与圆有关的计算-中考数学专题训练.pdf

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1、专题四与圆有关的计算 类型一与切线有关的简单证明与计算 ( 2018 昆明 ) 如图， AB是O 的直径， ED切O 于点 C，AD交O 于点 F，AC平分 BAD ，连接BF. (1) 求证： AD ED ； (2) 若 CD 4，AF2，求O 的半径 【分析】 (1) 连接 OC ，先证明OC AD ，然后利用切线的性质得OC DE ，从而得到AD ED ； (2)OC 交 BF于 H，如解图，利用圆周角定理得到AFB 90，再证明四边形CDFH 为矩形得到 FHCD ，CHF 90，利 用垂径定理得到BH FH，在 RtABF中，利用勾股定理计算出AB ，从而得到O的半径 【自主解答】

2、(1) 证明：连接OC ，如解图， AC平分 BAD ， 12， OA OC ， 13， 23， OC AD ， ED切O 于点 C， OC DE ，AD ED ； 例 1 题解图 (2) 解： OC交 BF于点 H，如解图， AB为直径， AFB 90， 易得四边形CDFH 为矩形， FH CD 4，CHF 90， OH BF ， BH FH4， BF 8， 在 RtABF中， AB AF 2 BF2 2 2822 17， O 的半径为17. 1( 2018 河南说明与检测) 如图， AB为半圆 O的直径，点C为半圆上任一点 (1) 若BAC 30，过点C作半圆 O的切线交直线AB于点 P.

3、求证： PBC AOC ； (2) 若 AB 6，过点 C作 AB的平行线交半圆O于点 D，当以点A、O、C、D为顶点的四边形为菱形时，求BC 的长 2( 2018 河南说明与检测) 如图，在O中，A OB 120，点C为AB 的中点，延长OC到点 D，使 CD OC ，AB交 OC于点 E. (1) 求证： DA是O 的切线； (2) 若 OA 6，求弦 AB的长 3( 2018 河南说明与检测) 如图， ABC 中， ACB 90， D为 AB上一点，以CD为直径的O交 BC于 点 E，连接 AE交 CD于点 P，交O 于点 F，CAE ADF. (1) 判断 AB与O 的位置关系，并说明

4、理由； (2) 若 PF PC 12， AF5，求 CP的长 4( 2018 金华 ) 如图，在RtABC中，点 O在斜边 AB上，以 O为圆心， OB为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E，连接 AD.已知 CAD B. (1) 求证： AD是O 的切线； (2) 若 BC 8，tan B 1 2，求O 的半径 5( 2018 玉林 ) 如图，在 ABC 中，以 AB为直径作O交 BC于点 D，DAC B. (1) 求证： AC是O 的切线； (2) 点 E是 AB上一点，若 BCE B，tan B 1 2 ，O 的半径是4，求 EC的长 6( 2018 天津 ) 已知 AB是O

5、的直径，弦CD与 AB相交， BAC 38. ( ) 如图，若D为AB 的中点，求 ABC 和ABD的大小； ( ) 如图，过点D作O 的切线，与AB的延长线交于点P，若 DP AC ，求 OCD的大小 图 图 7( 2018 信阳一模 ) 如图， AB是O 的弦， D 为半径OA的中点，过D 作 CD OA交弦 AB于点 E，交O 于点 F，且 CECB. (1) 求证： BC是O 的切线； (2) 连接 AF ，BF，求 ABF 的度数 8( 2018 河南说明与检测) 如图， AB是O 的直径， C是AB 的中点，O的切线 BD交 AC的延长线于点D， E是 OB的中点， CE的延长线交

6、切线BD于点 F，AF交O 于点 H，连接 BH. (1) 求证： AC CD ； (2) 若 OB 2，求 BH的长 类型二与四边形判定结合的证明与计算 ( 2018 河南 ) 如图， AB是O 的直径， DO AB 于点 O ，连接 DA交O 于点 C，过点 C 作O 的切线 交 DO于点 E，连接 BC交 DO于点 F. (1) 求证： CE EF； (2) 连接 AF并延长，交O于点 G.填空： 当D的度数为 _时，四边形ECFG为菱形； 当D的度数为 _时，四边形ECOG 为正方形 例 2 题图 【分析】 (1) 连接 OC ，如解图，利用切线的性质得1490，再利用等腰三角形的性质

7、和互余证明 12，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论； (2) 要证明四边形ECFG为菱形，可知 CEF为等边三角形， ACB 90， CFE 60，D可 求； 四边形ECOG 为正方形， COG 90， COF 45，则 COA 45，根据 ACO是等腰三角形， 在 RtAOD中，已知 DAO ，则D可求 【自主解答】 (1) 证明：连接OC ，如解图， CE为切线， OC CE ， OCE 90，即 1490， DO AB ， 3B90， 23， 2B90， 又OB OC ， 4B， 12，CE FE ； (2) 解：当 D30时，四边形ECFG 为菱形， 【解法提示】四边形 ECFG

8、为菱形， CE CFFGEG ， 由(1) 知 CE EF， ECF是等边三角形， CFD 60， ACB 90， DCF 90， D906030. 当 D22.5时，四边形ECOG 为正方形 【解法提示】 例 2 题解图 四边形ECOG 为正方形， CO CE ， OCE 90， COE是等腰直角三角形， COE 45， DO AB ， DOA 90， COA DOA COE 45， OA OC ， CAB 67.5， D9062.522. 5. 1( 2016 河南 ) 如图，在RtABC中， ABC 90，点M是 AC的中点，以AB为直径作 O分别交 AC ， BM于点 D，E. (1)

9、 求证： MD ME ； (2) 填空： 若 AB 6，当 AD 2DM时， DE _； 连接 OD ， OE ，当A的度数为 _时，四边形ODME 是菱形 2( 2015 河南 ) 如图， AB是半圆 O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点 C， 使 PC PB ， D是 AC的中点，连接PD 、PO. (1) 求证： CDP POB ； (2) 填空： 若 AB 4，则四边形AOPD 的最大面积为_； 连接 OD ，当 PBA的度数为 _时，四边形BPDO 是菱形 3( 2014 河南 ) 如图， CD是O 的直径，且CD 2 cm，点 P为 CD的延长线上一点，过

10、点P作O 的切线 PA ，PB ，切点分别为点A，B. (1) 连接 AC ，若 APO 30，试证明 ACP 是等腰三角形； (2) 填空： 当 DP _ cm 时，四边形AOBD 是菱形； 当 DP _ cm 时，四边形AOBP 是正方形 4( 2018 驻马店一模 ) 如图， AC是O 的直径，点P在线段 AC的延长线上，且PC CO ，点 B在O 上， 且CAB 30. (1) 求证： PB是O 的切线； (2) 若 D为圆 O上任一动点，O的半径为5 cm 时， 当弧 CD长为 _时，四边形ADPB 为菱形； 当弧 CD长为 _时，四边形ADCB 为矩形 5( 2018 濮阳一模 )

11、 如图，已知 ABC 内接于 O ， AB是直径， OD AC ， ADOC. (1) 求证：四边形OCAD 是平行四边形； (2) 探究： 当 B_时，四边形OCAD 是菱形； 当 B满足什么条件时，AD与O 相切？请说明理由 6( 2017 河南模拟 ) 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O是经过 A、B、C三点的圆， CD与O 相切 于点 C，点 P是BC 上的一个动点 ( 点 P不与 B、 C点重合 ) ，连接 PA 、 PB 、PC. (1) 求证： CA CB ； (2) 当点 P满足 _时， CPA ABC ，请说明理由； 当 ABC的度数为 _时，四边形ABCD 是菱形 7

12、( 2018 河南说明与检测) 如图， ABC 内接于圆O ，且 AB AC.延长 BC到点 D，使 CD CA ，连接 AD交 圆 O于点 E. (1) 求证： ABE CDE. (2) 填空： 当 ABC的度数为 _时，四边形AOCE 是菱形； 若 AE 3，AB 22，则 DE的长为 _ 8( 2018 河南说明与检测) 如图，半圆O 的直径为AB ，点 M为半圆上一动点( 不与点 A，B 重合 ) ，点 N 为AM 的中点， ND AB 于点 D，过点 M的切线交 DN的延长线于点C. (1) 若 MC AB ， 求证： AD CN ； 填空：四边形OMCD 是何种特殊的四边形？_ (

13、2) 填空：当 ANM _时，四边形ANMO 为菱形 9( 2018 河南说明与检测) 如图，在RtABC中， ABC 90，以AB为直径的O与 AC边交于点D， 过点 D作O 的切线交BC于点 E，连接 OE. (1) 求证： OE AD ； (2) 填空： BAC _时，四边形ODEB 是正方形； 当 BAC _时，AD 3DE. 10( 2017 濮阳一模 ) 如图， AB是O 的直径，点P是 AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点 C 为 AP中点，延长CO交O 于点 D，连接 AD ，过点 D作O 的切线交PB的延长线于点E，连 CE交 AB于 点 F，连接 DF. (1)

14、求证： DAC ECP ； (2) 填空： 四边形ACED 是何种特殊的四边形？ 在点 P运动过程中，线段DF 、AP的数量关系是 _ 11如图，已知A的半径为4，EC是A的直径，点B是A的切线 CB上的一个动点，连接AB交A于 点 D，弦 EF平行于 AB ，连接 DF， AF. (1) 试判断直线BF与A的位置关系，并说明理由； (2) 填空： 当 CAB _时，四边形ADFE 为菱形； 当 EF _时，四边形ACBF 为正方形 12( 2018 河南说明与检测) 如图，在 ABC中， AB AC ，以 AB为直径的O交 BC于点 D ，交 AC于点 E， 过点 D作 DF AC于点 F.

15、 (1) 求证： DF为O 的切线； (2) 若过点 A且与 BC平行的直线交BE延长线于点G ，连接 CG.设O 的半径为5. 当 CF _时，四边形ABCG 为菱形； 当 BC 45时，四边形ABCG 的面积是 _ 参考答案 类型一 针对训练 1(1) 证明： AB 是O 的直径， ACB 90. BAC 30， ABC 60. OB OC ， OBC是等边三角形 OC BC ，OBC BOC 60. AOC PBC 120. CP是O 的切线， OC CP. OCP 90. ACO PCB. 在AOC和PBC中， AOC PBC OC BC AOC PCB ， PBC AOC. (2)

16、解：如解图，四边形AOCD 为菱形， OA AD CD OC. 连接 OD ，则 OA OD OC ， AOD和COD都是等边三角形 AOD COD 60. BOC 60. BC 的长为603 180 . 如解图，同理， BOC 120，BC 的长为 1203 180 2. 综上可知， BC 的长为 或 2. 图 图 第 1 题解图 2(1) 证明：如解图，连接AC.C 是AB 的中点， AC BC . 第 2 题解图 AOB 120， AOC BOC 60. OA OC ， AOC是等边三角形 OAC OCA 60，AC OC. CD OC ， CD AC. DAC D 1 2OCA 30.

17、 DAO OAC DAC 90. OA是O 的半径， DA是O 的切线 (2) 解： OA OC ，AOC BOC 60， AE BE ，OE AB. 在 RtAOE中， AE OA sin 60 6 3 2 33. AB 2AE 63. 3(1) 证明： AB与O 相切，理由如下： ACB 90， CAE AEC 90， CAE ADF ， AEC FDC ， ADF FDC 90，即 ADC 90. CD AB. 又CD为O 的直径， AB 与O 相切 第 3 题解图 (2) 解：连接FC， DE ，如解图， CD为O 的直径， DEC 90， ACB 90， DE AC ， CAE DE

18、A ， DEA DCF ， CAE DCF ，即 CAP FCP ， CPA FPC ， CAP FCP ， PC PF PA PC ， PC PA PF PC 1 2， PA 2PC 4PF， PF 1 3AF 5 3， CP 2PF 10 3 . 4(1) 证明：连接OD ， OB OD ， 3B， B1， 13， 在 RtACD中， 1290， 4180( 23)90， 第 4 题解图 OD AD ， OD为O 的半径， AD为O 的切线； (2) 解：设O的半径为r ， 在 RtABC中， AC BC tan B 4， 根据勾股定理得：AB 4 2824 5， OA 45r ， 在 R

19、tACD中，tan 1 tan B 1 2， CD AC tan 1 2， 根据勾股定理得：AD 2AC2CD2164 20， 在 RtADO中， OA 2OD2AD2，即 (4 5r) 2r220， 解得： r 3 5 2 . 5(1) 证明： AB 是直径， ADB 90， BBAD 90， DAC B， DAC BAD 90， BAC 90， BA AC ， AC是O 的切线 (2) 解： BCE B， EC EB ，设 EC EB x， 在 RtABC中，tan B AC AB 1 2，AB 8， AC 4， 在 RtAEC中， EC 2AE2AC2， x 2(8 x)2 4 2，解得

20、 x5， CE 5. 6解： ( ) AB 是O 的直径，弦CD与 AB相交， BAC 38， ACB 90， ABC 52， D 为AB 的中点， AOB 180， AOD 90， ABD 45. ( ) 连接 OD ，如解图， DP切O 于点 D， OD DP ，即 ODP 90， 由 DP AC ，又 BAC 38， PBAC 38， AOD是ODP的一个外角， AOD PODP 128， ACD 64， OC OA ，BAC 38， OCA BAC 38， OCD ACD OCA 643826. 第 6 题解图 7(1) 证明：连接OB ，如解图， CE CB ， CBE CEB ，

21、CD OA ， DAE AED 90， 又 CEB AED ， DAE CBE 90， OA OB ， OAB OBA ， OBA CBE 90，即 OBC 90， OB BC ，OB 是O 的半径， BC是O 的切线； (2) 解：连接OF ，交 AB于点 H，如解图， DF OA ， ADOD ， FA FO ， 又OF OA ， OAF为等边三角形， AOF 60， ABF 1 2AOF 30. 第 7 题解图 8(1) 证明：连接OC ，如解图， 第 8 题解图 C 是AB 的中点， AB是O 的直径， CO AB. BD是O 的切线， BD AB. OC BD ， OA OB ， A

22、C CD. (2) 解：E 是 OB的中点， OE BE. 在COE和FBE中， CEO FEB ， OE BE ， COE FBE ， COE FBE ， CO BF，OB 2， BF 2，AF AB 2BF22 5， AB是直径， BH AF ， ABF BHF ， AB BH AF BF ， 即 AB BF AF BH ， BH AB BF AF 42 25 45 5 . 类型二 针对训练 1(1) 证明： ABC 90， AM MC ， BM AM MC ， AABM ， 四边形ABED 是圆内接四边形， ADE ABE 180， 又 ADE MDE 180， MDE MBA ， 同理

23、证明： MED A， MDE MED ，MD ME. (2) 解：由 (1) 可知， AMDE ， DE AB ， DE AB MD MA ， AD 2DM ，DM MA 13， DE 1 3AB 1 36 2. 故答案为2. 第 1 题解图 当 A60时，四边形ODME 是菱形理由如下： 如解图，四边形ODME 是菱形， OD OE DM MG ， DM ME ， DME是等边三角形， EDM 60， DE AB ， AMDE 60. 2(1) 证明： PC PB ，D是 AC的中点， DP AB ， DP 1 2AB ，CPD PBO ， BO 1 2AB ， DP BO ， 在CDP与P

24、OB中， DP BO CPD PBO PC PB ， CDP POB(SAS) ； (2)4 【解法提示】 当四边形AOPD 的 AO边上的高等于半径时有最大面积，AB 4，OA 2，最大面 积为 22 4； 第 2 题解图 60 【解法提示】 连接 OD ，如解图， DP AB ， DP BO ， 四边形BPDO 是平行四边形， 四边形BPDO 是菱形， PB BO ， PO BO ，PB BO PO ， PBO是等边三角形， PBA 的度数为60. 第 3 题解图 3(1) 证明：连接OA ，如解图， PA是O 的切线， OA PA ， 在 RtAOP中， AOP 90 APO 90306

25、0， ACP 30， APO 30， ACP APO ，AC AP ， ACP是等腰三角形 (2) 解： DP 1，理由如下： 四边形AOBD 是菱形， OA AD OD ， AOP 60， OP 2OA ，DP OD.DP 1， DP 21，理由如下： 四边形AOBP 是正方形， AOP 45， OA PA 1，OP 2， DP OP 1，DP 21. 4(1) 证明：如解图，连接OB 、BC. OA OB ， OAB OBA 30， COB OAB OBA 60， OB OC ， OBC是等边三角形， BC OC ，PC OC ， BC CO CP， PBO 90， OB PB ，OB 是

26、O 的半径， PB是O 的切线 图 图 图 第 4 题解图 (2) 解： CD 的长为5 3 cm 时，四边形ADPB是菱形理由如下： 如解图，四边形ADPB是菱形， CAB 30， DAC 30， COD 2CAD 60， CD 的长为60 5 180 5 3 cm. 当弧 CD的长为 10 3 cm 时， 四边形 ADCB 为矩形，理由如下： 如解图，当四边形ADCB是矩形时，易知 COD 120，CD 的长为 120 5 180 10 3 cm. 5(1) 证明： OA OC ，AD OC ， OA AD ， AOD ADO ， OD AC ， OAC AOD ， OAC OCA AOD

27、 ADO ， AOC OAD ， OC AD ， 四边形OCAD 是平行四边形； (2) 解： 30 【解法提示】四边形OCAD 是菱形， OC AC ， 又OC OA ， OC OA AC， AOC 60， B 1 2 AOC 30； 当 B45时， AD与O 相切，理由如下： AD与O 相切， OAD 90， AD OC ， AOC 90， B 1 2AOC 45. 6(1) 证明：连接CO并延长交 AB于点 E，如解图， CD与O 相切于点C， CE CD ， 四边形ABCD 为平行四边形， AB CD ， CE AB ， AE BE ， BC AC ； (2) 解：当AC AP时， C

28、PA ABC. 理由如下： AC BC ，AC AP， ABC BAC ，APC ACP ， ABC APC ， BAC ACP ， 在CPA与ABC中， APC ABC ACP CAB AC CA ， CPA ABC ； 图 图 第 6 题解图 当 ABC的度数为60时，四边形ABCD 是菱形理由如下： 如解图，连接OC ，OB ， ABC 60， BCD 120， CD与O 相切于点C， OCD 90， BCO 30， OB OC ， OBC 30， ABO 30， BO垂直平分AC ， AB BC ， 四边形ABCD 是菱形 7(1) 证明： AB AC, CD CA ， ABC ACB

29、 ， AB CD. 四边形ABCE 是圆内接四边形， ABC AEC 180， BAE BCE 180. CED AEC 180， ECD BCE 180， CED ABC ，ECD BAE. CED ACB. ACB AEB ， CED AEB. 在ABE和CDE中， AB CD CED AEB ， DCE BAE ABE CDE. (2) 解： 60； 5 3 3. 8解： (1) 连接ON ，如解图 点 N为AM 的中点， AN MN ， OA OM ，ON ON ， AON MON. OAN OMN ， CM为O 的切线， CM OM. 第 8 题解图 CMN OMN 90， ND A

30、B ， NAD AND 90， AND CMN ， MC AB ，CD AB ， MC ND ，即 NCM 90. 又AN NM ，ADN 90， AND NMC ，AD CN. 矩形 (2)120. 9(1) 证明：连接OD ， DE是O 的切线， OD DE ， 第 9 题解图 在 RtODE和 RtOBE中， OD OB ， OE OE ， RtODE RtOBE. DOE BOE 1 2DOB ， OA OD ， AADO 1 2DOB ， BOE A， OE AD. (2) 解： 4530 10(1) 证明： DE 为O 的切线， OD DE ， CDE 90， 点 C为 AP的中点

31、， DC AP ， DCA DCP 90， AB是O 直径， APB 90， 四边形DEPC 为矩形， DC EP ， 在DAC和ECP中， AC PC ACD CPE DC EP ， DAC ECP ； (2) 解： DAC ECP ， AD CE ，DAC ECP ， AD CE ， 四边形ACED 是平行四边形； DF 1 2AP.理由如下： OA OD ， DAO ADO ， AD CE ， ADO DCF ， DAO DCF ， A， C，F，D四点共圆， AC DF ， AC DF， AC 1 2AP ， DF 1 2AP. 11(1) 证明： BF与A相切，理由如下： BC是A的

32、切线， ACB 90， EF AB ， AEF CAB ，AFE FAB ， 又AE AF ， AEF AFE ， FAB CAB ， 在ABC和ABF中 AF AC FAB CAB AB AB ， ABC ABF(SAS) ； AFB ACB 90， AF是A的半径， BF与O 相切 (2) 解： 60理由如下： 连接 CF，如解图所示， 第 11 题解图 若四边形ADFE 为菱形，则AE EFFD DA ， 又CE 2AE ，CE是圆 A的直径， CE 2EF，CFE 90， ECF 30， CEF 60， EF AB ， AEF CAB ， CAB 60； 42. 理由如下： 若四边形ACBF 为正方形，则AC CB BFFA4，且 AF AE ， EF AE 2 AF24 2. 第 12 题解图 12(1) 证明：连接OD ， AB AC ，OB OD ， ABC ACB ，OBD ODB ， ACB ODB ，OD AC. DF AC ，DF OD ， DF为O 的切线 (2) 解： 2.5.100.