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1、1 导数题型归纳总结 （第一讲） 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 二、交点与根的分布 常用结论 sin,(0,)xx x，变形即为 sin 1 x x ， 其几何意义为sin,(0,)yx x上的的点与原点连线斜率小于1. 1 x ex ln(1)xx，1lnxx ln,0 x xxex. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1.( 是一道设计巧妙的好题，同时用到e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定 理不好想，联系紧密) 已知函数( )ln,( ). x f xx g xe 若函数 (x) = f (x) 1 1 x x + - ，求函数 (x)的单调区间； 设
2、直线l为函数f (x) 的图象上一点A(x0，f (x0) 处的切线，证明：在区间(1,+ ) 上存在唯一的x0，使 得直线l与曲线y=g(x) 相切 2.（最值应用） 已知二次函数( )g x对xR都满足 2 (1)(1)21g xgxxx且(1)1g ， 设函数 1 9 n 2 8 xgxm x （mR，0x） （）求( )g x的表达式； （）若xR ，使 ( )0fx成立，求实数 m的取值范围； 2 （）设1me，( )( )(1)H xf xmx，求证：对于 12 1, xxm， ，恒有12 |()()| 1H xH x 3.设3x是函数 23 , x fxxaxb exR 的一个极
3、值点 . （1）求a与b的关系式（用a表示b） ，并求 fx 的单调区间； （2）设 225 0, 4 x ag xae ，若存在12 ,0,4 ，使得 12 1fg成立，求a的取值范围 . 4.(2010 山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数 1 ( )ln1 a f xxax x ()aR. 1 2 a时，讨论 ( )fx的单调性； 设 2 ( )24.g xxbx当 1 4 a 时，若对任意1 (0,2)x ，存在2 1,2x ，使12 ()()f xg x ，求实数b取 值范围 . 3 5. (2010 山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数 2 ( )ln, ( )3f x
4、xx g xxax 求( )f x在 ,2(0)t tt上的最小值； 存在 1 ,xe e （e是常数，e 2.71828）使不等式 2xgx成立，求实数 a的取值范 围； 明对一切(0,),x都有 1 2 ln x e ex成立 6.（最值应用） 设函数( )2ln q f xpxx x ，且( )2 p f eqe e ，其中 e是自然对数的底数. 求 p与q的关系； 若( )f x在其定义域内为单调函数，求 p的取值范围； 2 ( ) e g x x ，若在 1,e 上至少 存在一点0x，使得0()f x0()g x成立，求实数 p的取值范围 . 4 7.（2011湖南文，第 2问难，单
5、调性与极值，好题） 设函数 1n xxaxa R x 论函数( )fx的单调性； 若 ( )f x 有两个极值点 12 ,x x ，记过点11 (,(),A xf x 22 (,()B xf x 的直线斜率为 k, 问：是否存在 a，使得 2ka？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由. 8.（构造函数，好，较难） 已知函数 21 ( )ln(1) (0) 2 f xxaxax aRa，. 求函数( )f x的单调增区间； 记函数( )F x的图象为曲线C，设点 1122 (,)(,)A x yB xy、是曲线C上两个不同点，如果曲线C上存在点 00 (,)Mxy，使得： 12 0 2 x
6、x x ；曲线 C在点M 处的切线平行于直线 AB，则称函数( )F x 存在“中 值相依切线”.试问：函数( )f x是否存在中值相依切线，请说明理由. 5 9.(2011 天津理 19，综合应用 ) 已知0a，函数 2 lnfxxax，0x(fx的图象连续 ) 求fx的单调区间； 若存在属于区间1,3的,，且1，使ff，证明： ln 3ln 2ln 2 53 a 二、交点与根的分布 10.已知函数 32 fxxaxbxc在,0 上是减函数，在 0,1 上是增函数，函数 fx 在R上有 三个零点 （1）求b的值； （2）若 1是其中一个零点，求2f的取值范围； （3）若 2 13lnag xfxxx， ，试问过点（ 2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x) 相切？请说明理 由.