、3.1.3导数的 几何意义1,高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用,一、复习,1、导数的定义,其中：,其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,其几何意义是？,2:切线,能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。,不能,直线与圆相切时，只有一个交点P,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,1、曲线上一点的切线的定义,结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线PT.,点P处的割线与切线存在什么关系？,新授,设曲线C是函数y=f(x)的图象，,在曲线C上取
2、一点P(x0,y0),及邻近一,点Q(x0+x,y0+y),过P,Q两点作割,线，,当点Q沿着曲线无限接近于点P,点P处的切线。,即x0时, 如果割线PQ有一个极,限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在,曲线在某一点处的切线的定义,T,此处切线定义与以前的定义有何不同？,x,y,o,P,Q,M,为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？,思考：,P,Pn,割线,切线,T,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各
3、种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢？,即：当x0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，,Q2,Q3,Q4,T,继续观察图像的运动过程，还有什么发现？,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有
4、极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,题型三：导数的几何意义的应用,例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.,（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,题型三：导数的几何意义的应用,例2:如图,已知曲线 ,求: (1
5、)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,练：设f(x)为可导函数,且满足条件 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,题型三：导数的几何意义的应用,h,t,o,二、函数的导数：,函数在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。,课堂练习: 如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。 P80.B2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；,小结：求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: (1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 (2)利用点斜式求切线方程.,作业：P80 5,