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1、动点最值问题解法探析 一、问题原型： （人教版八年级上册第42 页探究）如图 1-1，要在燃气管道上修 建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可 使所用的输气管线最短？ 这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典 问题。解这类问题 二、基本解法 ： 对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线 上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。 三、一般结论 ： (在线段上时取等号 )（如图 1-2） 线段和最小，常见有三种类型： （一）“ |定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小 通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映
2、射到直线的另一侧， 当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上 时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线 段的长。 1.两个定点 +一个动点 。 如图 1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段 （是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距 离和。 例 1（2006年河南省中考题 ）如图 2，正方形的边长为， 是的中 点 ，是 对 角 线上 一动 点 ， 则的 最小 值 是。 解析：与关于直线对称，连结，则。 连结,在中，则 故的最小值为 例2（ 2009 年 济 南 市中 考 题 ）如 图 3，已 知 ： 抛 物 线 的对称轴为，与轴交于、两点，与轴 交于点
3、，其中，。 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求 出点的坐标。 解析：（1）对称轴为，由对称性可知：。根 据、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为： （2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点 即为所求点。 设直线解析式为：。把、代入得， 。当时，则 2.两个定点 +两个动点 。 两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两 动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转 化为“两个定点和一个动点”类型来解。 例 3如图 4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便， 计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程
4、最短？ 解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于 河宽，且垂直于河岸。 将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端 点 位 置 。 四 边 形为 平 行 四 边 形 ， 此 时 值最小。那么来往、两村最短路程为： 。 例 4(2010 年天津市中考 )在平面角坐标系中，矩形的顶点 在坐标原点，顶点、 分别在轴、 轴的正半轴上， 为边的中点。 （1） 若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的 坐标； （2）若，为边上的两个动点， 且，当四边形的 周长最小时，求点，的坐标。 解析：作点关于轴的对称点，则，。 （1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。由 可知， 那么， 则。 （2）将向左平移 2 个单位（）到点，定点、分别到 动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即 。 从而把“两个定点和两个动点” 类问题转化成“两 个定点和一个动点”类型。 在上截取，连接交轴于，四边形为 平行四边形，。此时值最小，则四 边形的周长最小。由、可求直线解析式为 ，当时，即，则。（也可以用（ 1） 中相似的方法求坐标） （二）“ |动定|+|动动|”型： 两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一 动点的距离和最小。 利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上 （两点之间线段最短） ，且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直