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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 47 条件概率与二项的分布 【考纲要求】 了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决 一些简单问题. 【命题规律】 条件概率与二项的分布问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大. 【典型高考试题变式】 （一）二项分布 例 1.【2017 课标 II】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， X表示抽到的二等品件数，则()D X . 【答案】1.96 【变式 1】已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30 ，D(X)20 ，则
2、p_. 【答案】 1 5 【解析】由E(X)np，D(X)np(1p)，得 np30 ， np（1p） 20， 解得 1 3 P. 【变式 2】 设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的 概率为 63 64 ，则事件A恰好发生一次的概率为_ 【答案】 9 64 【解析】假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p， 由题意得，事件A发生的次数XB(3，p)，则有 1(1p) 363 64 ，得p 3 4 ， 则事件A恰好发生一次的概率为C13 3 4 2 3 (1) 4 9 64 . （二）条件概率 例 2.(2014 课标 )某地
3、区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75 ，连续两天为 优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 【解析】设“一天的空气质量为优良”为事件A， “连续两天为优良”为事件AB， 则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A) 由条件概率可知，P(B|A) P（AB） P（A） 0.6 0.75 4 5 0.8 ，故选 A. 【名师点睛】计算条件概率有两种方法 (1) 利用定义P(B|A) PAB PA ； (2) 若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数，
4、则P(B|A) nAB nA . 【变式 1】先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6 个点）两次落在水平桌面后，记正面朝 上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为 偶数” ，事件B为“x、y中有偶数，且xy” ，则概率P(B|A)= （） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 5 【答案】 B 【变式 2】甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6 和 0.5 ，现已知目标被击中，则它 是被甲击中的概率为() A0.45 B0.6 C0.65 D0.75 【答案】 D 【解析】设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A， 则由P(B) 0.6 0.5 0.
5、4 0.5 0.6 0.5 0.8 ， 得P(A|B) PAB PB PA PB 0.6 0.8 0.75. 【数学思想】 （1）函数方程思想. （2）转化与化归思想. 【温馨提示】 （1）条件概率的问题中：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB) 的求法当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件 数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A) n（AB） n（A） . （2）注意二项分布满足的条件：学￥科网 来源 学科网 每次试验中，事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互
6、独立的 每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数 注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系. 【典例试题演练】 1.（黑龙江省大庆第一中学2014届高三下学期第二阶段考试数学（理）试题）先后掷骰子（骰子的六个 面分别标有1、2、3、4、 5、6 个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为 “x+y为 偶数” ，事件B为“x、y中有偶数，且xy” ，则概率P(B|A)= （） A 1 2 B 3 1 C 4 1 D 5 2 【答案】 B 【解析】事件A为“yx为 偶数”所包含的基本事件数有 (2,2), (4,4),(
7、6,6), (2,4),(4,2),(2,6), (6,2),(4,6),(6,4),(1,1), (3,3), (5,5), (3,1), (1,3), (1,5) ，(5,1)，(3,5), (5,3)，共 18 种，事件AB为“x、y中有偶数，且xy，x+y为 偶数” ， 所包含的基本 事件数有(2,4),(4,2), (2,6), (6,2), (4,6),(6,4)，共 6 种，由条件概率计算公式可得 P(B|A)= ()61 ()183 n AB n A . 2. 从 1，2 ，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件A“取到的2 个数之和为偶数”，事件B“取到的2 个数均为偶数”
8、，则P(B|A)( ) A. 1 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 【答案】 B 【解析】P(A) C23C22 C25 2 5， P(B) C22 C25 1 10 ， 又A?B， 则P(AB)P(B) 1 10 ， 所以P(B|A) P（AB） P（A） P（B） P（A） 1 4 . 3.(2014 新课标)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75 ，连续两天为优良 的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 【答案】 A 4.【2017 年第一次全国大联考（新
9、课标卷）】甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛，每人限报 其中一项，记事件A“4 名同学所报比赛各不相同”，事件B“甲同学独报一项比赛”，则(|)P A B （） A 2 9 B 1 3 C 4 9 D 5 9 【答案】 A 【解析】由题意得 4 4 3 A()()2 (|) ( )( )439 P ABn AB P A B P Bn B ，故选 A 来源 学科网 5. 某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5 次，若他命中一次得10 分，没命中不得分；命中次数为X， 得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为 ( ) A.0.6，60 B.3，12 C.3，120 D.3 ，1.2 【答案】
10、 C 【解析】XB(5，0.6)，Y10X，所以E(X) 50.63，D(X)5 0.6 0.41.2.D(Y)100D(X)120 ， 故选 C. 6.若 B(n，p)，且( )E6，( )D3，则P( 1)的值为 ( ) A. 2 3 2B. 4 2C. 10 3 2D. 8 2 【答案】 C 【解析】np 6，npq3，q 1 2 ，p1q 1 2， n12.p( 1) C 1 12 121 ( ) 2 32 10 ，故选 C. 7. 设随机变量X服从正态分布N(3,4) ，若P(X2a3)P(Xa2)，则a( ) A3 B. 5 3 C5 D. 7 3 【答案】 D 【解析】因为X服从
11、正态分布N(3,4) ，P(X2a3)P(Xa 2)所以 2a3a26，a 7 3. 8. 1 号箱中有2 个白球和 4 个红球， 2 号箱中有5 个白球和3 个红球，现随机地从1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从2 号箱随机取出一球，则从2 号箱取出红球的概率是( ) A. 11 27 B. 11 24 C. 16 27 D. 9 24 【答案】 A 9. 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20 ，则p_. 【答案】 5 来源:Zxxk.Com 【解析】由E(X)np，D(X)np(1p)，得 np30 ， np（1p） 20， 解得p 1 3 . 10.
12、甲袋中有 2 个白球和 4 个红球，乙袋中有1 个白球和2 个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋， 然后从乙袋中随机地取出一球，则取出的球是白球的概率是_. 【答案】 3 1 【解析】设A表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球”，B表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球”. 所以P(A) 2 6 ，P(A) 4 6， P(B|A) 2 4 ，P(B|A) 1 4 . P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 2 6 2 4 4 6 1 4 1 3 . 11. 如图，EFGH是以O为圆心，半径为1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示 事件“豆子落
13、在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分 )内”，则P(B|A)_ 【答案】 4 1 【解析】依题意得，P(A) 22 2 ，P(AB) 1 2 1 1 1 2 ， 则由条件概率的意义可知，P(B|A) P（AB） P（A） 1 4 . 12. 【2017 安徽阜阳二模】一企业从某生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值， 得到的频率分布直方图如图. （1）估计该技术指标值平均数x； （2）在直方图的技术指标值分组中，以落入各区间的频率作为取该区间值的频率，若4xx，则产品 不合格，现该企业每天从该生产线上随机抽取件产品检测，记不合格产品的个数为，求的数
14、学期望E. 【解析】（1）120.06140.14160.3180.32200.10220.0817x ， （2）由频率分布直方图可知(4)0.14P xx， 所以5,0.14B，所以50.140.7E 13. 【2017 江西师大附中、临川一中联考】某理科考生参加自主招生面试，从7 道题中（ 4 道理科题3 道 文科题）不放回地依次任取3 道作答 .学+ 科网 （1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率； （2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均 为，若每题答对得10 分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两
15、理一文），求其所得总分的分布列与数学期 望()E X. 【解析】（ 1）记“该考生在第一次抽到理科题为事件A”，“该考生第二次和第三次均抽到文科题为事件 B”，则 4 () 7 P A， 4 () 35 P AB. 所以该 考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次抽到文科题的概率为 ()1 (|) ( )5 P AB P BA P A . （2）的可能取值为0，10 ，20，30 ，则 1131 (0) 33412 P X， 12 2 2131113 (10)( ) 3343436 P XC， 221 22 231214 (20)( ) 343349 P XCC， 来源 学科网 1134
16、1 (30)1 123699 P X. 所以的分布列为 X0 10 20 30 P 1 12 13 36 4 9 1 9 所以，的数学期望 95 () 6 E X. 14. 甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对 则为本队得1 分，答错不答都得0 分，已知甲队3 人每人答对的概率分别为 3 2 1 , 4 3 2 ，乙队每人答对的概 率都是 2 3 设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分 （1）求随机变量的分布列及其数学期望E； （2）求在甲队和乙队得分之和为4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率 【解析】（1）的可能取值为0，1
17、，2，3 1111 (0) 43224 P; 3111211111 (1) 4324324324 P; 32112131111 (2) 43243243224 P; 3211 (3) 4324 P, 所以的分布列为 1111123 ( )0123 24424412 E , 15. 【2017 年第一次全国大联考（山东卷）】某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春”象棋大赛， 已知由 1,2,3 号三位男性选手和4,5 号两位女性选手组成混合组参赛.已知象棋大赛共有三轮，设三位男性选 手在一至三轮胜出的概率依次是 5 3 2 , 6 5 3 ；两名女性选手在一至三轮胜出的概率依次是 3 2 1
18、, 4 3 2 . （1）若该组五名选手与另一组选手进行小组淘汰赛，每名选手只比赛一局，共五局比赛，求该组两名女性 0 1 来源 学科网 ZXXK 2 3 P 1 24 1 4 11 24 1 4 选手的比赛次序恰好不相邻的概率； （2）若一位男性选手因身体不适退出比赛，剩余四人参加个人比赛，比赛结果相互不影响，设X表示该 组选手在四轮中胜出的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 【解析】（1）记两名女性选手比赛次序恰好不相邻为事件A，则五人不同的比赛次序为 5 5 120nA种， 事件 A 对应的比赛次序为 32 34 72mA A种，所以 723 () 1205 P A. （2）男性选手
19、在三轮中胜出的概率为 1 5321 6533 P ；两名女性选手在三轮中胜出的概率为 2 3211 4324 P .由题意可知男性选手三轮中胜出的人数 1 (2,) 3 xB ； 女性选手三轮比赛中胜出的人数 1 (2,) 4 yB ，显然 Xxy. 所以X可取0,1,2,3,4. 22111 (0)(0)(1)(1) 344 P XP xy . (1)(0,1)(1,0)P XP xyP xy 2112 22 111111 =(1)C(1)C(1)(1) 344334 115 6412 . (2)(0,2)(1)(2,0)P XP xyP xyP xy 221122 22 11111111 (1)( )C(1)C(1)( )(1) 34334434 11137 36616144 . (3)(1,2)(2,1)P XP xyP xy 1221 22 111111 C(1)( )( )C(1) 334344 115 362472 . (4)(2)P XP xy 22 111 ( )( ) 34144 . 学#科网 所以X的分布列为 X0 1 2 3 4 P 1 4 5 12 37 144 5 72 1 144 所以 1537517 01234 412144721446 EX . 另， 117 ()22 346 EXE xyExEy.