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1、圆中的分类讨论 由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导 致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可 能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在 直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求 解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。 一、点与圆的位置关系不唯一性 例 1.若所在 O所在平面内一点 P到O上的点的最大距离为a， 最小距离为 b（ab），则此圆的半径为（）。 （A）（B）（C）或（D）a+b 或 ab 分析： P 可能在圆内，也可能在圆外。 图 11 图 12 P在圆内时。如图11。 连接 O、P所在的直线交 O 于
2、 A、B。 则 PA=a，PB=b 直径 AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB= （a+b） P在圆外时。如图12。 此时直径 AB=PA PB=ab，半径 OA=OB=AB=（ab） 由可知，应选（ C）。 二、弦与弦的位置关系不唯一性 例 2.O 的半径为 5cm，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 与 CD 之间的距离是（）。 （A）7cm （B）8cm （C）7cm 或 1cm （D1cm 分析：弦 AB 与 CD 可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。 图 21 图 22 弦 AB 与 CD 在圆心的同侧。如图21。 过 O 作弦 AB 的垂线，交 AB 于
3、 M，交 CD 于 N。连接 OB，OD。 ABCD，OMAB，ONCD 由垂径定理， BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又 OB=OD=5cm 在 RtBMO 中，OM=4cm，同理 ON=3cm MN= OM ON=43=1 cm 弦 AB 与 CD 在圆心的异侧。如图22。 此时， MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（ C）。 例 3如图，已知 AB 是O 的直径， AC 是O 的弦，AB=2， AC=，在图中画出弦 AD，使 AD 等于 1，并求出 CAD 的度数。 分析：弦 AC 与弦 AD 可能在直径 AB 的同侧，可能在直径 AB 的 异侧。 弦 AC 与弦 AD 在直
4、径 AB 的同侧。如图 31。 连 OC、OD。由 OC=OD=AB=1，AC= OC +OD =ACAOC=90， CAO=ACO=45 又 OA=OD=AD ， DAO=60 DAC=DAOCAO=15 弦 AC 与弦 AD 在直径 AB 的异侧。 此时， DAC= DAO+CAO=115 三、点在直径上的位置不唯一性 例 4已知 O 的直径 AB=10cm，弦 CDAB 于点于点 M。若 OM：OA=3：5，则弦 AC 的长为多少？ 分析：垂足 M 可能在半径 OA 上，也可能在半径OB 上。 M 在半径 OA 上。如图 41。 连接 OC。OC=OA=AB=5cm，又 OM：OA=3：5，OM=3cm