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1、专题 02 导数与零点个数 导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或 最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。 【题型示 例】 1、设为实数 ,函数 (1) 求的极值点； (2) 如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围 【答案】 （1）的极大值点为,极小值点为（ 2）或 2、已知函数. （1）求的极值； （2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点 ,求实数的取值范围 . 【答案】 （1）极大值，无极小值； （2）. 【解析】 （1）的 定义域为,令得， 当时，是增函数； 当时，是减函数， 所以在处取得极大值 , 无极小值 .
2、（2）当时，即时， 由 （1）知在上是增函数，在上是减函数， 来源 :Zxxk.Com 所以， 因为的图象与的图象在上有公共点 , 来源 学科网 所以，解得，又，所以. 来源 :Zxxk.Com 当时，即时，在上是增函数， 所以在上最大值为， 所以原问题等价于,解得. 又，所以此时无解 .学科 = 网 综上 ,实数的取值范围是. 3、设函数（其中） （）求函数的极值； （）求函数在上的最小值； （）若，判断函数零点个数 【答案】 （1）极小值，不存在极大值； （2） （3）1 个 【解析】 （）， 由得，由得， 在单调递增，在单调递减 极小值，不存在极大值 （）由（）知，在单调递增，在单调递减
3、 来源 学科 网 ZXXK 当时，在单调递减，单调递增， 当时，在单调递增， ； （）由题意 求导得， 由得或，由得 所以在上单调递增，在上单调递减 当时， 故函数只有一个零点 4、已知函数 . （I）若，求的极值； （II）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围 . 【答案】 （I）的极小值为；（ II）或. 【解析】 （I）时，其中 则得 当时，单调递减，当时，单调递增， 因而的极小值为； （II）若有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根， 分离参数得，设，则， 又设，而 因而当时，当时， 那么当时，单调递增， 当时，单调递减， 又时，且时 从而或，即或时函数有且只有一个零点.
4、 【题型专练】 1、已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围 . 【答案】 （1）有得极大值，无 极小值；（ 2）. 2、设函数, .关于的方程在区间上有解 ,求的取 值范围 ; 【答案】的取值范围. 【解析】 方程即为, 令,则, 当时,随变化情况如表: , 当时,的取值范围. 3、已知函数 . （1）求函数的单调区间； （2）若当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范 围； （3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围 . 【答案】 （1）的单调减区间为，增区间； （2）； （3）. 【解析】 ,所以 (1) ,令, 得：，所以的单
5、调减区间为，增区间； （2）由（ 1）知, 得，函数在上是连续的，又 所以，当时，的最大值为 故时，若使恒成立，则 （3）原问题可转化为：方程在区间上恰有两个相异实根. 令，则，令，解得：. 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增 . 在和处连续， 又 且当时，的最大值是，的最小值是 在区间上方程恰好有两个相异的实根时，实数的取值范围是： 4、设函数 ,其中为实数 . （1）若在上是单调减函数, 且在上有最小值 , 求的取值范围； （2）若在上是单调增函数, 试求的零点个数 , 并证明你的结论. 【答案】 （）；（）当或时，有个零点，当时,有个零点，证明见解 析 （2）在上恒成立 ,
6、 则,故. 若, 令得增区间为；令得减区间为, 当时,；当时 ,；当时, 当且仅当时取等号 . 故:时,有个 零点；当时,有个零点 . 5、已知函数 在处的切线斜率为2. (1) 求的单调区间和极值; (2) 若在上无解 ,求的取值范围 . 【答案】 （1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为和. 函数的极小值为，极大值为. （2） 【解析】 (1) ， ， 令，解得或 当变化时，的变化情况如下表: 函数的单调递增区间为，单调递减区间为和. 函数的极小值为，极大值为. (2) 令， 在上无解 , 在上恒成立 , ， 记， 在上恒成立 , 在上单调递减 , ， 若，则， ， 单调递减 , 恒成 立, 若，则，存在，使得， 当时，即， 在上单调递增 , ， 在上成立 ,与已知矛盾 ,故舍去 , 来源 :Z&xx&k.Com 综上可知，.