中考数学解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题试题.pdf

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1、题型六二次函数与几何图形综合题 类型一二次函数与图形判定 1( 2017 陕西 ) 在同一直角坐标系中，抛物线C1：yax 22x3 与抛物线 C2：yx 2 mxn 关于 y 轴对称， C2与 x 轴交于 A、B两点，其中点A在点 B的左侧 (1) 求抛物线C1，C2的函数表达式； (2) 求 A、B两点的坐标； (3) 在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且 以 A、B、P、 Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存 在，请说明理由. 2( 2017 随州 ) 在平面直角坐标系中，我们定义直线yax a 为抛物线yax

2、2 bx c(a 、b、c 为常数， a 0) 的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上 的三角形为其“梦想三角形” 已知抛物线y 23 3 x 24 3 3 x23与其“梦想直线”交于A、B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ) ，与 x 轴负半轴交于点C. (1) 填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为_，点 A的坐标为 _， 点 B的坐标为 _； (2) 如图，点 M为线段 CB上一动点，将 ACM以 AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称 点为 N ，若 AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标； (3) 当点 E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直

3、线”上，是否存在点F， 使得以点A、 C 、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F 的坐标； 若不存在，请说明理由 ( 2017 许昌模拟 ) 已知：如图，抛物线yax 2 2axc(a 0)与 y 轴交于点C(0， 4)， 与 x 轴交于点A、B，点 A的坐标为 (4 ，0) (1) 求该抛物线的解析式； (2) 点 Q是线段 AB上的动点，过点Q作 QE AC ，交 BC于点 E，连接 CQ.当CQE的面积 最大时，求点Q的坐标； (3) 若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P， 与直线 AC交于点 F， 点 D的坐标为 (2， 0) 问：是否存在这样的直线l

4、 ，使得 ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由. 4( 2016 河南 ) 如图，直线y 4 3xn 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C(0，4) ，抛物 线 y2 3x 2bxc 经过点 A ，交 y 轴于点 B(0， 2) 点 P为抛物线上一个动点，过点 P作 x 轴的垂线PD ，过点 B作 BD PD于点 D，连接 PB ，设点 P的横坐标为m. (1) 求抛物线的解析式； (2) 当BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长； (3) 如图，将 BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到 BD P，且旋转角 PBP OAC ， 当点 P的对应点P落在坐标轴上时

5、，请直接写出点P的坐标 . 类型二二次函数与图形面积 1( 2017 盐城 ) 如图，在平面直角坐标系中，直线y1 2x 2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴 交于点 C，抛物线y 1 2x 2bxc 经过 A、C两点，与 x 轴的另一交点为点B. (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 点 D为直线 AC上方抛物线上一动点； 连接 BC 、CD ，设直线BD交线段 AC于点 E ， CDE的面积为S1， BCE的面积为S2， 求 S1 S2的最大值； 过点 D 作 DF AC ，垂足为点F，连接 CD ，是否存在点D，使得 CDF 中的某个角恰好 等于 BAC的 2 倍？若存在，求点D的横坐

6、标；若不存在，请说明理由 2( 2017 安顺 ) 如图甲，直线y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于点B、点 C，经过 B 、C 两点的抛物线yx 2bxc 与 x 轴的另一个交点为 A ，顶点为P. (1) 求该抛物线的解析式； (2) 在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以 C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？ 若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 当 0x3 时， 在抛物线上求一点E， 使C BE的面积有最大值( 图乙、 丙供画图探究). 3( 2017 周口模拟 ) 如图，抛物线yax 2 bx3 与 x 轴交于点A(1，0)和点 B，与 y

7、 轴交于点C，且其对称轴l 为 x 1，点 P是抛物线上B，C之间的一个动点( 点 P不与点 B， C重合 ) (1) 直接写出抛物线的解析式； (2) 小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴 l 上时，存在PB NB ，且 PB NB的 关系，请求出点P的坐标； (3) 是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在， 请求出四边形PBAC 面积的最大 值；若不存在，请说明理由. 4( 2017 濮阳模拟 ) 如图，已知抛物线yax 2bx 3 的对称轴为 x1，与 x 轴分 别交于 A、B两点，与y 轴交于点C，一次函数yx1 经过 A，且与 y 轴交于点 D. (1) 求该抛物线的

8、解析式 (2) 如图， 点 P为抛物线B 、C两点间部分上的任意一点(不含 B，C两点 ) ，设点 P的横 坐标为 t ，设四边形DCPB的面积为S ，求出 S与 t 的函数关系式，并确定t 为何值时， S 取 最大值？最大值是多少？ (3) 如图，将 ODB沿直线 yx1 平移得到 O DB，设O B与抛物线交于点 E，连接 ED ，若 ED 恰好将 O DB的面积分为12 两部分，请直接写出此时平移的 距离 类型三二次函数与线段问题 1( 2017 南宁 ) 如图，已知抛物线yax 22 3ax9a 与坐标轴交于A，B， C三点， 其中 C(0，3) ， BAC的平分线AE交 y 轴于点

9、D，交 BC于点 E，过点 D的直线 l 与射线 AC ， AB分别交于点M ，N. (1) 直接写出a 的值、点A的坐标及抛物线的对称轴； (2) 点 P为抛物线的对称轴上一动点，若PAD 为等腰三角形，求出点P的坐标； (3) 证明：当直线l 绕点 D旋转时， 1 AM 1 AN 均为定值，并求出该定值 2( 2017 焦作模拟 ) 如图，直线y3 4xm与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B(0， 1) ，抛物线y1 2x 2bxc 经过点 B，点 C的横坐标为 4. (1) 请直接写出抛物线的解析式； (2) 如图，点D在抛物线上， DE y 轴交直线AB于点 E ，且四边形DF

10、EG为矩形，设点 D的横坐标为x(0 x 4)，矩形 DFEG 的周长为l ，求 l 与 x 的函数关系式以及l 的最大值； (3) 将AOB绕平面内某点M旋转 90或 180，得到A1O1B1，点 A、 O 、B的对应点分 别是点A1、O1、B1. 若 A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落 点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180时点 A1的横坐标 . 3( 2017 武汉 ) 已知点 A(1，1) ，B(4，6) 在抛物线yax 2bx 上 (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图，点F 的坐标为 (0 ，m)(m2) ，直线 AF交抛物线于另一点G，过点

11、G作 x 轴 的垂线，垂足为H. 设抛物线与x 轴的正半轴交于点E，连接 FH、AE，求证： FH AE ； (3) 如图，直线AB分别交 x 轴、 y 轴于 C、D两点点P从点 C出发，沿射线CD方向 匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点 O出发，沿 x 轴正方向匀速运动，速 度为每秒1 个单位长度点M是直线 PQ与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时， QM 2PM ， 直接写出t 的值 . 类型四二次函数与三角形相似 1( 2016 南宁 ) 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为 A(1，1) ，且与直线yx2 交 于 B，C两点 (1) 求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)

12、求证： ABC 是直角三角形； (3) 若点 N为 x 轴上的一个动点， 过点 N作 MN x轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ， M ，N为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 2( 2017 平顶山模拟 )如图，抛物线yax 2bx1 与直线 y axc 相交于坐标轴 上点 A(3， 0)，C(0，1)两点 (1) 直线的表达式为_；抛物线的表达式为_； (2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直 x 轴于点 E ，交直线AC于点 F，求 线段 DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)P 为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点

13、P作 PN垂直 x 轴于点 N，使得以 P、 A、N为顶点的三角形与 ACO 相似，请直接写出点P的坐标 . 3如图，二次函数yax 2 bx33经过 A(3， 0) ，G(1，0)两点 (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 若点 M是抛物线在第一象限图象上的一点，求ABM面积的最大值； (3) 抛物线的对称轴交x 轴于点 P，过点 E(0， 23 3 ) 作 x 轴的平行线，交AB于点 F，是 否存在着点Q，使得 FEQ BEP ？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理 由. 4( 2017 海南 ) 抛物线 yax 2bx3 经过点 A(1，0) 和点 B(5，0) (1)

14、求该抛物线所对应的函数解析式； (2) 该抛物线与直线y错误 ! x3 相交于C、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM y轴，分别与x 轴和直线CD交于点 M 、N. 连接 PC 、PD，如图，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值；若不存在，说明理由； 连接 PB ，过点 C作 CQ PM ，垂足为点Q ，如图，是否存在点P，使得 CNQ与PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 题型六第 23 题二次函数与几何图形综合题 类型一二次函数与图形判定 1解： (1) C1、C2关于 y 轴对称， C1与 C2的交

15、点一定在y 轴上，且C1与 C2的形状、大小均相同，a1，n 3， C1的对称轴为x1， C2的对称轴为x 1， m 2， C1的函数表示式为y x 2 2x3， C 2的函数表达式为y x 22x3； (2) 在 C2的函数表达式为yx 2 2x3 中，令 y0 可得 x 22x30，解得 x 3 或 x1， A( 3， 0)，B(1，0) ； (3) 存在 设 P(a， b)，则 Q(a4，b)或(a 4，b) ， 当 Q(a4， b) 时，得： a 22a 3(a 4)22(a 4) 3， 解得 a 2， ba 22a 34435， P1( 2，5) ，Q1(2 ，5) 当 Q(a4，

16、b) 时，得： a 22a 3(a 4)22(a 4) 3， 解得 a 2. b44 3 3， P2(2 ， 3) ，Q2( 2， 3) 综上所述，所求点的坐标为P1( 2，5) ，Q1(2 ，5) ； P2(2 ， 3)，Q2( 2， 3). 2解： (1) 抛物线y 23 3 x 24 3 3 x23， 其梦想直线的解析式为y 23 3 x 23 3 ， 联立梦想直线与抛物线解析式可得 y 23 3 x2 3 3 y 23 3 x 24 3 3 x23 ， 解得 x 2 y23 或 x1 y0， A( 2， 23) ，B(1，0) ； (2) 当点 N在 y 轴上时， AMN 为梦想三角形

17、， 如解图，过A作 AD y 轴于点 D，则 AD 2， 在 y 23 3 x 243 3 x 23中，令 y0 可求得 x 3 或 x 1， C(3， 0)，且 A( 2，23) ， AC（ 23） 2（ 2 3） 2 13， 由翻折的性质可知AN AC 13， 在RtAND中，由勾股定理可得DN AN 2AD2 1343， OD 23， ON 233 或 ON 233， 当 ON 233 时，则 MN OD CM ，与 MN CM矛盾，不合题意， N点坐标为 (0 ，233) ； 当 M点在 y 轴上时，则M与 O重合，过N作 NPx 轴于点 P，如解图， 在RtAMD 中， AD2，OD

18、 23，tanDAM MD AD 3， DAM 60， ADx 轴， AMC DAM 60， 又由折叠可知NMA AMC 60， NMP 60，且 MN CM 3， MP 1 2MN 3 2，NP 3 2 MN 3 3 2 ， 此时 N点坐标为 ( 3 2， 33 2 ) ； 综上可知N点坐标为 (0 ，233) 或( 3 2， 33 2 ) ； (3) 当 AC为平行四边形的边时，如解图，过F作对称轴的垂线FH ，过 A作 AK x 轴 于点 K ， 则有 AC EF且 AC EF， ACK EFH ， 在 ACK和 EFH中， ACK EFH AKC EHF AC EF ， ACK EFH

19、(AAS) ， FHCK 1，HE AK 23， 抛物线对称轴为x 1， F点的横坐标为0 或 2， 点 F 在直线 AB上，当 F点横坐标为0 时，则 F(0，2 3 3 ) ，此时点 E在直线 AB下方， E 到 x 轴的距离为EH OF 232 3 3 43 3 ，即 E点纵坐标为 43 3 ， E(1， 43 3 ) ； 当 F 点的横坐标为2 时，则 F 与 A重合，不合题意，舍去； 当 AC为平行四边形的对角线时， C(3， 0)，且 A( 2，23) ， 线段 AC的中点坐标为( 5 2， 3) ， 设 E(1，t) ，F(x ，y) ，则 x12( 5 2) ，y t 2 3，

20、 x 4，y23t ， 代入直线AB解析式可得23t 23 3 ( 4) 23 3 ，解得 t 43 3 ， E( 1， 43 3 ) ，F( 4，10 3 3 ) ； 综上可知存在满足条件的点F，此时E(1， 43 3 ) 、F(0 ， 23 3 ) 或 E(1， 43 3 ) 、 F(4， 103 3 ). 3解： (1) 由题意，得 016a8ac 4c ，解得 a 1 2 c 4 ， 所求抛物线的解析式为y 1 2x 2x4； (2) 设点 Q的坐标为 (m，0)，如解图，过点E作 EG x 轴于点 G. 由 1 2x 2x40，得 x 1 2，x24， 点 B的坐标为 ( 2，0)

21、， AB 6，BQ m 2， QE AC ， BQE BAC ， EG CO BQ BA ，即 EG 4 m 2 6 ， EG 2m 4 3 ， S CQES CBQSEBQ 1 2BQ CO 1 2BQ EG 1 2(m2)(4 2m 4 3 ) 1 3m 2 2 3m 8 3 1 3 (m 1) 23， 又 2 m 4， 当 m 1时， SCQE有最大值3，此时 Q(1，0) ； 图图 (3) 存在在 ODF中 ( ) 若 DO DF， A(4，0)， D(2， 0)， AD OD DF 2， 又在RtAOC中， OA OC 4， OAC 45， DFA OAC 45， ADF 90，此时

22、，点F 的坐标为 (2， 2) ， 由 1 2x 2x42， 得 x115，x215，此时，点P的坐标为P(15， 2) 或 P(15，2) ； ( ) 若 FO FD，如解图，过点F 作 FM x 轴于点 M ， 由等腰三角形的性质得：OM MD 1， AM 3， 在等腰直角AMF中， MF AM 3， F(1 ，3)， 由 1 2x 2x43，得 x 113，x213， 此时，点P的坐标为： P(13，3)或 P(13，3) ； ( ) 若 OD OF， OA OC 4，且 AOC 90， AC42，点 O到 AC的距离为22，而 OF OD 222，与 OF 22矛盾， AC上不存在点使

23、得OF OD 2， 此时，不存在这样的直线l ，使得 ODF是等腰三角形 综上所述，存在这样的直线l ，使得 ODF是等腰三角形 所求点 P的坐标为 (15，2) 或(15，2)或(1 3，3) 或(1 3，3). 4解： (1) 点 C(0，4) 在直线 y 4 3x n 上， n4， y 4 3x4， 令 y0，解得 x 3， A(3，0) ， 抛物线y 2 3x 2 bxc 经过点 A，交 y 轴于点 B(0， 2) ， c 2，63b20， 解得 b 4 3， 抛物线的解析式为y 2 3x 24 3x 2； (2) 点 P的横坐标为m ，且点 P在抛物线上， P(m， 2 3m 24

24、3m 2) ， PDx 轴， BD PD ，点 D坐标为 (m， 2) ， |BD| |m| ，|PD| | 2 3m 24 3m 22| ， 当 BDP为等腰直角三角形时，PD BD， |m| | 2 3m 24 3m 22| | 2 3m 24 3m|. m 2(2 3m 24 3m) 2，解得： m 10( 舍去 )，m2 7 2，m 31 2， 当 BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为 7 2或 1 2； (3) PBP OAC ，OA 3，OC 4， AC 5， sinPBP 4 5， cosPBP 3 5， 当点 P落在 x 轴上时，如解图，过点D作 DN x 轴，垂足为N，交

25、 BD于点 M ， DBD ND P PBP ， 由旋转知， PD PD 2 3m 24 3m ， 在RtPD N中，cos ND P ND PD cosPBP 3 5， ND 3 5( 2 3m 24 3m)， 在RtBD M中， BD m ，sinDBD DM BD sinPBP 4 5， DM 4 5m ， ND MD 2， 3 5( 2 3m 24 3m)( 4 5m)2， 解得 m 5( 舍去 ) 或 m 5，如解图， 同的方法得，ND 3 5( 2 3m 24 3m)，MD 4 5m ， ND MD 2， 3 5( 2 3m 24 3m) 4 5m 2， m 5或 m 5( 舍去

26、) ， P( 5， 45 4 3 ) 或 P(5， 454 3 ) ， 当点 P落在 y 轴上时，如解图， 过点 D作 DM x 轴，交 BD于 M ，过点 P作 PN y 轴，交 MD 的延长线于点N， DBD ND P PBP ， 同的方法得： PN 4 5( 2 3m 24 3m)，BM 3 5m ， PNBM ， 4 5( 2 3m 24 3m) 3 5m ， 解得 m 25 8 或 m 0( 舍去 ) ， P( 25 8 ， 11 32) ， P( 5， 45 4 3 ) 或 P(5， 454 3 ) 或 P( 25 8 ，11 32 ). 类型二二次函数与图形面积 1解： (1)

27、根据题意得A(4，0)，C(0，2) ， 抛物线y 1 2x 2bxc 经过 A、C两点， 0 1 2164bc 2c ， 解得 b 3 2 c2 ， y 1 2x 23 2x2； (2) 令 y0， 1 2x 23 2x20， 解得 x1 4，x21， B(1， 0)， 如解图，过D作 DM y 轴交 AC于 M ，过 B作 BN x 轴交 AC于 N， DM BN ， DME BNE ， S1 S2 DE BE DM BN ， 设 D(a， 1 2a 23 2a2)， M(a， 1 2a2)， B(1，0)， N(1，5 2) ， S1 S2 DM BN 1 2a 22a 5 2 1 5(

28、a 2) 2 4 5； 当 a 2 时， S1 S2 有最大值，最大值是 4 5； A(4， 0) ，B(1，0) ，C(0，2) ， AC25，BC 5，AB 5， AC 2BC2AB2， ABC是以 ACB为直角的直角三角形，取AB的中点 P， P(3 2，0) ， PAPC PB 5 2， CPO 2BAC ， tanCPO tan(2BAC)4 3， 如解图，过D作 x 轴的平行线交y 轴于 R，交 AC的延长线于G ， 情况一： DCF 2BAC DGC CDG ， CDG BAC ， tanCDG tanBAC 1 2，即 RC DR 1 2， 令 D(a， 1 2a 23 2a2

29、)， DR a，RC 1 2a 23 2a， 1 2a 23 2a a 1 2， 解得 a10(舍去 ) ，a2 2， xD 2， 情况二： FDC 2BAC ， tanFDC 4 3， 设 FC4k， DF3k，DC 5k， tanDGC 3k FG 1 2， FG6k， CG 2k，DG 35k， RC 25 5 k，RG 45 5 k， DR 35k 45 5 k 115 5 k， DR RC 115 5 k 25 5 k a 1 2a 2 3 2a ，解得 a10( 舍去 ) ，a2 29 11， 点 D的横坐标为 2 或 29 11. 2解： (1) 直线 y x3 与 x 轴、 y

30、 轴分别交于点B、点 C， B(3，0)， C(0， 3)， 把 B、C坐标代入抛物线解析式可得 93bc0 c3 ， 解得 b 4 c3 ， 抛物线的解析式为yx 24x3； (2) yx 2 4x3(x 2) 21， 抛物线对称轴为x 2，P(2， 1) ， 设 M(2， t) ，且 C(0，3) ， MC 2 2（ t 3）2 t 2 6t 13，MP |t 1| ，PC 2 2（ 13）22 5， CPM 为等腰三角形， 有 MC MP 、 MC PC和 MP PC三种情况， 当 MC MP时，则有t 26t 13|t 1| ，解得 t 3 2，此时 M(2， 3 2) ； 当 MC

31、PC时，则有t 26t 13 2 5，解得 t 1( 与 P点重合，舍去 ) 或 t 7，此 时 M(2，7) ； 当 MP PC时，则有 |t 1| 25，解得 t 125或 t 125，此时 M(2， 125) 或 (2， 125) ； 综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为 (2 ，3 2) 或(2 ，7) 或(2 ， 12 5) 或(2 ， 1 25) ； (3) 如解图， 在 0x3 对应的抛物线上任取一点E，过 E作 EFx 轴，交 BC于点 F，交 x 轴于点 D， 设 E(x， x 24x3) ，则 F(x ， x3) ， 0x3， EF x 3(x 24x3) x23x， S

32、CBES EFCSEFB 1 2EF OD 1 2EF BD 1 2EF OB 1 23( x 23x) 3 2(x 3 2) 227 8 ， 当 x 3 2时， CBE的面积最大，此时 E点坐标为 ( 3 2， 3 4) ， 即当 E点坐标为 ( 3 2， 3 4) 时， CBE的面积最大 . 3解： (1) A(1，0)，对称轴l 为 x 1， B(3，0)， ab30 9a3b 30，解得 a1 b2， 抛物线的解析式为yx 22x3； (2) 如解图，过点P作 PM x 轴于点 M ， 设抛物线对称轴l 交 x 轴于点 Q. PBNB ， PBN 90， PBM NBQ 90. PMB

33、 90， PBM BPM 90， BPM NBQ. 又 BMP BQN 90， PB NB， BPM NBQ ， PM BQ. 抛物线yx 22x3 与 x 轴交于点 A(1，0) 和点 B，且对称轴为x 1， 点 B的坐标为 ( 3，0) ，点 Q的坐标为 ( 1，0) ， BQ 2， PM BQ 2. 点 P是抛物线yx 22x3 上 B、C之间的一个动点， 结合图象可知点P的纵坐标为2， 将 y 2代入 yx 22x3，得 2x22x3， 解得 x1 12，x2 12( 舍去 )， 此时点P的坐标为 ( 12， 2) ； (3) 存在 如解图，连接AC ，PC. 可设点 P的坐标为 (x

34、 ，y)( 3x0)，则 yx 22x3， 点 A(1，0) ， OA 1. 点 C是抛物线与y 轴的交点，令x0，得 y 3，即点 C(0， 3) ， OC 3. 由(2) 可知 S四边形 PBACS BPM S四边形 PMOCSAOC 1 2BM PM 1 2(PMOC) OM 1 2OA OC 1 2(x 3)( y) 1 2( y3)( x) 1 213 3 2y 3 2x 3 2， 将 yx 2 2x3 代入可得 S四边形 PBAC 3 2(x 22x3)3 2x 3 2 3 2(x 3 2 ) 275 8 . 3 20， 3x0， 当 x 3 2时， S 四边形 PBAC有最大值

35、75 8 ，此时， yx 2 2x3 15 4 . 当点 P的坐标为 ( 3 2， 15 4 ) 时，四边形PBAC的面积最大，最大值为 75 8 . 4解： (1) 把 y0 代入直线的解析式得x10，解得 x 1， A(1，0) 抛物线的对称轴为x1， B的坐标为 (3 ，0) 将 x0 代入抛物线的解析式得y 3， C(0， 3) 设抛物线的解析式为ya(x 1)(x 3) ，将 C(0， 3) 代入得 3a 3，解得 a1， 抛物线的解析式为y(x 1)(x 3) x 22x3； (2) 如解图，连接OP. 将 x0 代入直线AD的解析式得y1， OD 1. 由题意可知P(t ，t 2

36、2t 3) S四边形 DCPB SODBS OBPSOCP， S 1 231 1 23( t 22t 3) 1 23 t ，整理得 S 3 2t 29 2t 6， 配方得： S 3 2(t 3 2) 275 8 ， 当 t 3 2时， S取得最大值，最大值为 75 8 ； (3) 如解图，设点D的坐标为 (a ，a1) ，O (a ，a) 当DO E 的面积 DEB 的面积12 时，则 O E EB 12. OB OB 3， OE1， E(a1，a) 将点 E的坐标代入抛物线的解析式得(a1) 2 2(a1) 3 a，整理得： a2a 40， 解得 a 117 2 或 a1 17 2 ， O的

37、坐标为 ( 117 2 ，1 17 2 ) 或( 117 2 ， 117 2 ) ， OO 234 2 或 OO 342 2 ， DOB平移的距离为 234 2 或 342 2 ， 当DO E 的面积 DEB的面积 21 时，则 O E EB 21. OB OB 3， OE2， E(a2，a) 将点 E的坐标代入抛物线的解析式得：(a2) 2 2(a2) 3a，整理得： a2a30， 解得 a 113 2 或 a 113 2 . O的坐标为 ( 113 2 ， 113 2 ) 或( 113 2 ， 113 2 ) OO 226 2 或 OO 226 2 . DOB平移的距离为 226 2 或

38、226 2 . 综上所述，当 DO B沿DA方向平移 234 2 或 226 2 单位长度，或沿AD方向 平移 342 2 或 226 2 个单位长度时， ED 恰好将 O DB的面积分为12两部分 . 类型三二次函数与线段问题 1(1) 解： C(0，3)， 9a3，解得 a 1 3. 令 y0，得 ax 22 3ax 9a0， a0， x 22 3x9 0，解得 x3或 x33. 点 A的坐标为 ( 3，0)，点 B的坐标为 (33，0)， 抛物线的对称轴为x3； (2) 解： OA 3，OC 3， tanCAO 3， CAO 60. AE为 BAC的平分线，DAO 30， DO 3 3

39、AO 1，点 D的坐标为 (0， 1) ， 设点 P的坐标为 (3， a) AD 24，AP212a2，DP23(a1)2. 当 AD PA时， 4 12a 2，方程无解 当 AD DP时， 4 3(a 1) 2，解得 a0 或 a2， 点 P的坐标为 (3， 0) 或(3，2) 当 AP DP时， 12a 23(a 1)2，解得 a 4. 点 P的坐标为 (3， 4) 综上所述，点P的坐标为 (3，0) 或(3， 4) 或(3，2); (3) 证明：设直线AC的解析式为ymx3，将点 A的坐标代入得3m 30，解得 m 3， 直线 AC的解析式为y3x3. 设直线 MN 的解析式为ykx 1

40、. 把 y0 代入 ykx1，得 kx10，解得： x 1 k ， 点 N的坐标为 ( 1 k ，0) ， AN 1 k 3 3k1 k . 将 y3x3 与 ykx1 联立，解得x 2 k3， 点 M的横坐标为 2 k3 . 如解图，过点M作 MG x 轴，垂足为G.则 AG 2 k3 3. MAG 60， AGM 90， AM 2AG 4 k3 23 23k2 k3 . 1 AM 1 AN k3 23k2 k 3k1 k3 23k2 2k 23k2 3k3 23k2 3（3k1） 2（3k1） 3 2 . 2解： (1) 直线 l ：y 3 4x m经过点 B(0， 1) ， m 1， 直

41、线 l 的解析式为y 3 4x1， 直线 l ：y 3 4x1 经过点 C，且点 C的横坐标为 4， y 3 4412， 抛物线y 1 2x 2 bxc 经过点 C(4，2)和点 B(0， 1) ， 1 24 24bc2 c 1 ，解得 b 5 4 c 1 ， 抛物线的解析式为y 1 2x 25 4x 1； (2) 令 y0，则 3 4x10，解得 x 4 3， 点 A的坐标为 ( 4 3， 0) ， OA 4 3， 在RtOAB中， OB 1， AB OA 2OB2 （ 4 3） 2125 3， DEy 轴， ABO DEF ， 在矩形 DFEG 中， EF DE cosDEF DE OB

42、AB 3 5DE， DFDE sinDEF DE OA AB 4 5DE ， l 2(DF EF) 2( 4 5 3 5)DE 14 5 DE ， 点 D的横坐标为t(0 t 4) ， D(t ， 1 2t 25 4t 1) ，E(t ， 3 4t 1) ， DE( 3 4t 1) ( 1 2t 25 4t 1) 1 2t 22t ， l 14 5 ( 1 2t 22t) 7 5t 228 5 t， l 7 5(t 2) 228 5 ，且 7 50， 当 t 2时， l 有最大值 28 5 ； (3) “落点”的个数有4 个，如解图，解图，解图，解图所示 如解图，设A1的横坐标为m ，则 O1的横坐标为m 4 3， 1 2m 25 4m 1 1 2(m 4 3) 25 4(m 4 3) 1， 解得 m 7 12， 如解图，设A1的横坐标为m ，则 B1的横坐标为m 4 3，B 1的纵坐标比A1的纵坐标大1， 1 2m 25 4m 11 1 2(m 4 3) 25 4(m 4 3) 1，解得 m 4 3， 旋转 180时点A1的横坐标为 7 12或 4 3. 3(1) 解：将点A(1，1) ，B(4，6) 代入 yax 2bx 中， 得 ab1 16a4b6，解得 a 1 2 b 1 2 ， 抛物线的解析式为y 1 2x 21 2x； (2) 证明：设直线AF的解析式为y