2016年上海市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf

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1、1 2016 年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（本大题共有14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分 . 1 （4 分）设 xR，则不等式 |x 3| 1 的解集为 2 （4 分）设 z=，其中 i 为虚数单位，则 Imz= 3 （4 分）已知平行直线 l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0，则 l1，l2的距离 4 （4 分）某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72 ，1.78 ，1.75 ， 1.80 ，1.69 ，1.77，则这组数据的中位数是（米） 5 （4 分）已知点（ 3，9）在函数 f

2、（x）=1+a x 的图象上，则 f （x）的反函数 f 1（x）= 6 （4 分）在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 的边长为 3，BD1与底面所成 角的大小为 arctan，则该正四棱柱的高等于 7 （4 分）方程 3sinx=1+cos2x 在区间 0 ，2 上的解为 8 （4 分）在（） n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数 项等于 9 （4 分）已知 ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等 于 10 （4 分）设 a0，b0，若关于 x，y 的方程组无解，则 a+b 的取值 范围为 11 （4 分）无穷数列 an 由 k 个不同

3、的数组成， Sn为an 的前 n 项和，若对任意 nN *，S n2，3，则 k 的最大值为 12 （4 分）在平面直角坐标系中， 已知 A （1，0） ，B （0，1） ，P是曲线 y= 上一个动点，则?的取值范围是 13 （4 分）设 a，bR ，c0 ，2） ，若对于任意实数x 都有 2sin （3x） =asin （bx+c） ，则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 14 （4 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形 A1A2A8的中心， A1 （1，0）任取不同的两点 Ai，Aj，点 P满足+= ，则点 P落在第一 2 象限的概率是 二、选择题（ 54=20分） 1

4、5 （5 分）设 aR ，则“a1”是“a 21”的（ ） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件 16 （5 分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（） A=6+5cosB=6+5sin C=65cosD=65sin 17 （5 分）已知无穷等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且=S，下 列条件中，使得 2SnS（nN *）恒成立的是（ ） Aa10，0.6 q0.7Ba10，0.7 q0.6 Ca10，0.7 q0.8Da10，0.8 q0.7 18 （5分）设 f（x） 、g（x） 、h（x）是定义域为 R的三个函数，对于命题： f （

5、x）+g（x） 、f （x）+h（x） 、g（x）+h（x）均为增函数，则 f （x） 、g（x） 、 h（x）中至少有一个增函数；若f （x）+g（x） 、f （x）+h（x） 、g（x）+h （x）均是以 T 为周期的函数，则 f （x） 、g（x） 、h（x）均是以 T 为周期的函 数，下列判断正确的是（） A和均为真命题B和均为假命题 C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题 3 三、解答题（ 74 分） 19 （12分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O （及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱， 如图，长为，长为，其中 B1与 C在平面 AA1O1O的同侧 （1）求三棱锥 CO1A1

6、B1的体积； （2）求异面直线 B1C与 AA1所成的角的大小 20 （14 分）有一块正方形 EFGH ，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走于是，菜地分别为两个区域S1和 S2，其中 S1中的蔬菜运到河 边较近， S2中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内S1和 S2的分界线 C上的点到河 边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为 EF的中点， 点 F 的坐标为（ 1，0） ，如图 （1）求菜地内的分界线C的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是 S2面积的两倍， 由此得到 S1面积的经验值 为设 M是 C上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH为一边

7、，另一边过点M的矩 形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验 值” 4 21 （14 分）双曲线 x 2 =1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线 l 过 F2且与双曲线交于 A，B两点 （1）直线 l 的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设 b=，若 l 的斜率存在，且（+）?=0，求 l 的斜率 22 （16分）已知 aR ，函数 f （x）=log2（+a） （1）当 a=5 时，解不等式 f （x）0； （2）若关于 x 的方程 f （x）log2 （a4）x+2a5=0 的解集中恰好有一个 元素，求 a 的取值范围

8、（3）设 a0，若对任意 t ，1 ，函数 f （x）在区间 t ，t+1 上的最大值与 最小值的差不超过1，求 a 的取值范围 5 23 （18 分）若无穷数列 an 满足：只要 ap=aq（p，qN * ） ，必有 ap+1=aq+1，则称 an具有性质 P （1）若an具有性质 P，且 a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求 a3； （2）若无穷数列bn 是等差数列，无穷数列cn 是公比为正数的等比数列， b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断 an 是否具有性质 P，并说明理由； （3）设bn是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（nN

9、 * ） ，求证：“对任意a1，an 都具有性质 P”的充要条件为“ bn是常数列” 6 2016 年上海市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分 . 1 （4 分）设 xR，则不等式 |x 3| 1 的解集为（2，4） 【考点】 R2 ：绝对值不等式 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 59：不等式的解法及应用 【分析】由含绝对值的性质得 1x31，由此能求出不等式 |x 3| 1 的解 集 【解答】 解： xR，不等式 |x 3| 1

10、， 1x31， 解得 2x4 不等式 |x 3| 1 的解集为（ 2，4） 故答案为：（2，4） 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意 含绝对值不等式的性质的合理运用 2 （4 分）设 z=，其中 i 为虚数单位，则 Imz= 3 【考点】 A5：复数的运算 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5N：数系的扩充和复数 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数 z 的最简形式， 由此能 求出 Imz 【解答】 解： Z=23i ， Imz=3 7 故答案为： 3 【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意

11、复数 的乘除运算法则的合理运用 3 （4 分）已知平行直线 l1： 2x+y1=0， l2： 2x+y+1=0，则 l1， l2的距离 【考点】 IU：两条平行直线间的距离 【专题】 11：计算题； 29：规律型； 5B：直线与圆 【分析】 直接利用平行线之间的距离公式求解即可 【解答】 解：平行直线l1：2x+y 1=0，l2：2x+y+1=0，则l1， l2的距离： = 故答案为： 【点评】 本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力 4 （4 分）某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72 ，1.78 ，1.75 ， 1.80 ，1.69 ，1.77，则这组数据的中位数

12、是1.76 （米） 【考点】 BB ：众数、中位数、平均数 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 4O ：定义法； 5I ：概率与统计 【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得 到这组数据的中位数 【解答】 解： 6位同学的身高（单位：米）分别为1.72 ，1.78 ，1.75 ，1.80 ， 1.69 ，1.77 ， 从小到大排列为： 1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80 ， 位于中间的两个数值为1.75，1.77， 这组数据的中位数是：=1.76（米） 故答案为： 1.76 8 【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审

13、题，注意中位数的 定义的合理运用 5 （4 分）已知点（ 3，9）在函数 f （x）=1+a x 的图象上，则 f （x）的反函数 f 1（x）= log 2（x1） （x1） 【考点】 4R ：反函数 【专题】 34：方程思想； 35：转化思想； 51：函数的性质及应用 【分析】由于点（3，9）在函数 f（x）=1+a x 的图象上，可得 9=1+a 3，解得 a=2可 得 f （x）=1+2 x ，由 1+2 x=y，解得 x=log 2（y1） ， （y1） 把 x 与 y 互换即 可得出 f （x）的反函数 f 1（x） 【解答】 解：点（ 3，9）在函数 f （x）=1+a x 的图

14、象上， 9=1+a 3，解得 a=2 f （x）=1+2 x，由 1+2x=y，解得 x=log 2（y1） ， （y1） 把 x 与 y 互换可得： f （x）的反函数 f 1（x）=log 2（x1） 故答案为： log2（x1） ， （x1） 【点评】本题考查了反函数的求法、 指数函数与对数函数的互化，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 6 （4 分）在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 的边长为 3，BD1与底面所成 角的大小为 arctan，则该正四棱柱的高等于2 【考点】 L2：棱柱的结构特征 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5F

15、：空间位置关系与距离 【分析】 根据正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的侧棱 D1D底面 ABCD ，判断 D1BD为直 线 BD1与底面 ABCD 所成的角，即可求出正四棱柱的高 【解答】 解：正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的侧棱 D1D底面 ABCD ， D1BD为直线 BD1与底面 ABCD 所成的角， tan D1BD= ， 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 的边长为 3， 9 BD=3， 正四棱柱的高 =3=2， 故答案为： 2 【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算， 考查了线面角的定 义，关键是找到直线与平面所成的角 7 （4 分）方程

16、 3sinx=1+cos2x 在区间 0 ，2 上的解为或 【考点】 GF ：三角函数的恒等变换及化简求值 【专题】 11：计算题； 29：规律型； 35：转化思想； 56：三角函数的求值 【分析】 利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可 【解答】 解：方程 3sinx=1+cos2x ，可得 3sinx=2 2sin 2x， 即 2sin 2x+3sinx 2=0可得 sinx= 2， （舍去） sinx= ，x0 ，2 解得 x=或 故答案为：或 【点评】 本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力 8 （4 分）在（） n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256

17、，则常数 项等于112 【考点】 DA ：二项式定理 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5P：二项式定理 10 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2 n=256，求得 n=8在展开式的 通项公式中，令 x 的幂指数等于 0， 求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项 【解答】 解：在（） n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256， 2 n=256，解得 n=8， （） 8 中，Tr+1=， 当=0，即 r=2 时，常数项为 T3=（2） 2 =112 故答案为： 112 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式， 求展开式 中某项的系数

18、，二项式系数的性质，属于中档题 9 （4 分）已知 ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 【考点】 HU ：解三角形 【专题】 34：方程思想； 48：分析法； 58：解三角形 【分析】 可设 ABC的三边分别为 a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由 同角的平方关系可得sinC ，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 ，代入计算即可得到所求值 【解答】 解：可设 ABC 的三边分别为 a=3，b=5，c=7， 由余弦定理可得， cosC=， 可得 sinC=， 可得该三角形的外接圆半径为= 故答案为： 【点评】 本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运

19、用正弦定理和余弦定理， 考查运算能力，属于基础题 11 10 （4 分）设 a0，b0，若关于 x，y 的方程组无解，则 a+b 的取值 范围为（2，+） 【考点】7F：基本不等式及其应用； I8 ：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【专题】 35：转化思想； 4R ：转化法； 53：导数的综合应用 【分析】 根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b 的方程关系，利用转化 法，利用基本不等式的性质进行求解即可 【解答】 解：关于 x，y 的方程组无解， 直线 ax+y=1 与 x+by=1 平行， a0，b0， ， 即 a1，b1，且 ab=1，则 b=， 由基本不等式有： a+b=a+ 2

20、=2，当且仅当 a=1时取等，而 a 的范围为 a0且 a1，不满 足取等条件， a+b2， 故答案为：（2，+） 【点评】本题主要考查直线平行的应用以基本不等式的应用，考查学生的计算能 力 11 （4 分）无穷数列 an 由 k 个不同的数组成， Sn为an 的前 n 项和，若对任意 nN *，S n2，3，则 k 的最大值为4 【考点】 8I ：数列与函数的综合 【专题】 32：分类讨论； 48：分析法； 55：点列、递归数列与数学归纳法 【分析】 对任意 nN * ，Sn2 ，3，列举出 n=1，2，3，4 的情况，归纳可得n 12 4 后都为 0 或 1 或1，则 k 的最大个数为 4

21、 【解答】 解：对任意 nN * ，Sn2，3，可得 当 n=1时，a1=S1=2或 3； 若 n=2，由 S22 ，3，可得数列的前两项为2，0；或 2，1；或 3，0；或 3， 1； 若 n=3，由 S32，3，可得数列的前三项为2，0，0；或 2，0，1； 或 2，1，0；或 2，1，1；或 3，0，0；或 3，0，1；或 3，1，0；或 3，1， 1； 若 n=4，由 S32，3，可得数列的前四项为2，0，0，0；或 2，0，0，1； 或 2，0，1，0；或 2，0，1，1；或 2，1，0，0；或 2，1，0，1； 或 2，1，1，0；或 2，1，1，1；或 3，0，0，0；或 3，0

22、，0，1； 或 3，0，1，0；或 3，0，1，1；或 3，1，0，0；或 3，1，0，1； 或 3，1，1，0；或 3，1，1，1； 即有 n4 后一项都为 0 或 1 或1，则 k 的最大个数为 4， 不同的四个数均为2，0，1，1 故答案为： 4 【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法， 注意运用归纳思 想，属于中档题 12 （4 分）在平面直角坐标系中， 已知 A （1，0） ，B （0，1） ，P是曲线 y= 上一个动点，则?的取值范围是0 ，1+ 【考点】 9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5A：平面向

23、量及应用 【分析】设 P （cos，sin ） ， 0 ， ， 则= （1， 1） ，= （cos， sin +1） ， 由此能求出?的取值范围 【解答】 解：在平面直角坐标系中，A（1，0） ，B（0，1） ， 13 P是曲线 y=上一个动点， 设 P（cos，sin ） ， 0 ， ， =（1，1） ，=（cos，sin +1） ， =cos+sin +1=， ?的取值范围是 0 ，1+ 故答案为： 0 ，1+ 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题， 解题时要认真审 题，注意平面向量数量积的性质的合理运用 13 （4 分）设 a，bR ，c0 ，2） ，若对于任意实数x

24、都有 2sin （3x） =asin （bx+c） ，则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4 【考点】 H1 ：三角函数的周期性 【专题】 33：函数思想； 4R ：转化法； 57：三角函数的图像与性质 【分析】 根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同 【解答】 解：对于任意实数x 都有 2sin （3x）=asin （bx+c） ， 必有 |a|=2 ， 若 a=2，则方程等价为 sin （3x）=sin （bx+c） ， 则函数的周期相同，若b=3，此时 C=， 若 b=3，则 C=， 若 a=2，则方程等价为sin （3x）=sin （bx+c）=sin （bxc） ， 若 b

25、=3，则 C=，若 b=3，则 C=， 综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，） ， （2，3，） ， （ 2，3，） ， （2，3，） ， 共有 4 组， 14 故答案为： 4 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立， 利用三角 函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键 14 （4 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形 A1A2A8的中心， A1 （1，0）任取不同的两点 Ai，Aj，点 P满足+= ，则点 P落在第一 象限的概率是 【考点】 9Y：平面向量的综合题 【专题】 11：计算题； 38：对应思想； 41：向量法； 5

26、A：平面向量及应用； 5I ： 概率与统计 【分析】 利用组合数公式求出从正八边形A1A2A8的八个顶点中任取两个的事件 总数，满足+= ，且点 P 落在第一象限，则需向量+的终 点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案 【解答】解： 从正八边形 A1A2A8的八个顶点中任取两个， 基本事件总数为 满足+= ，且点 P落在第一象限，对应的Ai，Aj，为： （A4，A7） ， （A5，A8） ， （A5，A6） ， （A6，A7） ， （A5，A7）共 5 种取法 点 P落在第一象限的概率是， 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解

27、题 意是关键，是中档题 15 二、选择题（ 54=20 分） 15 （5 分）设 aR ，则“a1”是“a 21”的（ ） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件 【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】 35：转化思想； 4O ：定义法； 5L：简易逻辑 【分析】 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：由 a 21 得 a1 或 a1， 即“a1”是“a 21”的充分不必要条件， 故选： A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分 条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础 16

28、 （5 分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（） A=6+5cosB=6+5sin C= 65cosD=65sin 【考点】 Q4 ：简单曲线的极坐标方程 【专题】 31：数形结合； 35：转化思想； 56：三角函数的求值； 5S：坐标系和参 数方程 【分析】 由图形可知：时， 取得最大值，即可判断出结论 【解答】 解：由图形可知：时， 取得最大值， 只有 D满足上述条件 故选： D 16 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 17 （5 分）已知无穷等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且=S，下 列条件

29、中，使得 2SnS（nN *）恒成立的是（ ） Aa10，0.6 q0.7Ba10，0.7 q0.6 Ca10，0.7 q0.8Da10，0.8 q0.7 【考点】 89：等比数列的前 n 项和 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 54：等差数列与等比数列 【分析】 由已知推导出，由此利用排除法能求出结果 【解答】 解：，S=，1q1， 2SnS， ， 若 a10，则，故 A与 C不可能成立； 若 a10，则 q n ， 在 B中，a10，0.7 q0.6 故 B成立； 在 D中，a10，0.8 q0.7 ，此时 q 2 ，D不成立 故选： B 【点评】本题考查命题真假

30、的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数 列的性质的合理运用 18 （5分）设 f（x） 、g（x） 、h（x）是定义域为 R的三个函数，对于命题： f （x）+g（x） 、f （x）+h（x） 、g（x）+h（x）均为增函数，则 f （x） 、g（x） 、 h（x）中至少有一个增函数；若f （x）+g（x） 、f （x）+h（x） 、g（x）+h （x）均是以 T 为周期的函数，则 f （x） 、g（x） 、h（x）均是以 T 为周期的函 17 数，下列判断正确的是（） A和均为真命题B和均为假命题 C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【专题

31、】32：分类讨论；35：转化思想；51：函数的性质及应用； 5L：简易逻辑 【分析】不成立可举反例： f（x）=g（x）=， h（x）= 由题意可得： f （x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T） ，f （x）+h（x）=f （x+T）+h （x+T） ，h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T） ，可得： g（x）=g（x+T） ，h（x） =h（x+T） ，f （x）=f （x+T） ，即可判断出真假 【解答】解： 不成立可举反例：f（x） = g （x） =， h（x）= f （x）+g（x）=f （x+T）+g（x+T） ，f （x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T） ，h

32、 （x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T） ， 前两式作差可得： g（x）h（x）=g（x+T）h（x+T） ，结合第三式可得： g（x） =g（x+T） ，h（x）=h（x+T） ，同理可得： f （x）=f（x+T） ，因此正确 故选： D 【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法， 考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（ 74 分） 19 （12分）将边长为 1 的正方形 AA1O1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱， 如图，长为，长为，其中 B1与 C在平面 AA1O1O的同侧 18 （1）求三棱锥 CO1A1B1的体积； （2）求异面直线

33、B1C与 AA1所成的角的大小 【考点】 LM ：异面直线及其所成的角 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5F：空间位置关系与距离 【分析】 （1）连结 O1B1，推导出 O1A1B1为正三角形，从而=，由此 能求出三棱锥 CO1A1B1的体积 （2）设点 B1在下底面圆周的射影为B，连结 BB1，则 BB1AA1，BB1C为直线 B1C 与 AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与 AA1所成角大小 【解答】 解： （1）连结 O1B1，则 O1A1B1=A1O1B1=， O1A1B1为正三角形， =， = （2）设点 B1在下底面圆周的射影为B，连结 BB1

34、，则 BB1AA1， BB1C为直线 B1C与 AA1所成角（或补角）， BB1=AA1=1， 连结 BC 、BO 、OC ， AOB= A1O1B1=， BOC=， BOC 为正三角形， BC=BO=1，tan BB1C=1 ， 直线 B1C与 AA1所成角大小为 45 19 【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中 档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 20 （14 分）有一块正方形 EFGH ，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走于是，菜地分别为两个区域S1和 S2，其中 S1中的蔬菜运到河 边较近， S2中的蔬菜运到 F 点较

35、近，而菜地内S1和 S2的分界线 C上的点到河 边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为 EF的中点， 点 F 的坐标为（ 1，0） ，如图 （1）求菜地内的分界线C的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是 S2面积的两倍， 由此得到 S1面积的经验值 为设 M是 C上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH为一边，另一边过点M的矩 形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验 值” 【考点】 KK ：圆锥曲线的轨迹问题 【专题】 32：分类讨论； 35：转化思想； 4R ：转化法； 5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程 【分析】 （1）设分界线

36、上任意一点为（x，y） ，根据条件建立方程关系进行求解 20 即可 （2）设 M （x0，y0） ，则 y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH 的面积， 进行比较即可 【解答】解： （1）设分界线上任意一点为 （x，y） ，由题意得 |x+1|=， 得 y=2， （0x1） ， （2）设 M （x0，y0） ，则 y0=1， x0= ， 设所表述的矩形面积为S3，则 S3=2（+1）=2=， 设五边形 EMOGH 的面积为 S4， 则 S4=S3SOMP+SMGN=1+=， S1S3=，S4S1=， 五边形 EMOGH 的面积更接近 S1的面积 【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题

37、，考查学生的运算能力， 综合性较强， 难度较大 21 （14 分）双曲线 x 2 =1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线 l 过 F2且与双曲线交于 A，B两点 （1）直线 l 的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设 b=，若 l 的斜率存在，且（+）?=0，求 l 的斜率 【考点】 KH ：直线与圆锥曲线的综合；KM ：直线与双曲线的综合 21 【专题】 11：计算题； 29：规律型； 35：转化思想； 49：综合法； 5D ：圆锥曲线 的定义、性质与方程 【分析】 （1）利用直线的倾斜角，求出AB ，利用三角形是正三角形，求解b，即 可得到双曲线方程 （

38、2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为 0，即可求值直线的斜率 【解答】 解： （1）双曲线 x 2 =1（b0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1， c 2=1+b2， 直线 l 过 F2且与双曲线交于 A，B两点， 直线 l 的倾斜角为，F1AB是等边三角形， 可得： A（c，b 2） ，可得： ， 3b 4=4（a2+b2） ， 即 3b 44b24=0， b0，解得 b 2=2 所求双曲线方程为： x 2 =1， 其渐近线方程为 y=x （2）b=，双曲线 x 2 =1，可得 F1（2，0） ，F2（2，0） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）

39、，直线的斜率为： k=， 直线 l 的方程为： y=k（x2） ， 由题意可得：，消去 y 可得： （3k 2）x2+4k2x4k23=0， =36（1+k 2）0 且 3k20， 可得 x1+x2=， 22 则 y1+y2=k（x1+x24）=k（4）= =（x1+2，y1） ， =（x2+2，y2） ， （+）?=0 可得： （x1+x2+4，y1+y2）? （x1x2，y1y2）=0， 可得 x1+x2+4+（y1+y2）k=0， 得+4+? k=0 可得： k 2= ， 解得 k= l 的斜率为： 【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双 曲线方程联立求解

40、方法，考查计算能力，转化思想的应用 22 （16分）已知 aR ，函数 f （x）=log2（+a） （1）当 a=5 时，解不等式 f （x）0； （2）若关于 x 的方程 f （x）log2 （a4）x+2a5=0 的解集中恰好有一个 元素，求 a 的取值范围 （3）设 a0，若对任意 t ，1 ，函数 f （x）在区间 t ，t+1 上的最大值与 最小值的差不超过1，求 a 的取值范围 【考点】 3R ：函数恒成立问题； 6E：利用导数研究函数的最值 【专题】 35：转化思想； 4J：换元法； 51：函数的性质及应用 【分析】 （1）当 a=5时，解导数不等式即可 （2）根据对数的运算法

41、则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围 进行求解即可 （3）根据条件得到f （t ）f （t+1）1，恒成立，利用换元法进行转化，结 23 合对勾函数的单调性进行求解即可 【解答】 解： （1）当 a=5 时，f （x）=log2（+5） ， 由 f （x）0；得 log2（+5）0， 即+51，则4，则+4=0，即 x0 或 x， 即不等式的解集为 x|x 0 或 x （2）由 f（x）log2 （a4）x+2a5=0 得 log2（+a）log2 （a4）x+2a 5=0 即 log2（+a）=log2 （a4）x+2a5 ， 即+a=（a4）x+2a50， 则（a4）x 2+

42、（a5）x1=0， 即（x+1） （a4）x1=0， 当 a=4时，方程的解为x=1，代入，成立 当 a=3时，方程的解为x=1，代入，成立 当 a4 且 a3 时，方程的解为 x=1 或 x=， 若 x=1 是方程的解，则+a=a10，即 a1， 若 x=是方程的解，则+a=2a40，即 a2， 则要使方程有且仅有一个解，则1a2 综上，若方程 f （x）log2 （a4）x+2a5=0 的解集中恰好有一个元素，则 a 的取值范围是 1a2，或 a=3或 a=4 （3）函数 f （x）在区间 t ，t+1 上单调递减， 由题意得 f （t ）f （t+1）1， 即 log2（+a）log2（

43、+a）1， 即+a2（+a） ，即 a= 设 1t=r ，则 0r， =， 24 当 r=0 时，=0， 当 0r 时，=， y=r+在（0，）上递减， r+=， =， 实数 a 的取值范围是 a 【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用， 利用换元法结 合对勾函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，难度较大 23 （18 分）若无穷数列 an 满足：只要 ap=aq（p，qN * ） ，必有 ap+1=aq+1，则称 an具有性质 P （1）若an具有性质 P，且 a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求 a3； （2）若无穷数列bn 是等差数列，无

44、穷数列cn 是公比为正数的等比数列， b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断 an 是否具有性质 P，并说明理由； （3）设bn是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（nN * ） ，求证：“对任意a1，an 都具有性质 P”的充要条件为“ bn是常数列” 【考点】 8I ：数列与函数的综合； 8M ：等差数列与等比数列的综合 【专题】 11：计算题； 29：规律型； 35：转化思想； 54：等差数列与等比数列 【分析】 （1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出 a3=a6，a4=a7，转化求解 a3即可 （2）设无穷数列 bn的公差为： d，无穷数列 cn 的公比为

45、q，则 q0，利用条 件求出， d 与 q，求出 bn，cn得到 an的表达式，推出a2a6，说明an 不具有 性质 P （3）充分性：若 bn是常数列，设 bn=C ，通过 an+1=C+sinan，证明 ap+1=aq+1，得到 an具有性质 P 必要性：若对于任意a1，an 具有性质 P，得到 a2=b1+sina1，设函数 f （x）=x 25 b1，g（x）=sinx ，说明 bn+1=bn，即可说明 bn 是常数列 【解答】 解： （1）a2=a5=2，a3=a6， a4=a7=3，a5=a8=2，a6=21a7a8=16，a3=16 （2）设无穷数列 bn的公差为： d，无穷数列

46、 cn 的公比为 q，则 q0， b5b1=4d=80， d=20，bn=20n19，=q 4= ，q=，cn= an=bn+cn=20n19+ a1=a5=82， 而 a2=21+27=48 ，a6=101=a1=a5，但是 a2a6，an 不具有性质 P （3）充分性：若 bn是常数列， 设 bn=C ，则 an+1=C+sinan， 若存在 p，q 使得 ap=aq，则 ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1， 故an 具有性质 P 必要性：若对于任意a1，an 具有性质 P， 则 a2=b1+sina1， 设函数 f （x）=xb1，g（x）=sinx ， 由 f （x） ，g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点， 一定能找到一个a1，使得 a1b1=sina1， a2=b1+sina1=a1，an=an+1， 故 bn+1=an+2sinan+1=an+1sinan=bn， bn 是常数列 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用， 考查分析 问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大