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1、专题 2三角函数与解三角形 一、三角函数的图象与性质 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么? 函数y=sin x y=cos xy=tan x 图象 递增 区间 ,kZ 2k- ,2k kZ ,kZ 递减 区间 ,kZ 2k 2 k+ , kZ 无 奇偶 性 奇函数偶函数奇函数 对称 中心 (k 0) kZ, kZ ,kZ 对称 轴 x=k+, kZ x=k k Z 无 周期 性 22 2.求函数y=Asin(x+) 的单调区间时应注意什么 ? (1) 注意的符号 ,不要把单调性或区间左右的值弄反; (2) 不要忘记写“+2k”或“+k”等, 特别注意不要忘掉写 “kZ”; (3) 书写
2、单调区间时 , 不要把弧度和角度混在一起. 3.三角函数的常用结论有哪些? (1) 对于y=Asin(x+), 当=k(kZ)时, 其为奇函数 ;当 =k+(kZ)时, 其为偶函数 ; 对称轴方程可由 x+=k+(kZ)求得. (2) 对于y=Acos(x+), 当=k+(kZ)时,其为奇函数 ; 当 =k(kZ)时, 其为偶函数 ; 对称轴方程可由x+=k(kZ)求 得. (3) 对于y=Atan(x+), 当=k(kZ)时, 其为奇函数. 4.三角函数图象的两种常见变换是什么? (1)y=sin xy=sin(x+) y=sin(x+)y=Asin(x+).(A0,0) (2)y=sin
3、xy=sin x y=sin(x+) y=Asin(x+).(A0,0) 二、三角恒等变换与解三角形 1.同角关系公式有哪些 ?如何记忆诱导公式 ? (1) 同角关系 :sin 2+ cos 2= 1,=tan . (2) 诱导公式 , 对于“,kZ 的三角函数值”与“角的 三角函数值”的关系可按下面口诀记忆: 奇变偶不变 , 符号看象限. 2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角 公式吗 ? (1) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin()=sin cos cos sin ; cos()=cos cos ?sin sin ; tan()= ? . (2) 二倍角公式
4、:sin 2=2sin cos , cos 2=cos 2- sin 2= 2cos 2- 1=1-2sin 2. (3) 辅助角公式 :asin x+bcos x=sin(x+), 其中 tan = . 3.在三角恒等变换中 , 常见的拆角、拼角技巧有哪些? =(+)-,2=(+)+(-),=(+)+(-) ,+ =(+)-,= - . 4.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么? 在ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1) 正弦定理 : 在ABC中,=2R(R为ABC的外接圆半径 ). 变形:a=2Rsin A,sin A=,abc=sin Asin Bsin C. (2
5、) 余弦定理 : 在ABC中,a 2=b2+c2- 2bccos A. 变形:b 2+c2-a2=2bccos A,cos A= - . (3) 三角形面积公式 : SABC= absin C=bcsin A= acsin B. 5.已知三角形两边及其一边的对角, 用正弦定理解三角形时要注 意什么 ? 若运用正弦定理 , 则务必注意可能有两解 , 要结合具体情况进行 取舍.在ABC中,AB? sin Asin B. 三角函数与解三角形是高考考查的重点和热点.三角函数的定义、 图象、 性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考查. 其中同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差公式、二
6、倍角公 式是解决化简、计算问题的工具 “角”的变换是三角恒等变换的核 心.解三角形多以解答题的形式考查, 常与三角恒等变换结合 , 主要考 查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 一、选择题和填空题的命题特点 ( 一)三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点,考查主要 从以下两个方面进行 :(1) 三角函数的图象 , 主要涉及图象变换以及由 图象确定解析式 ;(2) 利用三角函数的性质求解三角函数中有关值、参 数、最值、值域、单调区间等问题. 1.(2018全国卷文 T8 改编)已知函数f(x)=2cos 22x+5, 则 (). A.f(x)的最小正周期为 最大值为 7 B.f(x)的最小
7、正周期为2 最小值为 5 C.f(x)的最小正周期为2 最大值为 7 D.f(x)的最小正周期为, 最小值为 5 解析?f(x)=cos2 22x+5 =cos 4x+6, 故f(x)的最小正周期为, 最 大值为 7, 最小值为 5. 答案?D 2.(2016全国卷理 T7 改编)若将函数f(x)=sin 2x的图象向右 平移个单位长度 , 得到函数y=g(x) 的图象 ,则y=g(x) 图象的一个对 称中心是 (). A.B.- C.D. 解析?由题意可知函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位 长度, 得到函数g(x)=sin-=sin-的图象. 令 2x- =k(kZ) 得x= +
8、(kZ) 由此可得y=g(x)图象的一个对称中心是, 故选 D. 答案?D ( 二)三角函数的化简与求值是高考的命题热点, 其中同角三角函 数的基本关系、诱导公式是解决问题的工具, 三角恒等变换是利用三 角恒等式 (两角和与差公式 , 二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变 换.“角”的变换是三角恒等变换的核心. 3.(2018全国卷理 T15改编) 已知 sin +cos =,sin -cos =1, 则 sin(-)=(). A.-B.- C.D. 解析?将 sin +cos =的等式两边平方得 sin 2cos+2+ 2sin cos =, 将 sin -cos =1的等式两边平方得sin
9、 2+ cos 2- 2sin cos =1. +得 sin(-)=-, 故选 B. 答案?B 4.(2018全国卷文 T4 改编)已知 tan =, 则 sin 2-2cos 2= (). A.-1 B.-C.D.- 解析 ?sin 2-cos2 2=- = - = - =-, 故选 B. 答案?B ( 三)正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容, 主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 5.(2018全国卷文 T16改编) 在锐角ABC中,角A,B,C所对的 边分别为a,b,c, 若bsin C+csin B=4asin Bsin C,且 2bsin B+2csin C=
10、bc+a, 则ABC面积的最大值为 (). A.B.C.D. 解析?根据题意 , 结合正弦定理可得 sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C, 即 sin A= . 2bsin B+2csin C=bc+ a, bsin B+csin C=bc+a, bsin B+csin C= bcsin A+asin A, 则b 2+c2= abc+a 2. 由余弦定理可得2bccos A= abc, 解得a=2cos A=. 由b 2+c2=bc+ 32bc, 得bc3 从而SABC= bcsin A, 故选 C. 答案?C 6.(2018全国卷文 T11改编) 在A
11、BC中,内角A,B,C的对边分 别为a,b,c, 若ABC的面积为S, 且 2S=(a+b) 2-c2, 则 tan C=(). A.- B.-C.D. 解析?2S=(a+b) 2-c2, absin C=(a+b) 2-c2=a2+b2-c2+2 ab=2abcos C+2ab, sin C=2cos C+2, sin 2C= (2cos C+2) 2= 1-cos 2C , 即 5cos 2C+ 8cos C+3=0, cos C=-(cos C=-1 舍去), sin C=,tan C=-, 故选 B. 答案?B 二、解答题的命题特点 高考全国卷中有关解三角形的解答题, 主要涉及利用正、
12、余弦定 理求三角形的边长、角、面积等基本计算, 两个定理与三角恒等变换 的结合.这类试题一般要用到三角形的内角和定理, 正、余弦定理及有 关三角形的性质. (2018全国卷理 T17改编) 如图, 在四边形ABCD 中 cos DAB=-,=,BD=4,ABBC. (1) 求 sin ABD的值; (2) 若BCD=, 求CD的长. 解析?(1) 因为=, 所以设AD=2k,AB=3k, 其中k0. 在ABD中, 由余弦定理得BD 2=AB2+AD2- 2ABADcosDAB, 所以 16=9k 2+4k2- 23k2k-, 解得k=1, 则AD=2, 而 sin DAB=-=. 在ABD中, 由正弦定理得 sin ABD=sin DAB=. (2) 由(1) 可知 sin ABD=, 而ABBC, 则 sin CBD=sin-=cosABD=-= . 在BCD中 BCD=, 由正弦定理得 CD=BD= 4=. 关于解三角形问题 ,一般要用到三角形的内角和定理, 正、 余弦定 理及有关三角形的性质 ,常见的三角恒等变换方法和原则都适用, 同 时要注意“三统一” 即“统一角、统一函数、统一结构”.