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1、知识典例（注意咯，下面可是黄金部分！） 基本概念： 行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系。 基本公式： 路程 =速度时间； 路程时间 =速度； 路程速度 =时间 在行程问题中有一类“流水行船”问题，在利用路程，时间，速度三者之间的 关系解答这类问题时，应主要各种速度的含义及相互关系： 顺水行程 =（船速 +水速）顺水时间； 逆水行程 =（船速 - 水速）逆水时间； 顺水速度 =船速 +水速； 逆水速度 =船速 - 水速； 静水速度 =（顺水速度 +逆水速度）2； 水速 =（顺水速度 - 逆水速度） 2 【例一 】 一条轮船往返于A、B两地之间， 由 A地到 B
2、地是顺水航行， 由 B地到 A地是逆水航行。 已知船在静水中的速度是每小时20 千米，由A地到 B地用了 6 小时，由B地到 A地所用的 时间是由A地到 B地所用时间的1.5 倍，求水流速度。 分析与求解：在这个问题中，不论船是逆水航行，还是顺水航行，其行驶的路程相等， 都等于 A、B两地之间的路程；而船顺水航行时，其形式的速度为船在静水中的速度加上水 流速度，而船在怒水航行时的行驶速度是船在静水中的速度与水流速度的差。 解：设水流速度为每小时x 千米，则船由A地到 B地行驶的路程为（20+x）6 千米， 行程问题 知识清单 船由 B地到 A地行驶的路程为 （20x） 61.5 千米。列方程为
3、 （20+x） 6=（ 20x） 61.5 x=4 答：水流速度为每小时4 千米。 【变式 1-1 】 水流速度是每小时15 千米。现在有船顺水而行，8 小时行 320 千米。若逆水行320 千 米需几小时？ 【变式 1-2 】 水流速度每小时5 千米。现在有一船逆水在120 千米的河中航行需6 小时，顺水航行需 几小时？ 【变式 1-3 】 一船从 A地顺流到B地，航行速度是每小时32 千米， 水流速度是每小时4 千米， 2 1 2 天 可以到达。次船从B地返回到A地需多少小时？ 【例二 】 有一船行驶于120 千米长的河中，逆行需10 小时，顺行要6 小时，求船速和水速？ 分析与求解：这题
4、条件中有行驶的路程和行驶的时间，这样可分别算出船在逆流时的 行驶速度和顺流时的行驶速度，再根据和差问题就可以算出船速和水速。列式为 逆流速： 12010=12（千米 / 时） 顺流速： 1206=12（千米 / 时） 船速：（ 20+12） 2=16（千米 / 时） 水速：（ 20 12） 2=4（千米 / 时） 答：船速是每小时行16 千米，水速是每小时行4 千米。 【变式 2-1 】 有只大木船在长江中航行。逆流而上5 小时行 5 千米， 顺流而下1小时行 5 千米。 求这 只木船每小时划船速度和河水的流速各是多少？ 【变式 2-2 】 有一船完成360 千米的水程运输任务。顺流而下 30
5、 小时到达，但逆流而上则需60 小时。 求河水流速和静水中划行的速度？ 【变式 2-3 】 一海轮在海中航行。顺风每小时行45 千米， 逆风每小时行31 千米。 求这艘海轮每小时 的划速和风速各是多少？ 【例三 】 轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了8 小时；逆流而上，行了10 小时。如果水流速度是每小时3千米，求两码头之间的距离。 在同一线段图上做下列游动性示意图36-1 演示： 图36 1 逆流 顺流 10 8 A B 分析与求解： 因为水流速度是每小时3 千米， 所以顺流比逆流每小时快6 千米。 如果怒 六时也行8 小时，则只能到A地。那么A、B的距离就是顺流比逆流8 小时
6、多行的航程，即 68=48 千米。而这段航程又正好是逆流2 小时所行的。由此得出逆流时的速度。列算式为 （3+3） 8（ 108） 10=240（千米） 答：两码头之间相距240 千米。 【变式 3-1 】 一走轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口， 它顺流而下行了7小时， 逆流而上行了 10 小时。如果水流速度是每小时3.6 千米，求甲、乙两个港口之间的距离。 【变式 3-2 】 一艘渔船顺水每小时行18 千米，逆水每小时行15 千米。求船速和水速各是多少？ 【变式 3-3 】 沿河有上、下两个市镇，相距85 千米。有一只船往返两市镇之间，船的速度是每小时 18.5 千米，水流速度每小时1.
7、5 千米。求往返依次所需的时间。 【例四 】 汽船每小时行30 千米，在长 176 千米的河中逆流航行要11 小时到达， 返回需几小时？ 分析与求解：依据船逆流在176 千米的河中所需航行时间是11 小时，可以求出逆流的 速度。返回原地是顺流而行，用行驶路程除以顺流速度，可求出返回所需的时间。 逆流速： 17611=16（千米 / 时） 所需时间： 17630+ （3016）=4 （小时） 答：返回原地需4 小时。 【变式 4-1 】 当一机动船在水流每小时3 千米的河中逆流而上时，8 小时行 48 千米。返回时水流速 度是逆流而上的2 倍。需几小时行195 千米？ 【变式 4-2 】 已知一
8、船自上游向下游航行，经9 小时后，已行673 千米，此船每小时的划速是47 千 米。求此河的水速是多少？ 【变式 4-3 】 一只小船在河中逆流航行3 小时行 3 千米，顺流航行1 小时行 3 千米。求这只船每小时 的速度和河流的速度各是多少？ 【例五 】 有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船 行 4 小时后与漂流物相距100 千米，乙船行12 小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河 长多少千米？ 分析与求解： 漂流物和水同速，甲船是划速和水速的和，甲船4 小时后，距漂流物100 千米，即每小时行1004=25（千米）。乙船12 小时后与漂流物相遇，所受
9、的阻力和漂流 物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为 船速： 1004=25（千米 /时） 河长： 2512=300（千米） 答：河长 300 千米。 【变式 5-1 】 有两只木排， 甲木排和漂流物同时由A地向 B地前行，乙木排也同时从B地向 A地前行， 甲木排 5 小时后与漂流物相距75 千米，乙木排行15 小时后与漂流物相遇，两木排的划速相 同， A、B两地长多少千米？ 【变式 5-2 】 有一条河在降雨后，每小时水的流速在中流和沿岸不同。中流每小时59 千米，沿岸每 小时 45 千米。 有一汽船逆流而上，从沿岸航行15 小时走完570 千米的路程， 回来时几小时 走完中流的全程
10、？ 【变式 5-3 】 有一架飞机顺风而行4 小时飞 360 千米。今出发至某地顺风去，逆风会， 返回的时间比 去的时间多3 小时。已知逆风速为75 千米 / 小时，求距目的地多少千米？ 相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程 【例一 】 两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60 千米的地方相遇。之后，两 车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30 千米处相 遇。两站相距多少千米？ 西东 图331 分析与求解： 从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两 辆汽车行一个全程时，从东站出发的汽车行了60 千米，两车走三个全程时，这辆汽车走
11、了 3 个 60 千米。这时这辆汽车距中点30 千米，也就是说这辆汽车再行30 千米的话，共行的 路程相当于东、 西两站路程的1.5 倍。找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求 出来了。所以 （603+30） 1.5=140 （千米） 答：东、西两站相距140 千米。 【变式 1-1 】 两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站55 千米的地方相遇，之后两车 继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧15 千米处相遇。两站相 距多少千米？ 【变式 1-2 】 两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站40 千米的地方。两车仍以 原速继续前进。 各自到站
12、后立即返回，又在离乙站20 千米的地方相遇。 两站相距多少千米？ 【变式 1-3 】 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。第一次相遇时离A站有 90 千米。然后各按 原速继续行驶，分别到达对方车站后立即沿原路返回。第二次相遇时在离A地的距离占A、 B两站间全程的65% 。A、B两站间的路程是多少千米？ 【例二 】 A、B两地相距960 米。甲、乙两人分别从A、 B两地同时出发。若相向而行，6 分钟相 遇；若同向行走，80 分钟甲可以追上乙。甲从A地走到 B地要用多少分钟？ 分析与求解： 甲、乙两人从同时同向出发到相遇，6 分钟共行的路程是960 米，那么每 分钟共行的路程（速度和）是960
13、6=160（米）；甲、乙两人从同时同向出发到甲追上乙 需用去 80 分钟，甲追乙的路程是960 米， 每分钟甲追乙的路程 （速度差）是 96080=12 （米） 。 根据甲、乙速度和与差，可知甲每分钟行（160+12） 1=86（米）。甲从A 地到 B 地要用 96086=11 7 43 （分钟），列算式为 960 （9606+96080） 2=11 7 43 （分钟） 答：甲从 A地走到 B地要用 11 7 43 分钟。 【变式 2-1 】 一条笔直的马路通过A、B两地，甲、乙两人同时从A、B两地出发，若先跟乡行走，12 分钟相遇；若同向行走，8 分钟甲就落在乙后面1864 米。已知A、B两
14、地相距1800 米。甲、 乙每分钟各行多少米？ 【变式 2-2 】 父子二人在一400 米长的环行跑道上散步。他俩同时从同一地点出发。若想 8 背而行， 26 7 分钟相遇；若同向而行，262 3 分钟父亲可以追上儿子。问：在跑道上走一圈，父子各需 多少分钟？ 追及问题： 追及时间路程差速度差 【例一 】 上午 8 时 8分，小明骑自行车从家里出发。8 分钟后每爸爸骑摩托车去追他。在离家4 千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候， 离家恰好是8 千米（如图33-2 所示），这时是几时几分？ 图33 2 爸爸 8：16出发 小明 8：08出发 4千米 4
15、千米 分析与求解： 由题意可知： 爸爸第一次追上小明后，立即回家， 到家后又回头去追小名， 再追上小明时走了12 千米。 可见小明的速度是爸爸的速度的 1 3 。那么， 小明先走8 分钟后， 爸爸只花了4 分钟即可追上，这段时间爸爸走了4 千米。列式为 爸爸的速度是小明的几倍：（4+8） 4=3（倍） 爸爸走 4 千米所需的时间：8（ 31）=4（分钟） 爸爸的速度：44=1（千米 / 分） 爸爸所用的时间：（4+4+8） 1=16（分钟） 16+16=32（分钟） 答：这时是8 时 32 分。 【变式 1-1 】 一只狼以每秒15 米的速度追捕在它前面100 米处的兔子。兔子每秒行4.5 米
16、， 6 秒钟 后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒16.5 米的速度背向兔子逃去。问：开枪多少秒后 兔子与狼又相距100 米？ 【变式 1-2 】 甲、乙两车同时从A地开往 B地，乙车 6 小时可以到达，甲车每小时比乙车慢8 千米， 因此比乙车迟一小时到达。A、B两地间的路程是多少千米？ 【例二 】 甲在乙的后面 28 千米， 两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米， 乙每小时行 9 千 米 ，甲几小时追上乙？ 分析与求解： 甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千 米，这是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程）， 28 千米里包含着几个 （
17、 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 （ 16-9 ） =4 （小时） 【变式 2-1 】 小明每天走120 千米，小燕每天走75 千米，小燕先走12 天，小明几天能追上小燕？ 【变式 2-2 】 甲、乙两车同时从A地开往 B地，乙车 6 小时可以到达，甲车每小时比乙车慢8 千米， 因此比乙车迟一小时到达。A、B两地间的路程是多少千米？ 课后作业 1. 一条公路全长 60 千米，分成上坡、平路、下坡路三段，各段路的长度比是1： 2：3，某人走各段路所用的时间比是3：4：5. 已知他走平路的速度是每小时5 千米，他走完全程用多少时间？ 2. 甲乙两车同时从 A、B两地相向开出
18、，速度比是7：11. 两车第一次相遇后继续 按原方向前进， 各自到达终点后立即返回， 第二次相遇时， 甲车离 B地 80 千米， 求 A、B间的距离。 3. 甲乙两车同时从东西两站地相向开出，第一次在过中点西侧12 千米处相遇， 相遇后继续按原方向前进，各自到达终点后立即返回，第二次相遇点离东站20 千米，求东西两站间的距离。 4. 甲乙两车同时从A、B两地相向开出， 第一次相遇点离A站 90 千米， 第一次相遇后继续按 原方向前进，各自到达终点后立即返回，第二次相遇时离B地的距离占AB两站间的35% ， 求 A、B间的路程是多少千米？ 5. 一辆快车和一辆慢车分别从甲乙两地同时相对开出，经过
19、12 小时相遇，快车 又行了 8 小时到达乙地，那么相遇后慢车还要行驶多少小时才能到达甲地？ 6. 有一人从甲地上山，越过山顶到达山脚的乙地。他上山速度是每小时2 千米， 下山速度是每小时5 千米。他从甲地到乙地要20.5 小时，从乙地到甲地需14.5 小时。求甲乙两地的距离. 7. 甲乙两船分别从 A港逆水而上，静水中甲船每小时行15 千米，乙船每小时行 12 千米，水速为每小时3 千米，乙船出发2 小时后，甲船才开始出发，当甲船 追上乙船时，已离开A港多少千米 . 8. A河是 B河的支流， A河水的水速为每小时3 千米， B河水的水流速度是 2 千 米. 一船沿 A河顺水航行 7 小时，行了 133 千米到达 B河，在 B河还要逆水航行 84 千米，这船还要行多少小时.