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1、1 中考最值问题探究 中考压轴题中频繁出现有关最值问题，常让很多同学束手无策， 望而生畏，其实解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图 形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型（函数增减性、 线段公理、三角形三边关系等）进行分析与突破，现结合近年各地试 题的特点进行剖析，希望能给同学一定的启示与帮助。 一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建，借用线段公理求解 例 1（湖北荆门 ）如图， MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN30 ， B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点， 则 PAPB 的最小值为 ( ) A 2B C 1 D 2 解析：PA+PB
2、的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中，两 点之间线段最短”的数学模型与原理，故可作B 关于 MN 的对称点 是 H，连接 AH 交 MN 于点 P，AH 的长就是 PA+PB 的线段之和的最 小值，借助圆圆周角定理，可知根据AOH90 ，巧妙构造Rt OAH，根据题意运用勾股定理可求出AH=，所以 PA+PB 的最小 值为故选 B。 点评： 本题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用，解决本 题的关键做出点B 或 A 关于 MN 的对称点，然后利用线段垂直平分 2 线的性质和两点之间线段最短,并借助圆心角和圆周角的关系，构造 直角三角形运用勾股定理计算最小值来解决问题不管在什么背景图 中，
3、有关线段之和的最短问题， 常化归与转化为线段公理 “两点之间， 线段最短”。而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。 例 2 圆锥底面半径为 10cm，高为 10cm， （1）求圆锥的表面积； （2）若一只蚂蚁从底面一点A 出发绕圆锥一周回到SA 上一 点 M 处，且 SM=3AM ，求它所走的最短距离。 思路点拨 ：利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股 定理求出母线长， 进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表 面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上 求点 A 到 M 的最短距离（即AM 的长）。 解析：（1）圆锥的母线长 SA=，圆锥侧面展开 图 扇
4、 形 的 弧 长， 侧， S底 =，S表= S底+ S侧= 。 （2）沿母线 SA 将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线 段 AM 的长就是蚂蚁所走的最短距离， 由（1）知，弧 AA 3 =，又 SA= AS=，SM=3AM ， SM=，在RtASM中， ， 所 以蚂蚁 所 走的最 短 距离 是 50cm. 点评： 对于立体图形中要计算圆锥曲面上两点之间的最短距离， 一般把立体的圆锥的侧面展开成扇形，转化为平面图形借助线段公理 计算。将立体图形转化为平面图形是初中阶段常用的基本方法与思 想。 二、在具体情境中最值问题，借用函数图象的增减性求解 例 3（山东济南） 如图，已知抛物线经过点（
5、1，-5） 和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式 （2）设此抛物线与直线y=x 相交于点 A，B（点 B 在点 A 的右侧）， 平行于轴的直线与抛物线交于点 M，与直线 交于点 N，交轴于点 P，求线段 MN 的长（用含的代数式表示） 4 （3）在条件（2）的情况下，连接 OM、BM，是否存在的值，使 BOM 的面积 S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明 理由 解析： （1）由题意得，解得 b=2，c=4，故抛物线解 析式为 y=x 22x4 （2）由题意得，解得，B 点坐标 为（4，4）将 x=m 代入 y=x 得 y=m，点 N 的坐标为（ m，m），同理 点 M 的坐标为（
6、 m，m 22m4） MN= m（m 22m4） m2+3m+4 （3）作 BCMN 于点 C，则 BC=4m，OP=m，S=MNOP+ MNBC=2（m 2+3m+4）=2（m ） 2+ ， 20，当 m=时，S有最大值 点评：由具体情境酝酿与构建最值问题，通常有两种形式，一是在商 品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解此类问 题的关键是通过题意及现实数量关系，确定出相关函数的表达式， 另 一类是在几何图形中有关面积的最值问题，解这类问题关键是要掌握 图形面积的求解与表示， 构建相应的函数关系式， 进而根据函数图象 的增减性确定其最值， 并注意问题的实际意义。 本题涉及两函数间的 距离计算，距离可能是平行于x 轴的 AB 两点间的距离：ABx=Ax-Bx ；也可能是平行于 y 轴的 AB 两点间的距离： ABy=Ay-By,在本