《2015最新高考数学解题技巧解题方法专题08巧解圆锥曲线中的定点和定值问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015最新高考数学解题技巧解题方法专题08巧解圆锥曲线中的定点和定值问题.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 08 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题 【高考地位】 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻 辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、 转化与化归思想的应用定 值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了 一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用 【方法点评】 方法一定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板 是：把直线或曲线方程中的变量x，y 当作常数看待，把方 程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于
2、零， 这样就得到一个关于x， y的方程 组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通 过特例探求，再用一般化方法证明 【例 1】 【四川省广安市2014 年高 2011 级第三次诊断考试20】( 本小题 13 分) 已知 A、B 是椭圆1 2 2 2 y x 上的两点，且FBAF，其中 F 为椭圆的右焦点. ( 1) 求实数的取值范围 ; ( 2) 在 x 轴上是否存在一个定点M， 使得MBMA为定值 ?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明 理由 . 来源 : 学科网 【变式演练1】【2015 届广东惠州市第二次调研】已知椭圆C过点 6 (1,) 2 M，点(2,0)
3、F是椭圆的左焦 点，点 P、Q是椭圆C上的两个动点，且 PF、MF、QF成等差数列 （1）求椭圆C的标 准方程； （2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A. 方法二定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小 或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值 问题常见的 解题模板 有两种： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 【例 2】 【河北省唐山市20142015 学年度高三年级摸底考试20】来源:Zxxk.Com
4、 椭圆 C： 22 22 1 xy ab ( a b0) 的离心率为 3 5 ，P( m，0) 为 C 的长轴上的一个动点，过P 点斜率为 4 5 的直 线 l 交 C 于 A、B 两点 . 当 m0 时， 41 2 PA PB ( 1) 求 C 的方程； ( 2) 证明： 22 |PAPB为定值 . 【变式演练2】 【江苏省通州高级中学2013-2014 学年度秋学期期中考试高三数学试卷】如图，已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2 1 ba b y a x C过点 (1， 2 2 )，离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 12 FF、.点P为直线 2lxy： 上且不在x轴上的任意一点，直线
5、1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为AB、和CDO、，为 坐标原点 (1)求椭圆的标准方程 (2)设直线 12 PFPF、的斜率分别为 12 kk、. ()证明： 21 31 kk 2. ()问直线l上是否存在点P，使得直线OAOBOCOD、的斜率 OAOBOCOD kkkk、满足 0 OAOBOCOD kkkk？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标； 若不存在，说明由 来源 :Z_xx_k.Com 【高考再现】 1. 【 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点 0,0Fcc到直线:20lxy的距离为 3 2 2 设P为直线l上的点，过点P
6、作抛物线C的两条切 线,PA PB，其中,A B为切点 (1) 求抛物线C的方程； (2) 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值 来源 学_科_网 2. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc 到直线l:20xy的距离为 3 2 2 .设P为直线l上的点 ,过点P作抛物线C的两条切线,PA PB,其中 ,A B为切点 . ( ) 求抛物线C的方程； 来源: 学 ,科, 网 Z,X,X,K ( ) 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时 , 求直线AB的方
7、程； ( ) 当点P在直线l上移动时 ,求AFBF的最小值 . 3. 【 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知动圆过定点A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. () 求动圆圆心的轨迹C 的方程 ; () 已知点 B(1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹 C 交于不同的两点P, Q, 若 x 轴是PBQ 的角平分 线, 证明直线l 过定点 . 4. 【 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】 椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别是 12 ,F F，离心率为 2 3 ，过 1 F且垂直于x轴的直线 被椭圆C截
8、得的线段长为1. （）求椭圆C的方程； （）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接 12 ,PF PF，设 12 F PF的角平分线PM交C的长轴于 点,0Mm，求m的取值范围； （）在 （）的条件下， 过点P作斜率为k的直线l,使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线的 12 ,PF PF 斜率分别为 12 ,k k.若0k，试证明 12 11 kkkk 为定值，并求出这个定值. 00 12 00 , 33 yy kk xx 0 120 211x kky . 5. 【 2012 年高考湖南卷理科】在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的点均在C2： （ x-5） 2y2=9 外，且对 C 1上任
9、 意一点 M，M 到直线 x= 2 的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （）求曲线C1的方程； （） 设 P(x0,y0)（ y0 3）为圆 C2外一点， 过 P 作圆 C2的两条切线， 分别与曲线C1相交于点A，B 和 C， D.证明：当P在直线 x=4 上运动时，四点A，B，C，D 的纵坐标之积为定值. 6.【2012 年高考辽宁卷理科】如图，椭圆 22 0 22 :+=1b0,a,b xy Ca ab 为常数，动圆 222 111 :+=, C xytb ta. 点 12 ,A A分别为 0 C的左、右顶点， 1 C与 0 C相交于, , ,A B C D四点 （1）求直线 1
10、AA与直线 2 A B交点M的轨迹方程； （2）设动圆 222 22 :+=C xyt与 0 C相交于, , , A B C D四点，其中 2 b ta， 12 tt.若矩形ABCD与矩形 AB CD的面积相等，证明： 22 12 +tt为定值 7. 【 2012 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1( 0)Fc， 2( 0)Fc，已知(1)e，和 3 2 e， 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率 （1）求椭圆的离心率； （2） 设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 1 AF 与直线 2 BF平行， 2 AF与
11、1 BF交于点P （ i ）若 12 6 2 AFBF，求直线 1 AF的斜率； 来源 : 学科网 ZXXK （ ii ）求证： 12 PFPF是定值 A B P O 1 F 2 Fx y （第 19 题） 8.【2014 山东，理 21】已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过 点A的直线l交C于另一点B， 交x轴的正半轴于点D， 且有| |FAFD.当点A的横坐标为3 时，ADF 为正三角形 . （）求C的方程； （）若直线 1/ ll，且 1 l和C有且只有一个公共点E， （）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （）ABE的面积是否存在最小值？
12、若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 9.【2014 辽宁，理20】圆 22 4xy的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面 积最小时，切点为P（如图），双曲线 22 1 22 :1 xy C ab 过点 P 且离心率为3. （1）求 1 C的方程 ； （2）椭圆 2 C过点 P且与 1 C有相同的焦点，直线l过 2 C的右焦点且与 2 C交于 A，B 两点，若以线段AB 为 直径的圆心过点P，求l的方程 . 10. 【 2014 江西，理20】如图，已知双曲线C: 2 2 2 1 x y a (0a)的右 焦点F,点BA,分别在C的两条渐 近线上，xAF轴，
13、BFOBAB,OA(O为坐标原点）. （1）求双曲线C的方程； （2）过C上一点)0)( 00,0 yyxP的直线1: 0 2 0 yy a xx l与直线AF相交于点M， 与直线 2 3 x相交于点 N，证明点P在C上移动时， NF MF 恒为定值，并求此定值 来源 学 科 网 Z.X.X.K 【反馈练习】 1已知动圆E过定点)2,0(M，且在x轴上截得弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C （1）求曲线C方程； （2）点A为直线l： 20xy 上任意一点，过 A作曲线 C的切线，切点分别为QP,，求证：直线PQ 恒过定点，并求出该定点 2过x轴上动点 ( ,0)A a 引抛物线 2 1yx的
14、两条切线AP、AQ，P、Q为切点 , 设切线AP、AQ的 斜率分别为 1 k和 2 k （）求证： 12 4k k； （）求证：直线PQ恒过定点，并求出此定点坐标； 3 【 天津一中2014-2015高三年级月考数学试卷，理19】已知椭圆 22 22 1,0 xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点2,2 (1)求椭圆的标准方程： (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD 过原点 O，若 2 2ACBD b kk a （i）求OA OB的最值： （ii ）求证：四边形ABCD 的面积为定值. 4 【 山 东 省 实 验 中 学2014-2015第 一 次 诊 断 性 考
15、 试 ， 理 20 】 （ 本 小 题 满 分13 分 ） 已 知 椭 圆 22 22 :10 xy Cab ab ，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. （I）求椭圆的方程； （II） 过点 1,0Q 的直线 l 交 椭圆于 A， B 两点，交直线4x于点 E， .AQQB AEEB uuu ruu u r uu u ruuu r ， 判断 是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由. 5. 【河南八校2014-2015学年上学期第一次联考，理20】 （本小题满分12 分） 已知椭圆C 的中心在原点， 焦点在 x 轴上，离心率等于 1 2 ，它的一个顶点恰好是抛
16、物线 2 8 3xy的焦点 . （）求椭圆C 的方程； （）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两恻的动点， 若直线 AB 的斜率为 1 2 ，求四边形APBQ 面积的最大值； 当 A、B 运动时，满足于APQ=BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由. 6. 【湖南省衡阳市八中2014 届高三上学期第三次月考试卷数学】已知直线 :1lxmy 过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点F，抛物线 2 4 3xy的焦点为椭圆C的上顶点 ,且直线l交椭圆C 于 ,A B两点 . （ 1）求椭圆C的方程； （ 2）若直线l交 y 轴于点
17、M ,且 12 ,MAAF MBBF ,当 m变化时 , 12的值是否为定值？若是， 求出这个定值，若不是，说明由. 7.【广东省广州市海珠区 2014 届高三上学期综合测试二】已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 e，直线2yx与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切 . （1）求椭圆 C的方程； （2）如下图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N， 直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：2mk为定值 . 8. 【唐山市2013-2014 学年度高三年级摸底考试】（本小题满分12 分）已知点M
18、是椭圆C： 22 22 1 xy ab (0)ab上一点， 12 ,F F分别为C的左右焦点 12 | 4F F， 0 12 60F MF， 12 F MF的面积 为 4 3 3 . （）求椭圆C的方程； （）设(0,2)N，过点( 1, 2)P作直线l，交椭圆C异于N的,A B两点，直线,NA NB的斜率分别为 12 ,k k，证明： 12 kk为定值 . 9【广东省惠州市2014 届高三第二次调研考试】已知左焦点为( 1,0)F的椭圆过点 2 3 (1,) 3 E 过点(1,1)P 分别作斜率为 12 ,k k的椭圆的动弦,AB CD，设,M N分别为线段,AB CD的中点 来源 学 科网 Z|X|X|K （1）求椭圆的标准方程； （2）若P为线段AB的中点，求 1 k； （3）若 12 1kk，求证直线MN恒 过定点，并求出定点坐标 10. 【四川省内江六中2014 届高三第二次月考数学试题】已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点 (2,0)A,离心率为 3 2 . （）求椭圆C的方程； （）过点(1,0)B且斜率为k（0k） 的直线l与椭圆C相交于,E F两点，直线AE、AF分别交直线3x 于M、N两点 ,线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k，求证 : k k为定值 .