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1、1 2015 年重庆市高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，B=2，3，则（） AA=BBAB=?CABDBA 2 （5 分）在等差数列 an中，若 a2=4，a4=2，则 a6=（） A1B0C1D6 3 （5 分）重庆市 2013 年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据 的中位数是（） A19B20C21.5D23 4 （5 分）“x1”是“（x+2）0”的（） A充要条件B充分而不必要条件 C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件 5 （5
2、分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） ABCD 6 （5 分）若非零向量， 满足|=| ，且（ ）（3 +2 ） ，则 与 的夹角为（） 2 ABCD 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为 8，则判断框图可填入的 条件是（） AsBsCsDs 8 （5 分）已知直线 x+ay1=0是圆 C ：x 2+y24x2y+1=0的对称轴， 过点 A （ 4，a）作圆 C的一条切线，切点为B，则|AB|= （） A2B6C4D2 9 （5 分）若 tan=2tan，则=（） A1B2C3D4 10 （5分）设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F
3、作 AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过 B，C分别作 AC ，AB的垂线，两垂 线交于点 D 若 D到直线 BC的距离小于 a+，则该双曲线的渐近线斜 率的取值范围是（） A （1，0）（0，1）B （， 1）（ 1，+） 3 C （，0）（0，）D （，）（，+） 二、填空题：本大题共3 小题，考生作答5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 把答 案填写在答题卡相应位置上. 11 （5 分）设复数 a+bi （a，bR）的模为，则（a+bi） （abi ）= 12 （5 分）的展开式中 x 8 的系数是（用数字作答） 13 （5 分）在ABC中，B=120 ，AB=，A的角平分线 AD=
4、，则 AC= 三、考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三 题全做，则按前两题给分 14 （5 分）如题图，圆O的弦 AB ，CD相交于点 E，过点 A 作圆 O的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA=6 ，AE=9 ，PC=3 ，CE ：ED=2 ：1，则 BE= 15 （5分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线C 的 极 坐 标 方 程 为 ，则直线 l 与曲线 C的交点的极坐标 为 16若函数 f （x）=|x+1|+2|x a| 的最小值为
5、 5，则实数 a= 四、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 17 （13 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中 豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意 选取 3 个 （）求三种粽子各取到1 个的概率； （）设 X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 4 18 （13分）已知函数 f （x）=sin （x）sinx cos 2x （I ）求 f （x）的最小正周期和最大值； （II ）讨论 f （x）在， 上的单调性 19 （13分）如题图，三棱锥PABC中，PC 平面 AB
6、C ，PC=3 ，ACB=D， E分别为线段 AB ，BC上的点，且 CD=DE= ，CE=2EB=2 （）证明： DE 平面 PCD （）求二面角 APD C的余弦值 5 20 （12分）设函数 f （x）=（aR ） （）若 f （x）在 x=0 处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y=f （x）在点 （1，f （1） ）处的切线方程； （）若 f （x）在3 ，+）上为减函数，求a的取值范围 21 （12 分）如题图，椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2， 过 F2的直线交椭圆于 P，Q两点，且 PQ PF1 （）若 |PF1|=2+|=2 ，求椭圆的标准方程； （）若 |P
7、F1|=|PQ| ，求椭圆的离心率e 6 22 （12分）在数列 an 中，a1=3，an+1an+an+1+an 2=0（nN +） （）若 =0，=2，求数列 an的通项公式； （）若 =（k0N+，k02） ，=1，证明：2+2+ 7 2015 年重庆市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，B=2，3，则（） AA=BBAB=?CABDBA 【考点】 16：子集与真子集 【专题】 5J：集合 【分析】 直接利用集合的运算法则求解即
8、可 【解答】 解：集合 A=1，2，3，B=2，3， 可得 AB，AB=2，3，BA，所以 D正确 故选： D 【点评】 本题考查集合的基本运算，基本知识的考查 2 （5 分）在等差数列 an中，若 a2=4，a4=2，则 a6=（） A1B0C1D6 【考点】 83：等差数列的性质 【专题】 54：等差数列与等比数列 【分析】 直接利用等差中项求解即可 【解答】解：在等差数列 an 中，若 a2=4，a4=2，则 a4= （a2+a6）=2， 解得 a6=0 故选： B 【点评】 本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力 8 3 （5 分）重庆市 2013 年各月的平均气温（
9、）数据的茎叶图如，则这组数据 的中位数是（） A19B20C21.5D23 【考点】 BA ：茎叶图 【专题】 5I ：概率与统计 【分析】 根据中位数的定义进行求解即可 【解答】 解：样本数据有 12 个，位于中间的两个数为20，20， 则中位数为， 故选： B 【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键比 较基础 4 （5 分）“x1”是“（x+2）0”的（） A充要条件B充分而不必要条件 C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件 【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】 5L：简易逻辑 【分析】解“（x+2）0”，求出其充要条件，再和x1 比较，从而
10、求出 答案 【解答】 解：由“（x+2）0” 得：x+21，解得： x1， 故“x1”是“（x+2）0”的充分不必要条件， 9 故选： B 【点评】 本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题 5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） ABCD 【考点】 L! ：由三视图求面积、体积 【专题】 5F：空间位置关系与距离 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据， 求解几何体的体 积即可 【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角 形，腰长为，高为 1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边， 右侧是半圆柱，底面
11、半径为1，高为 2， 所求几何体的体积为：= 故选： A 【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法， 判断几何体的 形状是解题的关键 6 （5 分）若非零向量， 满足|=| ，且（ ）（3 +2 ） ，则 与 的夹角为（） 10 ABCD 【考点】9O ： 平面向量数量积的性质及其运算；9S： 数量积表示两个向量的夹角 【专题】 5A：平面向量及应用 【分析】 根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可 【解答】 解：（ ）（ 3 +2 ） ， （ ）? （3 +2 ）=0， 即 3 222 ? =0， 即 ?=3 222=2， cos ， =， 即， =， 故选：
12、 A 【点评】本题主要考查向量夹角的求解， 利用向量数量积的应用以及向量垂直的 等价条件是解决本题的关键 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为 8，则判断框图可填入的 条件是（） 11 AsBsCsDs 【考点】 E7：循环结构 【专题】 27：图表型； 5K：算法和程序框图 【分析】模拟执行程序框图， 依次写出每次循环得到的k，S的值，当 S时， 退出循环，输出 k 的值为 8，故判断框图可填入的条件是S 【解答】 解：模拟执行程序框图， k 的值依次为 0，2，4，6，8， 因此 S=（此时 k=6） ， 因此可填： S 故选： C 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框
13、图，根据框图的流程判断程序运行的 S值是解题的关键 8 （5 分）已知直线 x+ay1=0是圆 C ：x 2+y24x2y+1=0的对称轴， 过点 A （ 4，a）作圆 C的一条切线，切点为B，则|AB|= （） A2B6C4D2 12 【考点】 J9：直线与圆的位置关系 【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5B：直线与圆 【分析】 求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：x+ay1=0经过圆 C的 圆心（2，1） ，求得 a 的值，可得点 A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求 得|AB| 的值 【解答】 解：圆 C：x 2+y24x2y+1=0，即（x2）2+（y
14、1）2 =4， 表示以 C （2，1）为圆心、半径等于2 的圆 由题意可得，直线l ：x+ay1=0经过圆 C的圆心（ 2，1） ， 故有 2+a1=0，a=1，点 A（4，1） AC=2，CB=R=2 ， 切线的长 |AB|=6 故选： B 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和 圆相切的性质的合理运用，属于基础题 9 （5 分）若 tan=2tan，则=（） A1B2C3D4 【考点】GF ：三角函数的恒等变换及化简求值；GX ：三角函数的积化和差公式 【专题】 56：三角函数的求值 【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的 基
15、本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可 【解答】解：tan=2tan，则 = 13 = = = =3 故选： C 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查 计算能力 10 （5分）设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过 B，C分别作 AC ，AB的垂线，两垂 线交于点 D 若 D到直线 BC的距离小于 a+，则该双曲线的渐近线斜 率的取值范围是（） A （1，0）（0，1）B （， 1）（ 1，+） C （，0）（0，）D （，）（，+） 【考点】 KC ：双曲线的性质 【专题】 11：计
16、算题； 2：创新题型； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程 14 【分析】 由双曲线的对称性知D在 x 轴上， 设 D （x， 0） ， 则由 BD AB得?= 1，求出 cx，利用 D到直线 BC的距离小于 a+，即可得出结论 【解答】 解：由题意， A（a，0） ，B（c，） ，C （c，） ，由双曲线的对称 性知 D在 x 轴上， 设 D（x，0） ，则由 BD AB得?=1， cx=， D到直线 BC的距离小于 a+， cx=| a+， c 2a2=b2， 01， 双曲线的渐近线斜率的取值范围是（1，0）（0，1） 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D
17、到直线 BC的距 离是关键 二、填空题：本大题共3 小题，考生作答5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 把答 案填写在答题卡相应位置上. 11 （5 分）设复数 a+bi （a，bR）的模为，则（ a+bi） （abi ）= 3 【考点】 A5：复数的运算； A8：复数的模 【专题】 5N ：数系的扩充和复数 【分析】 将所求利用平方差公式展开得到a 2+b2，恰好为已知复数的模的平方 【解答】 解：因为复数 a+bi（a，bR ）的模为， 15 所以 a 2+b2= =3，则（ a+bi） （abi ）=a 2+b2=3； 故答案为： 3 【点评】 本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；
18、属于基础题 12 （5 分）的展开式中 x 8 的系数是（用数字作答） 【考点】 DA ：二项式定理 【专题】 5P：二项式定理 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 8，求得 r 的值， 即可求得展开式中的x 8 的系数 【解答】 解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1=?， 令 15=8，求得 r=2，故开式中 x 8 的系数是?= ， 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式， 属于基础 题 13 （5 分）在ABC中，B=120 ，AB=，A的角平分线 AD=，则 AC= 【考点】 HR ：余弦定理 【专题】 58：解三角形 【分
19、析】 利用已知条件求出 A，C，然后利用正弦定理求出AC即可 【解答】 解：由题意以及正弦定理可知：，即， ADB=45 ， A=180 12045，可得 A=30 ，则 C=30 ，三角形 ABC 是等腰三角形， AC=2= 16 故答案为： 【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力 三、考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三 题全做，则按前两题给分 14 （5 分）如题图，圆O的弦 AB ，CD相交于点 E，过点 A 作圆 O的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA=6 ，AE=9 ，PC=3 ，CE ：ED=
20、2 ：1，则 BE= 2 【考点】 NC ：与圆有关的比例线段 【专题】 17：选作题； 5M ：推理和证明 【分析】 利用切割线定理计算CE ，利用相交弦定理求出BE即可 【解答】 解：设 CE=2x ，ED=x ，则 过点 A作圆 O的切线与 DC的延长线交于点 P， 由切割线定理可得PA 2=PC ? PD ，即 36=3（3+3x） ， x=3， 由相交弦定理可得9BE=CE ? ED ，即 9BE=6 3， BE=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础 15 （5分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点， x
21、轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线C 的 极 坐 标 方 程 为 ，则直线 l 与曲线 C的交点的极坐标 为（2，） 17 【考点】 Q4 ：简单曲线的极坐标方程；QJ ：直线的参数方程 【专题】 5S：坐标系和参数方程 【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标， 转化我 2 极坐 标即可 【解答】 解：直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，它的直角坐标方程为： xy+2=0； 曲线 C的极坐标方程为， 可得它的直角坐标方程为：x 2y2=4，x0 由，可得 x=2，y=0， 交点坐标为（ 2，0） ， 它的极坐标为（ 2，） 故答案为：（2，
22、） 【点评】本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知 识的考查 16若函数 f （x）=|x+1|+2|x a| 的最小值为 5，则实数 a= 6 或 4 【考点】 &2：带绝对值的函数 【专题】 2：创新题型； 51：函数的性质及应用 【分析】分类讨论 a 与1 的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性 求得 f （x）的最小值，再根据f （x）的最小值等于5，求得 a 的值 【解答】 解：函数f （x）=|x+1|+2|x a| ，故当a 1 时， f （ x） =， 根据它的最小值为f （a）=3a+2a1=5，求得 a=6 当 a=1 时，f （x）=3|
23、x+1| ，它的最小值为 0，不满足条件 18 当 a1 时，f （x）=， 根据它的最小值为f （a）=a+1=5，求得 a=4 综上可得， a=6 或 a=4， 故答案为： 6 或 4 【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值， 体现了转 化、分类讨论的数学思想，属于中档题 四、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 17 （13 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中 豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意 选取 3 个 （）求三种粽子各取到1 个的概率； （）
24、设 X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式；CH ：离散型随机变量的期望与方差 【专题】 5I ：概率与统计 【分析】 （）根据古典概型的概率公式进行计算即可； （）随机变量X的取值为： 0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和 期望 【解答】 解： （）令 A表示事件“三种粽子各取到1 个”， 则由古典概型的概率公式有P（A）= （）随机变量 X的取值为： 0，1，2， 则 P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=， X012 19 P EX=0 +1+2= 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率
25、是解决本题的关键 18 （13分）已知函数 f （x）=sin （x）sinx cos 2x （I ）求 f （x）的最小正周期和最大值； （II ）讨论 f （x）在， 上的单调性 【考点】GS ：二倍角的三角函数； H1 ：三角函数的周期性； HM ：复合三角函数的 单调性 【专题】 57：三角函数的图像与性质 【分析】 （）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的 周期性和最值求得f （x）的最小正周期和最大值 （）根据 2x0 ， ，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f （x） 在上的单调性 【解答】 解： （）函数 f （x）=sin （x）sinx x=cosxsi
26、nx （1+cos2x） =sin2x cos2x=sin （2x）， 故函数的周期为=，最大值为 1 （）当 x时，2x0 ， ，故当 02x时，即 x， 时，f （x）为增函数； 当2x 时，即 x， 时，f （x）为减函数 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值， 正弦函数的单 调性，属于中档题 20 19 （13分）如题图，三棱锥PABC中，PC 平面 ABC ，PC=3 ，ACB=D， E分别为线段 AB ，BC上的点，且 CD=DE= ，CE=2EB=2 （）证明： DE 平面 PCD （）求二面角 APD C的余弦值 【考点】 LW ：直线与平面垂直； MJ ：
27、二面角的平面角及求法 【专题】 5G ：空间角 【分析】 （）由已知条件易得PC DE ，CD DE ，由线面垂直的判定定理可得； （）以 C为原点，分别以，的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角 坐标系，易得，的坐标，可求平面 PAD的法向量，平面 PCD 的法 向量可取，由向量的夹角公式可得 【解答】 （）证明： PC 平面 ABC ，DE ? 平面 ABC ，PC DE ， CE=2 ，CD=DE= ， CDE 为等腰直角三角形， CD DE ，PC CD=C ， DE垂直于平面 PCD 内的两条相交直线， DE 平面 PCD （）由（）知 CDE 为等腰直角三角形， DCE=， 过点
28、 D作 DF垂直 CE于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1 ，故 FB=2 ， 由ACB=得 DF AC ，故 AC= DF= ， 以 C为原点，分别以，的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 C（0，0，0） ，P（0，0，3） ，A（，0，0） ，E（0，2，0） ，D（1，1，0） ， 21 =（1，1，0） ，=（1，1，3） ，=（，1，0） ， 设平面 PAD的法向量=（x，y，z） ，由， 故可取=（2，1，1） ， 由（）知 DE 平面 PCD ，故平面 PCD的法向量可取=（1，1，0） ， 两法向量夹角的余弦值cos，= 二面角 APD C的
29、余弦值为 【点评】本题考查二面角， 涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量 的夹角是解决问题的关键，属难题 20 （12分）设函数 f （x）=（aR ） （）若 f （x）在 x=0 处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y=f （x）在点 （1，f （1） ）处的切线方程； （）若 f （x）在3 ，+）上为减函数，求a的取值范围 【考点】6D ： 利用导数研究函数的极值； 6H ： 利用导数研究曲线上某点切线方程 22 【专题】 53：导数的综合应用 【分析】 （I ）f （x）=，由 f（x）在 x=0处取得极值， 可得 f （0）=0，解得 a可得 f（1） ，f （1） ，
30、即可得出曲线 y=f （x）在点（1，f （1） ）处的切线方程； （II ）解法一：由（ I ）可得： f （x）=，令 g（x）=3x 2+（6 a）x+a，由 g（x）=0，解得 x1=，x2=对 x 分类 讨论：当 xx1时；当 x1xx2时；当 xx2时由 f （x）在3 ，+）上为 减函数，可知： x2=3，解得即可 解法二：“分离参数法”：由f（x）在3 ，+）上为减函数，可得f （x） 0，可得 a，在3 ，+）上恒成立令 u（x）=，利用导 数研究其最大值即可 【解答】 解： （I ）f （x）=， f （x）在 x=0 处取得极值， f （0）=0，解得 a=0 当 a=0
31、时，f （x）=，f （ x）=， f （1）= ，f （ 1）=， 曲线 y=f （x）在点（ 1，f （1） ）处的切线方程为，化为： 3x ey=0； （II ）解法一：由（ I ）可得： f （x）=，令 g（x）=3x 2+（6 a）x+a， 由 g（x）=0，解得 x1=，x2= 23 当 xx1时，g（x）0，即 f （ x）0，此时函数 f （x）为减函数； 当 x1xx2时，g（x）0，即 f （x）0，此时函数 f （x）为增函数； 当 xx2时，g（x）0，即 f （ x）0，此时函数 f （x）为减函数 由 f （x）在3 ，+）上为减函数，可知：x2=3，解得 a 因
32、此 a 的取值范围为： 解法二：由 f （x）在3 ，+）上为减函数， f （ x）0， 可得 a，在3 ，+）上恒成立 令 u（x）=，u（x）=0， u（x）在3 ，+）上单调递减， au（3）= 因此 a 的取值范围为： 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用 导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、 推理能力与计算能力，属于难题 21 （12 分）如题图，椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2， 过 F2的直线交椭圆于 P，Q两点，且 PQ PF1 （）若 |PF1|=2+|=2 ，求椭圆的标准方程； （）若 |PF1|
33、=|PQ| ，求椭圆的离心率e 24 【考点】 K4：椭圆的性质 【专题】 2：创新题型； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程 【 分 析 】（ ） 由 椭 圆 的 定 义 ， 2a=|PF1|+|PF2| ， 求 出a ， 再 根 据 2c=|F1F2|=2，求出 c，进而求出椭圆的标准方程； （）由椭圆的定义和勾股定理， 得|QF1|=|PF1|=4a 2|PF1| ，解得|PF1|=2（2 ）a，从而 |PF2|=2a |PF1|=2 （1）a，再一次根据勾股定理可求出 离心率 【解答】 解： （）由椭圆的定义， 2a=|PF1|+|PF2|=2+2=4，故 a=2， 设椭圆的半焦距为c
34、，由已知 PF2PF1，因此 2c=|F1F2|=2， 即 c=，从而 b=1， 故所求椭圆的标准方程为 （）连接 F1Q ，由椭圆的定义， |PF1|+|PF2|=2a ，|QF1|+|QF2|=2a ， 从而由 |PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2| ， 有|QF1|=4a 2|PF1| ， 又由 PQ PF1，|PF1|=|PQ| ，知|QF1|=|PF1|=4a2|PF1| ，解得|PF1|=2（2） a，从而 |PF2|=2a|PF1|=2 （1）a， 由PF2PF1，知2c=|F1F2|=，因此 e= 【点评】 本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2| ，椭圆的标准方
35、程，直角三角形 的勾股定理，属于中档题 22 （12分）在数列 an 中，a1=3，an+1an+an+1+an 2=0（nN +） （）若 =0，=2，求数列 an的通项公式； （）若 =（k0N+，k02） ，=1，证明：2+2+ 25 【考点】 8K：数列与不等式的综合 【专题】 2：创新题型； 54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用 【分析】 （）把 =0，= 2 代入数列递推式，得到（ n N+） ， 分析 an0 后可得 an+1=2an（nN+） ，即an 是一个公比 q=2的等比数列从而 可得数列的通项公式； （）把代入数列递推式，整理后可得（n N） 进一步得到=
36、，对 n=1 ， 2 ， ， k0求 和 后 放 缩 可 得 不 等 式 左 边 ， 结 合 ，进一步利用放缩法证明不等式右边 【解答】 （）解：由 =0，=2，有（ n N+） 若存在某个n0N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过 程可得 a1=0，此与 a1=3矛盾， 对任意 nN+，an0 从而 an+1=2an（nN+） ，即an 是一个公比 q=2的等比数列 故 （）证明：由，数列 an的递推关系式变为 ，变形为：（nN） 由上式及 a1=30，归纳可得 3=a1a2 anan+1 0 =， 对 n=1，2， k0求和得： = 26 另一方面，由上已证的不等式知， 得 =2+ 综上， 2+2+ 【点评】本题考查了数列递推式， 考查了等比关系的确定， 训练了放缩法证明数 列不等式属难度较大的题目