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1、难题突破专题二“K”字型相似研究 相似基本图形中除了常见的“A” 字型、“X” 字型相似外， 还有一个“K” 字型相似， 也常用于各种相似图形中“K” 字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形了解一个基本图形， 有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口 类型 1 “K”字型相似基本图形1 图Z21 1 条件：如图Z21，B，C，E三点共线，BACDE 90. 结论：ABCCED. 证明： 例题分层分析 (1) 证明两个三角形相似有哪些方法？ (2) 除了BEACD之外，图中还可以找出哪些角相等？ 【应用】 如图Z22， 已知点A(
2、0 ， 4) ，B(4 ， 1) ，BCx轴于点C， 点P为线段OC上一点，且PAPB， 则点P的坐标为 _ 图Z22 例题分层分析 (1) 根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？ (2) 设P(x，0) ，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标 解题方法点析 “K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方 程解决问题 类型 2 “K”字型相似基本图形2 2 条件：如图Z23，B，D，C三点共线，BEDFC . 图Z23 结论：BDECFD. 证明： 例题分层分析 (1) “
3、K”字型相似基本图形2 与基本图形1 有何联系？ (2) 如何证明ECDF? 【应用】 1如图Z2 4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CBOA，OCBA，OA7，BC1，AB5，点P为x 轴上的一个动点，点P不与点O，A重合连结CP，过点P作PD交AB于点D. 图Z24 (1) 直接写出点B的坐标： _； (2) 当点P在线段OA上运动时，使得CPDOAB，且BDAD32，求点P的坐标 例题分层分析 (1) 过点B作BQx轴于点Q，依题意可得OQ4，AQ3，已知AB5，根据勾股定理求出QB即可解答 (2) 根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎
4、样的比例式？ 2如图Z25，已知直线ykx与抛物线y 4 27x 222 3 交于点A(3 ，6) 图Z25 (1) 求直线ykx的函数表达式和线段OA的长度 (2) 若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上( 与点O，A不重合 ) ，点D(m，0) 是x轴正半轴上的动点， 且满足BAEBEDAOD. 探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有 1 个、 2 个？ 例题分层分析 (1) 利用待定系数法求出直线ykx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度 (2) 延长AB交x轴于点F，由BAEAOD可求出点F的坐标为 _，进而再求得点B的坐标为 _， 然后由两点间距离公
5、式可求得线段AB的长为 _； 由已知条件BAEBEDAOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到 _ _，设 OEa，则由对应边的比例关系可以得到_从而得到关于a的一元二次方程为_，然后根据根的判 别式可以分别得到a的值分别为1 个、 2 个时m的取值范围 解题方法点析 “K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用 相似的有关性质解决问题 专 题 训 练 1 2017常州 如图Z26，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD2OA6，ADAB31， 则点C的坐标是 ( ) A (2 ，7) B (3 ，7) C (3
6、 ，8) D (4 ，8) 图Z26 2如图Z27，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD10，AB8，则EF _ 图Z27 3 2017攀枝花 如图Z28，D是等边ABC边AB上的点，AD 2，BD 4. 现将ABC折叠，使得点C与点D 重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则 CF CE _ 图Z28 4如图Z2 9，在直角梯形ABCF中，CB 14，CF4，AB6，CFAB，在边CB上找一点E，使以E，A，B为顶 点的三角形和以E，C，F为顶点的三角形相似，则CE_ 图Z29 5如图Z210，在直角梯形ABCD中，A90，B120，AD3，A
7、B6. 在底边AB上取点E，在射线DC 上取点F，使得DEF120. (1) 当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 _； (2) 若射线EF经过点C，则AE的长是 _ 图Z210 6 2017绵阳 将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z211 所示放置，点D在AB边上，DEF绕点D 旋转，腰DF和底边DE分别交CAB的两腰CA，CB于M，N两点若CA5，AB6，ADAB13，则MD 12 MA DN 的 最小值为 _ 图Z211 7如图Z212，在四边形ABCD中，已知ADBC，B90，AB7，AD9，BC12，在线段BC上任取一点E， 连结DE，作EFDE，交直线AB于点F. (1)
8、若点F与B重合，求CE的长； (2) 若点F在线段AB上，且AFCE，求CE的长 图Z212 8如图Z213，在ABC中，ABAC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且APDB. (1) 求证：ACCDCPBP； (2) 若AB10，BC12，当PDAB时，求BP的长 图Z213 9 2017天水 ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的顶点E与ABC 的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于 点Q. (1) 如图Z214，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE. (2) 如图Z214
9、，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP2，CQ9 时BC的长 图Z214 10在ABC中，ABAC，BAC120，P为BC的中点，小明拿着含有30角的透明直角三角板，使30角的 顶点落在点P上，三角板绕点P旋转 (1) 如图Z215，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明BPECFP. (2) 操作：将三角板绕点P旋转到图的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF. 探究 1：BPE与CFP相似吗？请说明理由； 探究 2：BPE与PFE相似吗？请说明理由 图Z215 参考答案 类型 1 “K”字型相似基本图形1
10、 例 1 【例题分层分析】 (1) 证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等 (2) 根据余角的性质还可以得到ADCE，ACBD，从而可证得ABCCED. 证明：证明过程略 应用 【例题分层分析】 (1) 根据“K”字型相似，可得到AOPPCB，所以 AO PC OP CB . (2) 设P(x，0) ，因为AOOC4，BC1，所以OPx，PC4x，所以 4 4 x x 1，解得 x2，从而得到点P的坐 标为 (2，0) 答案 (2 ，0) 解析 PAPB， APOBPC90. AOx轴， A
11、POPAO90，PAOBPC. 又BCx轴，AOx轴， BCPPOA90， BCPPOA， AO PC OP CB . 点A(0 ，4) ，B(4，1) ，AO4，BC1，OC4. 设P(x，0)，则OPx，PC4x， 4 4x x 1，解得 x2，点P的坐标为 (2 ， 0) 类型 2 “K”字型相似基本图形2 例 2 【例题分层分析】 (1) 两个图形都有三个角相等，基本图形1 是三个直角相等，而基本图形2 是基本图形1 的一般情况， 更具普遍性， 两个图形的形状均类似于字母“K” ，因此称之为“K”字型相似图形 (2) BEDFC ， 由外角性质可知EDCBE E. 又EDCEDFFDC
12、 CDF， ECDF. 证明：BEDFC ， 由外角性质可知EDCBE E. 又EDCEDFFDC FDC， EFDC. 又BC， BDECFD. 应用 1 【例题分层分析】 (1) 过点B作BQx轴于点Q，易求得BQ4，故得到点B的坐标为 (4 ，4) (2) 由“K”字型相似可得到POCDAP， 所以 OC AP OP AD ， 设OPx，OCAB5，AD2 5AB 2，AP7x， 所以 5 7x x 2，解得 x 2 或x 5， 所以点P的坐标为 (2，0) 或 (5 ，0) 解： (1) 过点B作BQx轴于点Q. ABOC， AQ(7 1)2 3， 在RtBQA中，BA5， 由勾股定理
13、，得BQAB 2 AQ 2 4， 点B的坐标为 (4 ，4) (2) CPAOCPCOP， 即CPDDPACOPOCP， 而CPDOABCOP， OCPAPD， OCPAPD， OC AP OP AD . BD AD 3 2， AD2. 设OPx，OCAB5，AP7x， 5 7x x 2， 解得x2 或x5， 点P的坐标为 (2 ，0) 或(5 ，0) 应用 2 【例题分层分析】 (1) 直线ykx的函数表达式为y2x，OA3 2623 5. (2) 点F的坐标为 ( 15 2 ，0) ，点B的坐标为 (6 ，2)， AB5. 根据“K”字型相似的基本图形2，可得到ABEOED，设OEa，则A
14、E3 5a(0 a3 5) ， 由ABEOED得AE AB OD OE ， 3 5a 5 m a， a 23 5a5m0， 依题意知m0， 当 0，即 ( 3 5) 220m 0，m9 4时，符合条件的点 E有 1 个； 当0，即 ( 3 5) 2 20m 0，0m 9 4时，符合条件的点 E有 2 个 解： (1) 把点A(3 ，6)的坐标代入ykx，得 63k， k2，y2x，OA3 2 6 23 5. (2) 如图，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R. AODBAE， AFOF， OCAC 1 2OA 3 2 5. AROFCO90，AORFOC， AO
15、RFOC， OF OC AO OR 3 5 3 5，OF 3 2 55 15 2 ， 点F的坐标为 15 2 ，0 . 设直线AF的函数表达式为yaxb(a0)，把点A(3 ，6) ，F 15 2 ，0 的坐标代入，解得a 4 3，b10， y 4 3x10， 由 y 4 3x10， y 4 27x 222 3 ， 解得 x13， y16 ( 舍去 ) ， x26， y22， B(6 ，2)，AB 5. BAEBED， ABEBAEDEOBED， ABEDEO. BAEEOD，ABEOED. 设OEa，则AE3 5a(0 a3 5) ， 由ABEOED得AE AB OD OE ， 即 3 5a
16、 5 m a， a 23 5a5m0. 依题意得m0， 当 0，即 ( 3 5) 220m 0，m9 4时，符合条件的点 E有 1 个； 当0，即 ( 3 5) 2 20m 0，0m 9 4时，符合条件的点 E有 2 个 专题训练 1 A 2.5 3. 5 4 4 2 或 12 或 28 5 解析 两个三角形相似，可能是EFCEAB，也可能是EFCAEB，所以应分两种情况讨 论，进而求CE的值即可 5 (1)6 (2)2 或 5 解析 (1) 过点E作EGDF，由E是AB的中点，得出DG3，从而得出DEG60，由 DEF120，得FEG 60，由 tan FEG FG GE ，即可求出GF的长
17、，进而得出DF的长 (2) 过点B作BHDC，延长AB，过点C作CMAB于点M，则BHAD3，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC 的长，设AEx，则BE6x，利用勾股定理用x表示出DE及EC的长，再判断出EDCBCE，由相似三角形的对 应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可 6 2 3 解析 先求出AD2，BD4，由“K”字型相似可得AMD和BDN相似，根据相似三角形对应边成比 例可得 MA BD MD DN ， 求出MADN4MD， 再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可 7解： (1) 当点F和B重合时， EFDE，DEBC. B90，ABBC，
18、 ABDE. ADBC， 四边形ABED是平行四边形， ADEF9， CEBCEF1293. (2) 过点D作DMBC于点M， B90，ABBC， DMAB. ADBC， 四边形ABMD是矩形， ADBM9，ABDM7，CM1293. 设AFCEa，则BF7a，EMa3，BE12a， 可证FBEEMD， BF EM BE DM ，即 7a a3 12a 7 ， 解得a5 或a17. 点F在线段AB上， AFCEAB7， CE5. 8解： (1) 证明：APCPABB， APDB， DPCPAB， 又ABAC，ABPPCD， ABPPCD， AB CP BP CD ， AC CP BP CD ，
19、ACCDCPBP. (2) PDAB， DPCB，PABB， 又BC，PABC. 又PBAABC， PBAABC， BP AB AB BC ， BP AB 2 BC 10 2 12 25 3 . 9解： (1) 证明：ABC是等腰直角三角形， BC45，ABAC， APAQ，BPCQ， E是BC的中点，BECE， 在BPE和CQE中， BE CE ， BC， BP CQ ， BPECQE(SAS) ； (2) ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形， BCDEF45， BEQEQCC， 即BEPDEFEQCC， BEP45EQC45， BEPEQC， BPECEQ， BP CE BE CQ ， BP2，CQ9，BECE，BE 218， BECE3 2，BC6 2. 10解： (1) 在ABC中，BAC120，ABAC， BC30. BBPEBEP180， BPEBEP150. 又BPEEPFCPF180，EPF30， BPECPF150， BEPCPF， BPECFP( 两角对应相等的两个三角形相似) (2) BPECFP，理由同 (1) BPE与PFE相似 理由：由BPECFP，得CPBEPFPE， 而CPBP，因此BPBEPFPE. 又EBPEPF， BPEPFE( 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)