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1、（十一）函数与方程 小题对点练 点点落实 对点练 (一 )函数的零点问题 1 (2018 河北武邑中学基础训练)方程ln(x 1) 2 x0(x0)的根存在的大致区间是 () A (0,1) B(1,2) C (2，e) D(3,4) 解析： 选 B令 f(x) ln(x1) 2 x，则 f(1)ln(11)2 ln 2 20， 所以函数f(x)的零点所在大致区间为(1,2)故选 B. 2(2018 四川双流中学必得分训练)函数 f(x)2 x2x 的零点所处的区间是 () A 2， 1 B1,0 C 0,1 D1,2 解析： 选 Bf(2)2 2 2(2)0，由 零点存在性定理知，函数f(x
2、)的零点在区间1,0上故选B. 3(2018 云南大理州统测)函数 f(x) ln x，x0， x x 2 ，x0 的零点个数是() A 0 B1 C 2 D3 解析： 选 D当 x0 时，令 f(x)0 可得 x1；当 x0 时，令 f(x)0 可得 x 2 或 x0.因此函数的零点个数为3.故选 D. 4关于 x 的方程 |x 2 2x|a21(a0)的解的个数是 () A 1 B2 C 3 D4 解析： 选 B a0， a211.而 y|x22x|的图象如图所示， y|x 22x|的图象与 ya 2 1的图象总有 2 个交点， 即方程 |x 22x| a21(a0)的解的个数是2. 5函
3、数 f(x)2sin xx1 的零点个数为() A 4 B5 C 6 D7 解析： 选 B令 2sin xx10，得 2sin xx1，令 h(x)2sin x，g(x)x1， 则 f(x)2sin xx1的零点个数问题就转化为函数h(x)与 g(x)的图象的交点个数问题h(x) 2sin x 的最小正周期为T 2 2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1) g(1)， h 5 2 g 5 2 ，g(4) 32，g( 1) 2，所以两个函数图象的交点共5 个，所以f(x)2sin x x1 的零点个数为5. 对点练 (二 )函数零点的应用问题 1已知函数f(x)log3x2 x a 在区间
4、 (1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是() A (1， log32) B(0，log52) C (log32,1) D(1，log34) 解析： 选 C单调函数f(x) log3x2 x a 在区间 (1,2)内有零点，f(1) f(2)0 恒成立则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除 A、D；取 a1，则 f(x) ln xx 2x， f(x)12x 2x x 12x 1 x x ，f(x)0 得 x 1，则 f(x)在(0,1) 上递增，在 (1， )上递减， f(x)maxf(1)0，即 f(x)仅有一个零点，不 符合题意，排除B，故选 C. 3已知函数f(x) sin x， 0
5、x1， log2 017x，x1， 若 a，b，c 互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则 a bc 的取值范围是() A (1,2 017) B(1,2 018) C 2,2 018 D(2,2 018) 解析： 选 D作出函数f(x)的图象与直线ym，如图所示，不妨设a1 2. 6已知 x0是 f(x) 1 2 x1 x的一个零点， x1(， x0)，x2 (x0,0)，则 ( ) A f(x1)0，f(x2)0 C f(x1)0，f(x2)0 解析： 选 C在同一坐标系下作出函数f(x) 1 2 x，f(x)1 x的图象 (图略 )，由图象可 知当 x(， x0)时， 1 2 x1 x
6、；当 x(x0,0)时， 1 2 x 0，f(x2)0， x22x，x0， 若函数 g(x) f(x)m 有 3 个零点，则实数m 的取值范围是_ 解析： 函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，转化为f(x)m0 的根有 3 个，进而转化为y f(x)，ym 的交点有3 个画出函数y f(x)的图 象，则直线ym 与其有 3 个公共点又抛物线顶点为(1,1)，由图可 知实数 m 的取值范围是(0,1) 答案： (0,1) 大题综合练 迁移贯通 1已知 a 是正实数，函数f(x)2ax 22x 3a.如果函数 yf(x)在区间 1,1上有零 点，求 a 的取值范围 解： f(x)2ax 22
7、x3a 的对称轴为 x 1 2a. 当 1 2a 1，即 0 1 2时， 须使 f 1 2a 0， f 1 0， 即 1 2a 3a0， a1， 解得 a1， a 的取值范围是1， ) 2(2018 德州模拟 )已知函数f(x) x 22x.g(x) x 1 4x， x0， x1，x0. (1)求 gf(1)的值； (2)若方程 gf(x)a 0有 4 个实数根，求实数a 的取值范围 解： (1)f(1) 12 21 3， gf(1)g(3) 31 2. (2)令 f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t 在 t(， 1)内有 2 个不同的 解，则原方程有4 个解等价于函数yg(
8、t)(t0)，且关于 x 的方程g(x)mf(x)在1,2上有解，求m 的取 值范围 解： (1)证明：函数 f(x)log2(2x1)， 任取 x1x2， 则 f(x1)f(x2)log2(2 x11)log 2(2 x2 1) log22 x11 2 x21， x1x2， 02 x11 2 x211， log22 x11 2 x210， f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(， )上单调递增 (2)g(x)mf(x)， mg(x)f(x) log2(2 x1)log 2(2 x 1) log22 x1 2 x1 log21 2 2 x1， 1x2， 22x4， log21 3 log21 2 2 x 1log23 5， 故 m 的取值范围为log21 3，log 23 5 .