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1、第 1 页 共 36 页 选修 2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1.导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数 ( )yf x 在 0 xx 处的瞬时变化率是 00 0 ()() lim x f xxf x x ， 我 们 称它 为 函 数( )yf x在 0 xx处 的 导数 ， 记 作 0 ()fx或 0 |x x y，即 0 ()fx= 00 0 ()() lim x f xxf x x 2.导数的几何意义： 曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点 n P趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线 n PP 的 斜率是 0 0 ()() n n n
2、f xf x k xx ，当点 n P趋近于P时，函数( )yf x 在 0 xx 处的导数就是切线PT 的斜率 k，即 0 0 0 0 ()() lim() n x n f xf x kfx xx 3.导函数： 当 x 变化时， ( )fx 便是 x 的一个函数， 我们称它为 ( )f x 的导函数 . ( )yf x 的导函数有时 也记作y,即 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1 若 ( )f xc(c 为常数 )，则( )0fx ；2 若 ( )f xx ,则 1 ( )fxx; 3 若 ( )sinf xx,则( )
3、cosfxx 4 若 ( )cosf xx,则( )sinfxx; 5 若 ( ) x f xa,则( )ln x fxaa 6 若 ( ) x f xe ,则 ( ) x fxe 7 若( )log x a f x ,则 1 ( ) ln fx xa 8 若( )lnf xx,则 1 ( )fx x 导数的运算法则 1. ( )( )( )( )f xg xfxgx 2. ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x 第 2 页 共 36 页 3. 2 ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) f xfxg xf xg x g xg x 复合函数求导( )yf
4、 u 和( )ug x,称则y可以表示成为 x的函数 ,即( )yf g x 为一个复合函数 ( )( )yfg xgx 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 ( , )a b 内 (1)如果 ( )0fx ，那么函数 ( )yf x 在这个区间单调递增；(2) 如果 ( )0fx ，那么函数 ( )yf x 在这 个区间单调递减 . 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( )yf x 的极值的方法是:（1）如果在 0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么 0 ()f x
5、是极大值 （2）如果在 0 x附近的左侧 ( )0fx ,右侧( )0fx,那么 0()f x 是极小值 ; 4.函数的最大 (小)值与导数 求函数 ( )yf x 在 , a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数 ( )yf x 在( , ) a b 内的极值； （2）将函数( )yf x 的各极值与端点处的函数值( )fa，( )f b比较，其中最大的是一个最大值，最小的 是最小值 . 推理与证明 考点一合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推 理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有
6、某些类似(或一致 )性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的 推理 ,叫做类比推理 . 类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想 ); (3)一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同 或相似 ,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4)一般情况下 ,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越 可靠 . 考点二演绎推理 (俗称三段论 ) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎
7、推理. 考点三数学归纳法 1.它是一个递推的数学论证方法. 2.步骤 :A.命题在 n=1 （或 0 n）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k时命题成立；C.证明 n=k+1 第 3 页 共 36 页 时命题也成立 , 完成这两步 ,就可以断定对任何自然数(或 n= 0 n,且nN)结论都成立。 考点三证明 1.反证法 : 2、分析法 : 3、综合法 : 数系的扩充和复数的概念 复数的概念 (1)复数 :形如(,)abi aR bR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2)分类 :复数(,)abi aR bR中,当0b,就是实数 ; 0b,叫做虚数 ;当 0,0ab 时,叫做纯虚
8、数 . (3)复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4)共轭复数 :当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5)复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 复数的运算 1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设 12 ,( , , ,)zabi zcdi a b c dR则 （ 1 ） 12 ()()zzacbd i （ 2 ） 12 ()()zzacbdadbc i （ 3 ） 1 2 22 2 ()() (0)
9、 zacbdadbc i z zcd 2,几个重要的结论 (1) 2222 121212 |2(| )zzzzzz (2) 22 |zzzz (3)若z为虚数 , 则 22 |zz 3.运算律 (1) mnmn zzz;(2) () mnmn zz;(3) 1212 ()( ,) nnn zzzzm nR 4.关于虚数单位i 的一些固定结论： （1） 2 1i （2） 3 ii （3） 4 1i （2） 234 0 nnnn iiii 练习一组 一、选择题 1在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x( ) A大于零B小于零 第 4 页 共 36 页 C等于零D不等于零 答案 D 解析 x
10、可正，可负，但不为0，故应选D. 2设函数yf(x)，当自变量x由x0变化到x0x时，函数的改变量y为( ) Af(x0 x) Bf(x0)x Cf(x0) xDf(x0x)f(x0) 答案 D 解析 由定义，函数值的改变量yf(x0x)f(x0)，故应选D. 3已知函数f(x)x 2x，则 f(x)从 1 到 0.9 的平均变化率为( ) A 3 B0.29 C2.09 D2.9 答案 D 解析 f(1) (1) 2(1) 2. f(0.9) (0.9) 2(0.9) 1.71. 平均变化率为 f(0.9) f(1) 0.9 (1) 1.71 ( 2) 0.1 2.9 ，故应选D. 4已知函
11、数f(x)x24 上两点A，B，xA1，xB1.3 ，则直线AB的斜率为 ( ) A 2 B2.3 C2.09 D2.1 答案 B 解析 f(1) 5，f(1.3) 5.69. kAB f(1.3) f(1) 1.3 1 5.69 5 0.3 2.3 ，故应选B. 5已知函数f(x)x 22 x，函数f(x)从 2 到 2x的平均变化率为( ) A 2xB 2x C2xD(x)2 2x 第 5 页 共 36 页 答案 B 解析 f(2) 22 2 2 0， f(2x) (2x)22(2 x) 2x(x)2， f(2x)f(2) 2x2 2x，故应选B. 6已知函数yx21 的图象上一点(1,2
12、) 及邻近一点 (1x,2y)，则 y x等于 ( ) A 2 B2x C2xD2(x)2 答案 C 解析 y x f(1x)f(1) x (1 x)212 x 2 x.故应选 C. 7质点运动规律S(t)t 2 3，则从 3 到 3.3 内，质点运动的平均速度为 ( ) A 6.3 B36.3 C3.3 D9.3 答案 A 解析 S(3) 12 ，S(3.3) 13.89 ， 平均速度v S(3.3) S(3) 3.3 3 1.89 0.3 6.3，故应选A. 8在x1 附近，取x0.3 ，在四个函数yx、yx2、yx3、y 1 x中， 平均变化率最大的是( ) AB CD 第 6 页 共
13、36 页 答案 B 解析 x0.3 时，yx在x1 附近的平均变化率k11；yx2在x1 附近 的平均变化率k22 x2.3 ；yx3在x1 附近的平均变化率k333x(x)2 3.99 ；y 1 x在 x1 附近的平均变化率k4 1 1x 10 13 . k3k2k1k4，故应选 B. 9物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数ss(t)，则物体在时间间 隔t0，t0t内的平均速度是( ) Av0B. t s(t0 t)s(t0) C. s(t0 t)s(t0) t D. s(t) t 答案 C 解析 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C. 10 已知曲线y 1 4x 2 和这条
14、曲线上的一点P1， 1 4 ，Q是曲线上点P附近的一点，则 点Q的坐标为 ( ) A. 1x， 1 4( x)2B. x， 1 4( x)2 C. 1x， 1 4 (x1) 2 D. x， 1 4(1 x)2 答案 C 解析 点Q的横坐标应为1x，所以其纵坐标为f(1x) 1 4 (x1) 2 ，故应选 C. 二、填空题 11 已知函数yx32，当x2 时， y x_. 答案 (x)26x12 第 7 页 共 36 页 解析 y x (2 x)32(2 32) x (x) 36( x)212 x x (x) 26 x12. 12 在x2 附近， x 1 4 时，函数y 1 x的平均变化率为 _
15、 答案 2 9 解析 y x 1 2x 1 2 x 1 4 2x 2 9 . 13 函数yx在x1 附近，当x 1 2 时的平均变化率为_ 答案 62 解析 y x 1x1 x 1 1x1 62. 14 已知曲线yx21 上两点A(2,3) ，B(2 x,3y)，当 x1 时，割线AB的斜 率是 _ ；当 x0.1 时，割线AB的斜率是 _ 答案 5 4.1 解析 当 x1 时，割线AB的斜率 k1 y x (2 x)212 21 x (21) 222 1 5. 当 x 0.1 时，割线AB的斜率 k2 y x (2 0.1) 21221 0.1 4.1. 三、解答题 15 已知函数f(x)2
16、x1，g(x) 2x，分别计算在区间3，1，0,5 上函数f(x) 第 8 页 共 36 页 及g(x)的平均变化率 解析 函数f(x)在3， 1上的平均变化率为 f(1) f(3) 1(3) 2 (1)1 2 (3)1 2 2. 函数f(x)在0,5 上的平均变化率为 f(5)f(0) 5 0 2. 函数g(x)在3， 1上的平均变化率为 g(1)g(3) 1 (3) 2. 函数g(x)在0,5 上的平均变化率为 g(5) g(0) 50 2. 16 过曲线f(x) 2 x2 的图象上两点A(1,2) ，B(1x,2 y)作曲线的割线AB，求出当 x 1 4时割线的斜率 解析 割线AB的斜率k (2y)2 (1x)1 y x 2 (1x) 22 x 2(x2) (1x)2 72 25 . 17 求函数yx2在x 1、 2、 3 附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ 解析 在x2 附近的平均变化率为 k1 f(1x)f(1) x (1 x)21 x 2 x； 在x2 附近的平均变化率为 k2 f(2x)f(2) x (2 x)22 2 x 4x；