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1、专题 2 函数与导数 1.理解函数定义时，函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件， 只能一对一或者多对一，不能一对多，定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素，定义域、定义法 则确定，值域也就确定，注意对应法则相同，定义域不同的函数不是同一函数 . 2.函数的表示方法有三种：列表法，图像法，解析式法， 3. 求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式( 组) 求解，如开偶次方 根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式， 不应遗漏 ,实际问题要考虑变量的实际意义，注意挖掘隐含条件对抽象函数，只要对 应关
2、系相同，括号里整体的取值范围就完全相同 4. 求函数解析式的方法：有直接法、待定系数法、配凑法、配方法、换元法，用换元法求解析式时，要注 意新元的取值范围，即函数的定义域问题 5.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是 几个函数，用解析式表示分段函数时，注意要书写正确即 11 22 ( ), ( ), ( ), nn fxxA fx xA y fxxA ，分段函数的值域是各 段函数值域的并集. 6. 求函数最值 ( 值域 ) 常用的方法： (1) 单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数 (2) 图象法：适合于已知或易作出图象的函数，特别是
3、二次函数在某个区间上的最值 (3) 基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数 (4) 导数法：适合于可导函数 (5) 换元法；适应复合函数，即先由定义域求出内函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数 的图像与性质求出外函数的值域，即为函数的值域，利用换元法求值域时，要特别注意新元的范 围 (6) 分离常数法：适合于一次分式 (7) 有界函数法：适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子无论用什么方法求最值，都要考查 “等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域 7. 函数的奇偶性 (1)( )f x是 奇 函 数对 定 义 域 内 任 意x， 都 有()( )fxf x对
4、定 义 域 内 任 意x， 都 有 ()( )0fxf x( )f x 图像关于原点对称； （ 2）( )fx是偶函数对定义域内任意x，都有()( )fxf x对定义域内任意 x，都有 ()( )0fxf x( )f x图像关于y轴对称； （3）()yf xa是偶函数对定义域内任意x都有()f ax=()f ax （4）()yf xa是奇函数对定义域内任意 x都有()f ax =()f ax 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注 意使定义域不受影响 8. 掌握函数奇偶性的性质 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函
5、数在关于原点对称的区 间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 (2)若 f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|) (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0. 故“ f(0)0”是“ f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件，已知函数奇偶性求参数常用特值 法 . 9. 函数的单调性 (1) 判定函数单调性方法： 定义法：若 1212 ,xxa bxx，那么 12 ()()f xf x设 2121 ,xxbaxx，那么 1212 ()()()0xxf xf x 12 12 ()() 0 fxfx xx ( )f x在, a b上是增函数； 若 1212 ,xxa bxx，那么
6、12 ()()f xf x设 2121 ,xxbaxx，那么 1212 ()()()0xxf xf x 12 12 ()() 0 f xf x xx ( ),f xa b在上是减函数 . 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf 为减函数 . 性质法 : 如果函数)(xf和)(xg在相同区间上是单调函数, 则增函数 +增函数是增函数；减函数+ 减函数是减函数；增函数- 减函数是增函数；减函数- 增函数是减函数； 复合函数单调性: “同增异减” （2）已知含参数的可导函数( )fx在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数
7、的关系， 转化为在该区间上( )fx 0 （ 0）恒成立问题， 通过参变分离或分类讨论求出参数的范围， 再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上 . （3）求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接， 或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替 10. 函数( )yfx的图象的对称性结论 若函数)(xfy关于xa对称对定义域内任意x都有()f ax=()f ax对定义域内任意 x都有( )f x=(2)fax()yf xa是偶函数； 函数)(xfy关于点（a，0）对定义域内任意 x都有()f ax =()f ax(2)fax= ( )f
8、x()yf xa是奇函数； 若函数)(xfy对定义域内任意x都有)()(xbfaxf, 则函数)(xf的对称轴是 2 ba x； 若函 数)(xfy对 定义 域内 任意 x都 有()()fxaf bx, 则 函 数)(xf 的 对称轴中心 为 (,0) 2 ab ； 函数(|)yfxa关于xa对称 . 11. 两个函数对称的结论 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线 2 ba x对称 . 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0x( 即y轴) 对称 . 函数( )yf x与函数( )yf x的图象关于直线0y( 即x轴) 对称。 函数( )yf x与函数()yfx的图象关
9、于点（0,0 ）（即原点 )对称。 12函数)(xfy的图象变换 将函数()yfx图像0)(0) |aaa向左(向右单位()yfxa的图象； 将函数)(xfy图像0)(0) | |bbb向上(向右单位( )yf xb的图象； 将函数)(xfy图像xxx轴下方部分沿轴对折到 轴上方| ( )|yf x的 图象； 将函数)(xfy图像y擦除 轴左侧部分将 y轴部分沿 y轴对折(| |)yfx的图象； 将函数)(xfy图上 1 所有点的横坐标变为原来的倍()yfx的图象 ; 将函数)(xfy图上A所有点的纵坐标变为原来的倍( )yAfx的图象 . 在平移变换中要掌握“左加右减，加上减下”的平移法则，
10、平移单位是加在 x 上而不是加 在 ax上. 13. 函数图象的分析判断主要依据两点：根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等； 根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项 14. 二次函数问题 (1)处理二次函数的问题“勿忘数形结合”二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“ 两看 法” ：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系 (2)二次函数解析式的三种形式： 一般式： f(x)ax2bxc(a0) ； 顶点式： f(x)a(xh)2k(a0) ；来源 学_ 科 _网 Z_X_X_K 零点式： f(x)a(xx1)(xx2)(a 0) (3)一元二次方程实根分
11、布：先观察二次系数，与 0 的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数 值符号，再根据上述特征画出草图 尤其注意若原题中没有指出是“ 二次 ” 方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情 形 15. 函数周期常见结论( 约定a0) （1）对定义域内任意 x都有)()(axfxf ，则)(xf的周期 T=a； （2）对定义域内任意x都有( )()f xf xa，或)0)( )( 1 )(xf xf axf，或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x, 则)(xf的周期 T=2a； （3）若函数)(xf关于x=a，x=b对称，则)(xf的周期为2|ba； （4）若函数)(
12、xf关于（a， 0），（b，0）对称，则)(xf的周期为2 |ba； （5）若函数)(xf关 于x=a，（b， 0）对称，则)(xf的周期为4|ba. 16. 指数函数 （1）熟记分数指数幂的概念、实数指数幂的运算法则，根式概念与性质，特别 | |, nn an a a n ， 为奇数 为偶数 . (2) 指数函数定义域为R，值域为（ 0，+），恒过（ 0,1 ），当0a 1 时，是减函数；当a1 时. 是增函数，掌握指数函数图像与性质时，要结合图像记忆. (3) 解指数不等式时，若底数相同，利用指数函数的单调性化为一般不等式求解；若底数不同，常两边 取对数化为一般不等式求解；若是关于某个指数
13、的二次不等式问题，利用换元法求解. (4) 若比较指数式的大小问题，若底数相同，利用指数函数的单调性判定，若底数不同，先根据指 数函数的图像与性质确定个指数式的范围再确定其大小. 17. 对数函数 （1）会将对数式与指数式互化，掌握对数的运算法则和换底公式，熟记以下对数恒等式： loglog m n a a n bb m ， logaM aM (2) 对数函数定义域为（0，+），值域为R，恒过（ 1,0 ），当 0 a1 时，是减函数；当a1 时. 是增函数，掌握对数函数图像与性质时，要结合图像记忆. (3) 解对数不等式时，若底数相同，利用对数函数的单调性化为一般不等式求解；若对数不同，常利
14、用 对数换底公式化为同底数问求解；若是关于某个对数的二次不等式问题，利用换元法求解. (4) 若比较对数式的大小问题，若底数相同，利用对数函数的单调性判定，若底数不同，先根据对 数函数的图像与性质确定个对数式的范围再确定其大小. 18. 幂函数 形如 yx ( R)的函数为幂函数 (1)若 1，则 yx，图象是直线 当 0 时， yx01(x0) 图象是除点 (0,1)外的直线 当 01 时，在第一象限内，图象是下凸的 (2)增减性：当 0 时，在区间 (0， ) 上，函数 yx 是增函数，当 0时，在区间 (0， ) 上， 函数 yx是减函数 19. 函数与方程 (1)对于函数yf(x)，使
15、 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点事实上，函数yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根 (2)如果函数yf(x)在区间 a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数y f(x)在区间 a，b内有零点，即存在ca，b，使得 f(c)0，此时这个c就是方程 f(x) 0的根反之不成立 20. 曲线的切线问题，注意在某处的切线与过某点切线的求法不同，在某点的切线， 该点是切 点，利用导数几何意义求切线方程，过某点的切线，该点不一定是切点，设出切点，求出切线方程， 将已知点代入，求出切点，即可求出切线方程. 21. 要熟记常见函数的导数和导数的运算法则，对某些
16、函数不能直接利用导数运算法则求导的函数或较复杂 的函数，在求导前要进行恒等变形，变成可以利用导数运算法则的形式再求导， 如 y=tanx 化成 sin cos x y x ， 2 y xx 化为 3 2 2yx. 掌握复合函数（文科学生不要求掌握）的求导法则，在利用复合函数导数运算法则时，先分清该函数 由哪些函数复合而成，再从外到内逐次求导. 22. 函数的单调性问题与导数的关系 （1）函数的单调性与导数的关系：设函数( )yf x在某个区间内可导，若( )0fx，则( )f x为增函 数；若 / ( )0fx，则( )f x为减函数 . （2）用导数函数求单调区间方法 求单调区间问题，先求函
17、数的定义域，在求导函数，解导数大于0 的不等式，得到区间为增区间，解 导数小于0 得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示， 且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明 增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论； (3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题 先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数）0 恒成立问题，通 过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中 条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加 . （4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）
18、区间是某各区间的区别，函数在某 个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集. 23.函数的极值与导数 （1）函数极值的概念 设函数( )yf x在 0 x附近有定义， 若对 0 x附近的所有点， 都有 0 ( )()f xf x， 则称 0 ()f x是函数( )f x 的一个极大值，记作y极大值= 0 ()f x； 设函数( )yf x在 0 x附近有定义， 若对 0 x附近的所有点， 都有 0 ( )()f xf x， 则称 0 ()f x是函数( )f x 的一个极小值，记作y极小值= 0 ()f x. 注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值
19、，且 极大值不定大于极小值 ;极值点不能在函数端点处取. （2）函数极值与导数的关系 当函数( )yf x在 0 x处连 续时，若在 0 x附近的左侧 / ( )0fx，右侧 / ( )0fx，那么 0 ()f x是极大 值；若在 0 x附近的左侧 / ( )0fx，右侧 / ( )0fx，那么 0 ()f x是极小值 . 来源: 学科网 ZXXK 注意：在导数为 0 的点不一定是极值点，如函数 3 yx，导数为 /2 3yx，在0x处导 数为 0，但不是极值点； 极值点导数不定为0，如函数|yx在0x的左侧是减函数，右侧是增函数， 在0x处取极 小值， 但在0x处的左导数 0 (0)( 0)
20、 lim x x x =-1，有导数 0 (0)(0) lim x x x =1，在0x处的导 数不存在 . （3）函数的极值问题 求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0 点，方程的根和导数不存在的点，再用 导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一 点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值； 已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注 意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0 的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给 点的是否去极值 ； 已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导
21、数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于 0，求出参数的范围. 24.最值问题 （1）最值的概念 对函数( )yf x有函数值 0 ()f x使对定义域内任意x，都有( )f x 0 ()f x（( )f x 0 ()f x）则称 0 ()f x是函数( )yf x的最大（小）值. 注意：若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函 数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值 . 来源:Z,xx,k.Com 最大值不一定是极大值， 若函数是单峰函数， 则极大（小）值就是最大（小） 值. （2）函数最问题 对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最
22、大者为最大值，最小者为 最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的 图像，结合函数图像求出极值； 对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式( )fx（）( )g a（x 是自变量，a是参数）恒成立问题，( )g a max ( )f x（ min ( )f x），转化为求函数的最值问题，注 意函数最值与极值的区别与联系. 25.导数的综合问题 （1）对不等式的证明问题，先根据题意构造函数，再利用导数研究函数的单调性与最值，利用函数 的单调性与最值证明不等式；注意应用前面小题结论； （2）对含参数的恒成立问题、存在成立问题，常
23、通过参变分离，转化为含参数部分大于另（小于）一 端不含参数部分的最大值（最小值）问题，再利用导数研究函数的最值，若参变分离后不易求解， 就要从分类讨论和放缩方面入手解决，注意恒成立与存在成立问题的区别. 26.在作函数应用题时，首项要认真审题，审题是解题的前提，应用题往往题干较长，文字表述较多.要耐心 将题目多读几遍，弄明白本题要解决的问题，注意抓住题目中的关键词、关键句，尤其是题目中出现的 新词，往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求把这些新词单独提取出来，如：至多、至少、直到 两人中有一人取到白球，要用到哪些知识点，归结为熟知数学问题类型，再分析题中涉及的量，分析哪 些是已知量，哪些是未
24、知量，以及这些量的关系. 第二步，建模：即用数学语言翻译文字描述，并建立数学模型，这是解题的关键；数学模型的建立是 利用所学的数学知识如函数与题目所给信息相结合，建立函数模型，根据题中的条件求出定义域，化 归为函数问题，就建立好了数学模型. 第三步，解模，利用函数知识和有关方法，对函数问题进行求解，得到该数学问题的数学解. 第四步，回归，根据问题背景，用得到的数学解对原问题作出合理解释. 1. 【2015 届江苏省苏锡常镇四市教学情况调研】函数 2 2 ( )log6f xx的定义域为 2. 【2015 届江苏泰州姜堰区期中考试】曲线2lnyxx 在点（ 1，2）处的切线方程是 3. 【201
25、5 届江苏泰州姜堰区期中考试,6 】不等式 2 22 log (4)log (3 )xx的解集为 . 4. 【2015 届江苏省扬州市上学期期末】设函数 2 2,2 ( ) ,2 x a x f x xax ，若 f（x）的值域为R，是实数a 的 取值范围是_. 5. 【2015 届湖南省益阳市箴言中学上学期三模】设函数 (2) ,2 ( ) 1 ()1,2 2 x ax x fx x 是 R 上的单调递减函数， 则实数a的取值范围为 . A.(,2) B. C.(0, 2) D. 13 ,2) 8 6. 【2015 届江苏省南通一中上学期期中】函数y 2 3 log (2 )xx的单调递减区
26、间是 7. 【2015 届江苏省淮阴区上学期期中调研测试】设函数 2 2 (1)sin ( ) 1 xxx f x x 的最大值为 M ，最小值 为 m ，则 mM 来源 : 学 +科+网 8. 【2015 届广东省深圳市第一次调研考试】函数 1 ( )f xx ax 在(,1)上单调递增，则实数a的取值 范围是 . 9. 【2015 届江苏省无锡市高三上学期期末考试】已知函数yf x是定义域为R的偶函数，当0x时， 2 1 ,02 4 , 13 ,2 24 x xx fx x 若关于x的方程 2 7 ( )0, 16 a fxaf xaR有且仅有8个不同实数根， 则实数a的取值范围是 10.
27、 【2015 届江苏省广宇学校百强生竞赛】已知 22 ( )9,f xxxkx若关于x的方程( )f x 在（ 0，4）上 有两个零点，则k的取值范围是 . 11. 【2015 届江苏省常州市武进区上学期期中考试】函数( )f x是定义在R上的偶函数，( 2)0f，且 0x 时，( )( )0f xxfx，则不等式( )0xf x的解集是 . 12【2015 届山东省泰安市高三上学期期末考试】设函数 2 2 0, ,0, xxx fx xx ， 若 2fft，则实 数 t 的取值范围是 . 13.【2015 届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟】已知( )f x是 定 义 在 2,2上 的 奇
28、 函 数 ， 当 (0,2x时 ，()21 x f x， 函 数 2 ()2g xxxm. 如果对于 1 2,2x， 2 2,2x，使得 21 ()()g xf x，则实数m的取值范围是 . 14. 【 2015 届福建省福州第八中学高三上学期第二次质量检查文科数学试卷】幂函数 2 23 ( )(1) mm f xmmx在(0,)上为增函数，则m_ 15. 【2015 届山东省文登第二次统考】已知函数 ( )f x 满足 1 (1) ( ) f x fx ，且 ( )fx 是偶函数， 当 来源: 学科网 Z X X K 1,0x时， 2 ( )f xx，若在区间 1,3内，函数( )( )lo
29、g (2) a g xf xx有4个零点，则实数a的 取值范围是 16. 【 2015届山东省菏泽市高三第一次模拟考试文科数学试卷】定义在实数集R 上的函数fx满足 20fxfx，且4fxfx，现有以下三种叙述： 8 是函数fx的一个周期； fx的图象关于直线2x对称； fx是偶函数 . 其中正确的序号是 . 17. 【 2015 届江苏省泰兴市上学期期中】已知实数0a，函数 2,1, ( ) 2 ,1. xa x f x xa x ，若 (1)(1)fafa，则a= 18. 【 2015 届江苏省常州市武进区上学期期中考试】已知函数1)( 2 x bx ax xf在处取得极值2. （1）求函
30、数)(xf的表达式； （2）若函数)(xf在区间)12,(mm上单调递增，求实数m的取值范围； （3）若直线 l 与fx的图像相切，求直线l 的斜率k的取值范围 . 19. 【 2015 届江苏宿迁下期期初联考】已知函数 lnfxxxa有且只有一个零点 . （1）求 a的值； （2）若对任意的1,x，有22 k fxx x 恒成立，求实数k 的最小值； （3）设1h xf xx，对任意 1212 ,0,x xxx，证明：不等式 12 12 12 xx x x h xh x 恒成立 . 20. 【2015 届江苏省苏州市上学期期末考试】已知函数( )(1) x f xea x， 其中,aR e为
31、自然对数底数. （1）当1a时，求函数( )f x在点(1, (1)f处的切线方程； （2）讨论函数( )f x的单调性，并写出相应的单调区间； （3）已知bR，若函数( )f xb对任意xR都成立，求ab的最大值 . 21. 【 2015 届江苏泰州上期期模考试】某小区想利用一矩形空地 ABCD建造市民健身广场，设计时决定保 留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60ADm， 40ABm，且EFG 中，90EGF，经测量得到10,20AEm EFm 为保证安全同时考虑美观，健身 广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点G 作一条直线交ABDF、于NM、，从而得到五边形 MBCDN的市民健身广场 （）假设 ()DNx m ，试将五边形 MBCDN 的面积 y表示为x的函数，并注明函数的定义域； （）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积