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1、圆简答题专题 东城区 23 如图，AB为O的直径，点C，D在O上，且点C是 BD 的中点 . 过点C作AD的垂线EF交直线AD于 点E. （1）求证：EF是O的切线； （2）连接BC. 若AB=5，BC=3，求线段AE的长 . 23. （1）证明：连接OC. CDCB 1=3. OAOC， 1=2. 3=2. AEOC. AE EF ， OCEF. OC是O的半径， EF是O的切线 . -2分 （2）AB为O的直径， ACB=90. 根据勾股定理，由AB=5,BC=3, 可求得AC=4. AE EF ， AEC=90. AECACB. AEAC ACAB . 4 45 AE . 16 5 AE
2、. -5分 西城区 24如图， O 的半径为 r ，ABC内接于 O ，15BAC，30ACB，D为 CB 延长线上一点， AD与 O 相切，切点为 A （1）求点B到半径 OC 的距离（用含r 的式子表示） （2）作 DHOC 于点 H，求ADH的度数及 CB CD 的值 A O BCD 【解析】（1）如图4，作 BEOC 于点E 在 O 的内接ABC中，15BAC， 230BOCBAC 在 RtBOE中，90OEB，30BOE， OBr ， 22 OBr BE， 点B到半径 OC 的距离为 2 r （2）如图4，连接 OA 由 BEOC ， DH OC ，可得BEDH AD于 O 相切，切
3、点为A， ADOA， 90OAD DHOC 于点H， 90OHD 在OBC中， OBOC ，30BOC， 180 75 2 BOC OCB 30ACB， 45OCAOCBACB OAOC ， 45OACOCE， 180290AOCOCA， 四边形AOHD 为矩形，90ADH， DHAO r 2 r BE， 2 DH BE BE DH ， CBECDH， 1 2 CBBE CDDH 图4 H E D CB O A 海淀区 23如图，AB是O的直径，弦EFAB于点C，过点F作O的切线交AB的延长线于点D. （1）已知A，求D的大小（用含的式子表示）； （2）取BE的中点 M，连接MF，请补全图形；
4、若 30A，7MF，求O的半径 . O F E D C B A 23解：（1）连接OE，OF EFAB，AB是O的直径， DOFDOE 2DOEA，A， 2DOF1分 FD为O的切线， OFFD. 90OFD . +90DDOF . 902D2分 （2）图形如图所示. 连接OM. AB为O的直径， O为AB中点，90AEB M为BE的中点， OMAE， 1 = 2 OMAE. 3 分 30A， 30MOBA 260DOFA， 90MOF. 4分 222 +OMOFMF 设O的半径为r 90AEB，30A， cos303AEABr. O F E D C B A M O F E D C B A 3
5、 1 2 FD E C B A O 1 =3 2 OMr5分 =7FM， 222 1 (3 ) +( 7) 2 rr. 解得=2r （舍去负根） O的半径为 26分 丰台区 23如图，A，B，C三点在O上，直径BD平分ABC，过点D作DEAB交弦BC于点E，过点D作O的切线 交BC的延长线于点F （1）求证：EF ED； （2）如果半径为5，cosABC = 3 5 ，求DF的长 O A B C E D F 23 （1）证明：BD平分ABC， 1 2. DEAB， 2 3. 1 3. BC是O的切线，BDF90. 1+F90， 3+EDF90. FEDF. EF DE. . . 2分 （2）解
6、：连接CD. BD为O的直径，BCD90. DEAB，DEFABC. cosABC= 3 5 ，在 RtECD中，cosDEC= CE DE = 3 5 . 设CE=3x，则DE=5x . 由（ 1）可知，BE= EF=5x. BF=10x，CF=2x. 在 RtCFD中，由勾股定理得DF=2 5x 半径为5，BD10. BFDC= FDBD， 10410 2 5xxx，解得 5 2 x. DF =2 5x=5. . . 5分 （其他证法或解法相应给分. ） 石景山区 23如图，AB是O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交O于点C，连接BC， 过点 D作FDOC交O的切线EF
7、于点F （1）求证： 1 2 CBEF； （2）若O的半径是2 3，点D是OC中点，15CBE，求线段EF的长 F D E B O A C 23 （1）证明：连接OE交DF于点H， EF是O的切线，OE是O的半径， OEEF. 190F. FDOC， 3290. 12， 3F. 1分 1 3 2 CBE， 1 2 CBEF. 2分 H 3 2 1 F D E B O A C （2）解：15CBE， 3230FCBE. O的半径是23，点D是OC中点， 3OD. 在Rt ODH中，cos3 OD OH ， 2OH. 3分 232HE. 在Rt FEH中，tan EH F EF . 4分 362
8、3EFEH. 5分 朝阳区 23. 如图，在O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的 切线于点E （ 1）求证：AECE （ 2）若AE=，sin ADE= 3 1 ，求O半径的长 23. （1）证明：连接OA， OA是O的切线， OAE90o. 1 分 C，D分别为半径OB，弦AB的中点， CD为AOB的中位线 . CDOA E90o. AECE. 2 分 1 2 E C B A O D （2）解：连接OD， ODB90o. 3 分 AE=， sin ADE= 3 1 ， 在 RtAED中，23 sinADE AE AD. CDOA， 1ADE. 在 RtOAD中
9、， 3 1 1sin OA OD . 4 分 设ODx，则OA3x， 222 OAADOD， 2 2 2 323xx. 解得 2 3 1 x， 2 3 2 x（舍） . 2 9 3xOA. 5 分 即O的半径长为 2 9 . 燕山区 25如图，在ABC中,AB=AC,AE是BC边上的高线，BM平分ABC交AE于点M，经过B，M 两点的O交BC 于点G，交AB于点F ，FB为O的直径 （1）求证：AM是O的切线 （2）当BE=3，cosC= 5 2 时，求O的半径 25.解： (1)连结 OM. E O M G F A BC 3 2 1 OM G F A BC E F HBO D AP C BM
10、平分 ABC 1 = 2 又 OM=OB 2 = 3 OM BC 2 AE是 BC边上的高线 AE BC, AM OM AM是O的切线3 （2） AB=AC ABC = C AEBC, E是 BC中点EC=BE=3 cosC= 5 2 = AC EC AC= 2 5 EC= 2 15 4 OM BC， AOM = ABE AOM ABE AB AO BE OM 又 ABC = C AOM = C 在 RtAOM 中 cosAOM = cosC= 5 2 5 2 AO OM AO=OM 2 5 AB=OM 2 5 +OB=OM 2 7 而 AB= AC= 2 15 门头沟区 23. 如图，AB为
11、O直径，过O外的点D作DEOA于点E，射线DC切O于点C 、交AB的延长线于点P， 连接AC交 DE于点F，作CHAB于点H （1）求证：D=2A； （2）若HB=2，cosD= 3 5 ，请求出AC的长 E F HB O D AP C （1）证明：连接OC， 射线DC切O于点C，OCP=90 DEAP，DEP=90 P+D=90，P+COB=90 COB=D 1 分 OA=OC, A=OCA COB=A+OCA COB=2A D=2A 2 分 （2）解：由（ 1）可知：OCP=90，COP=D， cosCOP=cosD= 3 5 ，3 分 CHOP，CHO=90， 设O的半径为r，则OH=r
12、 2 在 RtCHO中， cosHOC= OH OC = 2r r = 3 5 ， r=5，4 分 OH=5 2=3， 由勾股定理可知：CH=4，AH=ABHB=102=8 在 RtAHC中，CHA=90，由勾股定理可知：AC=4 5 5 分 大兴区 23. 已知：如图，在OAB中，OAOB，O经过AB的中点C，与 OB交于点 D,且与 BO的延长线交于点 E，连接ECCD， （1）试判断AB与O的位置关系，并加以证明； AB C D E O （2）若 1 tan 2 E，O的半径为3，求OA的长 23. （1）AB与O的位置关系是相切1 分 证明：如图，连接OC OAOB ，C为AB的中点，
13、 OCAB AB是O的切线2 分 （2）ED是直径， 90ECD 90EODC 又90BCDOCD，OCDODC， BCDE 又 CBDEBC， BCDBEC BCBD BEBC 2 BCBD BE 3 分 1 tan 2 E， 1 2 CD EC BCDBEC， 1 2 BDCD BCEC 4 分 设BDx，则2BCx 又 2 BCBD BE， 2 (2 )(6)xx x 解得 1 0x， 2 2x 0BDx， 2BD 235OAOBBDOD5 分 平谷区 24如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连结BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连结 AE （1）求证：AEB=2C； （2
14、）若AB=6， 3 cos 5 B，求DE的长 D E O A C B 24（ 1）证明：AC是O的切线， BAC=901 点E是BC边的中点， AE=EC C=EAC， 2 AEB=C+EAC， AEB=2C3 （2）解：连结AD AB为直径作O， ABD=90 AB= 6 ， 3 cos 5 B， BD= 18 5 4 D E O A C B 在 RtABC中，AB=6， 3 cos 5 B， BC=10 点E是BC边的中点， BE=5 5 7 5 DE 6 怀柔区 23. 如图， AC是 O的直径，点B是 O内一点，且BA=BC ，连结 BO并延长线交O于点 D，过点 C作 O的切 线
15、CE ，且 BC平分 DBE. (1) 求证： BE=CE ； (2) 若 O的直径长8，sin BCE= 4 5 ，求 BE的长 . 23. (1) BA=BC ，AO=CO, BDAC. CE是 O的切线 , CEAC. CEBD. 1分 ECB= CBD. BC平分 DBE, CBE= CBD. ECB= CBE. BE=CE. 2分 (2) 解：作 EFBC于 F. 3分 O 的直径长8， F E D O A C B E D O A C B CO=4. sin CBD= sin BCE= 4 5 = OC BC . 4分 BC=5，OB=3. BE=CE, BF= 15 22 BC.
16、BOC= BFE=90 ， CBO= EBF, CBO EBF. BEBF BCOB . BE=25 6 . 5分 延庆区 23如图，AB是O的直径，D是O上一点，点E是弧AD的中点，过点A作O的切线交BD的延长线于 点F连接AE并延长交BF于点C （1）求证：ABBC； （2）如果AB=5， 1 tan 2 FAC，求FC的长 O F E D C B A 23证明：（ 1）连接BE AB是直径， AEB=90 CBE+ECB=90EBA+EAB=90 点E是AD的中点， CBE = EBA ECB = EAB1 分 AB=BC2 分 A B C D E F O （2）FA作O的切线， FAA
17、B FAC+EAB=90 EBA+EAB=90， FAC=EBA 1 tan 2 FACAB=5， 5AE2 5BE4 分 过C点作CHAF于点H， AB=BCAEB=90， AC=2AE=25 1 tan 2 FAC， CH=25 分 CHAB AB=BC=5， 2 55 FC FC FC= 3 10 6 分 顺义区 24如图，等腰ABC是O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D （1）求证：AD是O的切线； （2）若O的半径为 15，sin D 3 5 ，求AB的长 24 （1）证明：连接AO，并延长交O于点E，交BC于点F AB=AC， ABAC AEBC ADBC， H AB C D E F O D A O B C 1 E F D C O A B AEAD AD是O的切线 2分 （2）解法 1：ADBC，D=1 sin D= 3 5 ， sin 1= 3 5 AEBC， OF OB = 3 5 O的半径OB=15， OF=9，BF=12 AF=24 AB=125 5分 3 解法 2：过B作BHDA交DA延长线于H AEAD ，sin D= 3 5 ， OA OD = 3 5 O的半径OA=15， OD=25，AD=20 BD=40 BH=24，DH=32 AH=12 AB=125 5分 H E F D C O A B