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1、长春市十一高中2013-2014 学年度高二上学期期末考试 数 学 试 题 （理科） 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分 150 分，测试时间120 分 钟。 一、选择题（每题5 分，共 60 分） 1抛物线 4 2 x y的准线方程为（） A.1xB.1yC. 16 1 xD. 16 1 y 【答案】 B 【KS5U解析】把抛物线 4 2 x y转化为标准式方程为 2 4xy，所以其准线方程为1y。 2设xxxfln，若2)( 0 xf，则 0 x=（） A. 2 eB.1C.eD.2ln 【答案】 C 【 KS5U 解 析 】 因 为xxxfln， 所 以ln1fxx，
2、 所 以 由2)( 0 xf得 ： 000 ln12,=fxxxe解得。 3阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（） A. 20 B. 3 C. 2 D. 60 【答案】 A 【KS5U解析】 初始值5,1aS： 第一次循环：5,14SSaaa，满足条件，继续循环； 体验探究合作展示 结束 开始 ?4a 1,5 Sa aSS 1aa 输出S 是 否 (3 题图 ) 第二次循环：20,13SSaaa，不满足条件，结束循环，输出S的值为 20. 4若直线03ayx过圆042 22 yxyx 的圆心，则a的值为（） A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 【答案】 A 【KS5U解析】 易知圆心坐标
3、为1,2，把此点代入直线方程得：a=1. 5将一枚骰子先后掷两次，向上点数之和为x，则x7 的概率为（） A. 2 1 B. 12 5 C. 12 7 D. 4 3 【答案】 C 【KS5U解析】 将一枚骰子先后掷两次，基本事件的总数为： （1,1） ， （1,2） （1,3） （ 1,4） （1,5） （1,6） ， （2,1） ， （2,2） （2,3） （ 2,4） （2,5） （3,6） ， （3,1） ， （3,2） （3,3） （ 3,4） （3,5） （3,6） ， （4,1） ， （4,2） （4,3） （ 4,4） （4,5） （4,6） ， （5,1） ， （5,2） （5
4、,3） （ 5,4） （5,5） （5,6） ， （6,1） ， （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （ 6,6） ，共 36 种情况，其中向上点数之和大约等于7 有 21 种情况，所以概率为 12 7 。 6已知曲线x x yln3 4 2 的一条切线的斜率为 2 1 ，则切点的横坐标为（） A. 3 B. 2C. 1 D. 2 1 【答案】 A 【KS5U解析】 由 131 ,32() 22 yxx x 解得或舍。因此选A。 7下列命题中的假命题是（） A. 02, x RxB.1tan,xRx C.0lg,xRx使D.0, 3 xRx 【答案】 D 【KS5U 解析】 A.
5、02, x Rx是真命题；B.1tan,xRx，比如 4 x，所以是 真命题；C.0lg,xRx使是真命题，比如1x； D.0, 3 xRx，假命题， 3 ,xR xR。 8曲线 02,013 2 yxxxy及与围成的封闭图形的面积为（） A. 10 B.8 C.2D. 13 【答案】 A 【KS5U解析】 22 23 00 3110xdxxx 。 9已知F是抛物线xy8 2 的焦点，BA,是该抛物线上的两点，12BFAF, 则线段AB中点到y轴的距离为（） A. 16 B.6 C. 8 D. 4 【答案】 D 【KS5U 解析】 设BA,到准线的距离为 12 ,d d，则由抛物线的定义得：
6、12 12dd，所以 线段AB中点到准线的距离为6，所以线段AB中点到y轴的距离为6-2=4。 10已知ba,为实数，则“0a且0b”是“00abba且”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【KS5U解析】根据不等式的可加性，由 “0a且0b” 可以得到“00abba且” ； 反过来由“00abba且”也可以得到“0a且0b” 。所以“0a且0b”是 “00abba且”的充要条件。 11.已知双曲线E的中心在原点，0, 3F是E的焦点， 过F的直线l与E相交于BA, 两点，且AB中点为15,12N，则E的方程为（） A.1
7、63 22 yx B.1 54 22 yx C.1 36 22 yx D. 1 45 22 yx 【答案】 B 【KS5U解析】由已知条件易得直线l的斜率 150 1 123 k， 设双曲线方程为 22 22 1 xy ab ， 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 22 11 22 1 xy ab ， 22 22 22 1 xy ab ，两式相减并结合 12 24xx， 12 30yy得 2 12 2 12 4 5 yya xxb ，从而 2 2 4 1 5 a b ，解得 22 4,5ab，所以E的方程为 1 54 22 yx 。 12.已知函数 1 )( x xexf，若函数2)(
8、)( 2 xbfxfy恰有四个不同的零点，则实 数b的取值范围是（） A.)22,(B.)2,3(C.)3,(D.22,3 【答案】 C 【KS5U解析】令 1111 g( ),g ( )1, xxxx xxexexex e则所有当 x-1时，g ( )x0; 当 x0，f(3) abc0，故是 对的。 三、解答题（本大题共70 分） （解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17 （本小题满分10 分） 为统计某校学生数学学业水平测试成绩，现抽出40 名学生成绩，得到样本频率分布直方 图，如图所示，规定不低于60 分为及格，不低于85 分为优秀 （1）估计总体的及格率； （2）求样
9、本中优秀人数； （3）若从样本中优秀的学生里抽出2 人，求这两人至少有一人数学成绩不低于90 分 的概率 18 （本小题满分12 分） 已知函数xxxf12 3 （1）求函数xf的极值； （2）当3,3x时，求xf的最值 0.035 组距 频率 分数 0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 （17 题图） 19 （本小题满分12 分） 已知双曲线C:1 2 2 2 2 b y a x 0,0 ba过点P3,2,且离心率为2，过右焦点F 作两渐近线的垂线，垂足分别为M，N. （1）求双曲线C的方程； （2）求四边形OMFN 的面积（ O 为坐标原
10、点） 20 （本小题满分12 分） 设 21,F F为椭圆1 1636 22 yx 的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P， 21,F F是一个 直角三角形的三个顶点，且 21 PFPF. （1）求 1 PF的长度； （2）求 2 1 PF PF 的值 . 21. （本小题满分12 分） 已知抛物线C： 2 xy，直线l：022 yx，点P是直线l上任意一点， 过点P作抛物线C的切线PNPM ,，切点分别为NM ,，直线PNPM ,斜率分别为 21,k k，如图所示. （1）若)1 ,4(P，求证：16 21 kk； （2）当P在直线l上运动时，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标. 22.
11、（本小题满分12 分） l O P y x N M （21 题图） 已知函数 bax e xf x )(， （ba,为常数，e是自然对数的底数）在1x处的切线方程 为)1( 4 x e y. （1）求ba,的值，并求函数)(xf的单调区间； （2）当 21 xx，)()( 21 xfxf时，证明：0 21 xx. 长春市十一高中2013-2014 学年度高二上学期期末考试 数 学（理科）答案 一、选择题（每题5 分，共 60 分） 1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C 二、填空题（每小题5 分，共 20 分） 13 5 14.2x
12、15 yx4 2 或yx20 2 16 三、解答题 17 （本小题10 分）解：（1）及格率为 100 80 -2 分 （2）优秀人数6 人-4 分 （3）85 分 90 分有 2 人，设为 1 b、 2 b； 90 分 100 分有 4 人，设为 1 c、 2 c、 3 c、 4 c， -6 分 那么一次试验的全部结果为： 1 b 2 b， 1 b 1 c， 1 b 2 c， 1 b 3 c， 1 b 4 c， 2 b 1 c， 2 b 2 c， 2 b 3 c， 2 b 4 c， 2 b 1 c， 1 c 3 c， 1 c 4 c， 2 c 3 c， 2 c 4 c， 3 c 4 c- -
13、8 分 共 15 个结果，所以 15 14 p-10 分 体验探究合作展示 18 （本小题12 分）解：（1）)2)(2(3123)( 2/ xxxxf-1 分 令 )2)(2( 3123)( 2 / xxxxf=0得2,2 xx-2 分 x (-,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+) f / (x) + 0 - 0 + f(x) 单调递 增 16 单调 递减 -16 单调递 增 -6 分 所以)(xf极大值为16)2(f，)( xf极小值为16)2(f-8 分 （2）由（ 1）知，16)2(f，16)2(f， 又9)3(,9)3(ff 所以)(xf最大值为16)2(f，)( xf最小值
14、为16)2(f-12 分 19 （本小题12 分） 解： （1）因为2e，所以 3 22 ba，-2 分 设双曲线方程为1 3 2 2 2 2 a y a x 双曲线过点)3,2(P，则有1 2 a， 双曲线方程为1 3 2 2 y x- -5 分 （2）右焦点F到渐近线 xy3 的距离3d， -9 分 1OM，322 MFNOMFN SS四边形-12 分 20 （本小题12 分） 解： （1）若 12F PF是直角，则 2 21 2 2 2 1 FFPFPF,即 8012 2 1 2 1 PFPF，得 1 PF= 3 28 -3 分 若 21PF F是直角，则8012 2 1 2 1 PFP
15、F, 即064242 1 2 1 PFPF，得 1 PF=8 -6 分 （2） 若 12F PF是直角，则 2 21 2 2 2 1 FFPFPF,即8012 2 1 2 1 PFPF， 得 1 PF= 3 28 ， 2 PF= 3 8 , 2 7 2 1 PF PF -9 分 若 21PF F是直角，则8012 2 1 2 1 PFPF, 即064242 1 2 1 PFPF，得 1 PF=8， 2 PF=4, 2 2 1 PF PF 综上 ,2 2 1 PF PF 或 2 7 -12 分 21. （本小题12 分） 解： （1）设过P的切线方程为：)4(1xky，代入抛物线C，消去y得：
16、014 2 kkxx，由0) 14(4 2 kk，所以：0416 2 kk， 该方程的两个根为直线PNPM ,斜率 21,k k，所以：16 21 kk.-5 分 （2）设),( 00 yxP，22 00 yx，切点),(),( 2211 yxNyxM 对 2 xy求导数，xy2，所以： 2211 2,2xkxk 故：直线PM：)(2 111 xxxyy， 直线PN：)(2 222 xxxyy 由于 2 11 xy， 2 22 xy所以：PM： 11 2yxxy，PN： 22 2yxxy 由于直线PM，PN都过点P，有： 0110 2yyxx， 0220 2yyxx 这说明),(),( 221
17、1 yxNyxM满足直线 00 2yyxx的方程， 所以直线MN为： 00 2yyxx，再由22 00 yx 所以MN为：) 1(2) 4 1 (4 0 yxx，Rx0 ，即MN过定点)1, 4 1 (.-12 分 22. （本小题12 分） 解： （1）由条件知函数)(xf过点) 2 , 1( e ，所以：2ba- 对)(xf求导数： 2 )( )( )( bax abaxe xf x ， 4)( )1( 2 e ba eb f- 由、解得：1, 1 ba. 故： 2 ) 1( )( x xe xf x ，1x 令0)(xf得：0x，令0)(xf得：1,0 xx 所以函数)(xf的单调增区间
18、为), 0(，单调减区间为)0, 1(),1,(.-6 分 （2）由（ 1）知，当)1,(x时，0)(xf；当),1(x时，0)(xf， 则)(xf在)0 ,1(为减函数，在),0(为增函数， 若)()( 21 xfxf， 21 xx， 则必有), 1(, 21 xx， 不妨设), 0(),0, 1( 21 xx. 若证0 21 xx，即证0 12 xx，只需证：)()( 12 xfxf 即：)()( 11 xfxf， 设)0, 1(),()()(xxfxfxg， 即0 11 )( x e x e xg xx 在)0, 1(x上恒成立，即0)1()1( 2 xex x 设)1 ()1 ()( 2 xexxh x ，)0, 1(x 1)21()( 2 xexh x ，04) )( 2x xexh )(xh是)0 , 1(上的增函数，故0)0()(hxh )(xh是)0 ,1(上是减函数，故0)0()(hxh，所以原命题成立. -12 分