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1、1 必修二知识点 + 习题及答案解析 第一章空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示 ：用各顶点字母，如五棱柱 EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD 几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且 相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何
2、体 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示 ：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征 ：侧面、 对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示 ：用各顶点字母，如五棱台 EDCBAP 几何特征 ：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点 2 （4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体 几何特征
3、：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图 是一个矩形。 （5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何 体 几何特征 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图： 从前
4、往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图：斜二测画法 4 斜二测画法的步骤： （ 1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （ 2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变； （ 3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 3 （一）空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积 2 rrlS 4 圆台的表面积 22 RRlrrlS 5 球的表面积 2 4 RS （二）空间几何体的体
5、积 1 柱体的体积hSV 底 2 锥体的体积hSV 底 3 1 3 台体的体积hSSSSV) 3 1 下下 上上 （4 球体的体积 3 3 4 RV 第二章直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45 0，且横边画成 邻边的 2 倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理： 2 22rrlS 4 P
6、L D C B A （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A L B L = L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为： A、B、C 三点不共线= 有且只有一个平面， 使 A、 B、 C。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 符号表示为： P=L，且 P L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系
7、： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c 是三条直线 L A C B A 共面直线 5 a b c b 强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与 O的选择无关， 为简便， 点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面
8、直线所成的角 (0，)； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a b； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内有无数个公共点 （2）直线与平面相交有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示 a a =A a =a c 2 6 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
9、1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b = a a b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行。 符号表示： a b a b = P a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； 7 （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。 简记为：线
10、面平行则线线平行。 符号表示： a a a b = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： = a a b = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面互相垂直，记 作 L，直线L 叫做平面的垂线，平面叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它 8 们唯一公共点P 叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
11、面垂直。 注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或 -AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 平面（公理1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系