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1、中档题型专训 ( 五) 圆的有关计算、证明与探究 圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考 查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要 注意已知条件之间的相互联系 与圆的有关性质 【例 1】如图，已知OA ，OB是O 的两条半径， C， D为 OA ，OB上的两点，且AC BD.求证： AD BC. 【解析】首先证明OC OD ，再证明 OCB ODA ，进而得到AD BC. 【答案】证明： OA ， OB是O 的两条半径， AO BO. AC BD ， OC OD ， 在ODA和OC
2、B中， AO BO ， OO ， OD OC ， ODA OCB(SAS) ， AD BC. 1( 2017 玉林一模 ) 如图， AB是半圆 O上的直径， E 是BC 的中点， OE交弦 BC于点 D，过点 C作O 的切线交 OE的延长线于点F，已知 BC 8，DE 2. (1) 求O 的半径； ( 2) 求 CF的长 解： (1) 设O 的半径为x， E点是 BC 的中点， O点是圆心， OD BC ，DC 1 2BC 4， 在RtODC 中， OD x2， OD 2DC2OC2， (x 2) 242x2， x 5，即 O的半径为5； (2) FC 是O 的切线， OC CF. 又E 是B
3、C 的中点 OD BC ， OC 2OD OF ，即 523OF ， OF 25 3 . 在RtOCF中， OC 2CF2OF2， CF20 3 . 圆的切线的性质与判定 【例 2】( 2017 遵义二中一模) 如图， AB 是O 的直径， BC为O 的切线， D 为O上的一点， CD CB ，延长 CD交 BA的延长线于点E. (1) 求证： CD为O 的切线； (2) 若 BD的弦心距OF 1， ABD 30，求图中阴影部分的面积( 结果保留 ) 【解析】 (1) 证ODC ABC 90； (2) 在RtOBF中， ABD 30， OF 1，可求得BD的长， BOD的度 数，又由S阴影 S
4、扇形 OBDSBOD，即可求解 【 答案】解： (1) 连接 OD ， BC是O 的切线， ABC 90. CD CB ， CBD CDB. OB OD ， OBD ODB ， ODC ABC 90，即 ODCD. 点 D在O 上， CD为O 的切线； (2) 在RtOBF中， ABD 30， OF 1， BOF 60， OB 2，BF3. OF BD ， BD 2BF23， BOD 2BOF 120. S阴影S扇形 OBDS BOD 1202 2 360 1 22 31 4 3 3. 2( 2017 南宁中考 ) 如图， AB是O 的直径，弦CD AB ，垂足为H，连接AC ，过 BD 上一
5、点 E 作 EG AC 交 CD 的延长线于点G ，连接 AE交 CD于点 F，且 EG FG ，连接 CE. (1) 求证： ECF GCE ； (2) 求证： EG是O 的切线； (3) 延长 AB交 GE的延长线于点 M ，若tanG 3 4，AH 3 3，求 EM的值 解：(1) AC EG ， G ACG. AB CD ， AD AC ， CEF ACD ， G CEF. ECF ECG ， ECF GCE ； (2) 连接 OE. GF GE ， GFE GEF AFH. OA OE ， OAE OEA. AFH FAH 90， GEF AEO 90， GEO 90， GE OE.
6、 又OE为O 半径， EG是O 的切线， (3) 连接 OC.设O 的半径为r. 在RtAHC中，tan ACH tanGAH HC 3 4， AH 33， HC 43， 在RtHOC 中， OC r ，OH r 33，HC 43， (r 33) 2(4 3) 2r2， r 253 6 . GM AC ， CAH M. OEM AHC ， AHC MEO ， AH EM HC OE ， 33 EM 43 253 6 ， EM 25 3 8 . 圆与相似及三角函数综合 【例 3】( 2017 无锡中考 ) 如图，以原点O为圆心， 3 为半径的圆与x 轴分别交于A， B两点 ( 点 B 在点 A
7、的右边 ) ，P是半径 OB上一点，过P且垂直于AB的直线与O分别交于C，D两点 ( 点 C在 点 D的上方 ) ，直线 AC，DB交于点 E.若 AC CE 12. (1) 求点 P的坐标； (2) 求过点 A和点 E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数解析式 【解析】 (1) 如图，作EF y轴于 F，DC的延长线交EF于 H.设 C(m ，n) ，则 P(m，0) ，PAm 3，PB 3m. 首先证明 ACP ECH ，推出 AC CE PC CH AP HE 1 2，推出 CH 2n，EH2m 6，再证明 DPB DHE ，推出 PB EH DP DH n 4n 1 4，可得 3 m 2
8、m 6 1 4，求出 m即可解决问题； (2) 由题意设抛物线的解析式为ya(x 3)(x 5) ，求出 E 点坐标代 入即可解决问题 【答案】解：(1) 如图，作EF y轴于 F，DC的延长线交EF于 H.设 C(m，n)，则 P(m ，0) ，PA m 3，PB3 m. EH AP ， ACP ECH ， AC CE PC CH AP HE 1 2， CH 2n，EH2m 6， CD AB ， PC PD n， PB HE ， DPB DHE ， PB EH DP DH n 4n 1 4， 3m 2m 6 1 4， m 1， P(1，0)； (2) 由 (1) 可知， PA 4，HE 8，
9、EF 9， 连接 OC ，在RtOCP中， PC OC 2 OP22 2， CH 2PC 42，PH 62， E(9，62) ，抛物线的对称轴为直线CD ， ( 3，0) 和 (5，0) 在抛物线上，设抛物线的解析式为ya(x 3)(x 5)， 把 E(9，62) 代入得到 a 2 8 ， 抛物线的解析式为y 2 8 (x 3)(x 5)， 即 y 2 8 x 2 2 4 x 152 8 . 3( 2017 呼和浩特 中考 ) 如图，点A，B，C，D 是直径为AB的O 上的四个点， C 是劣弧 BD 的中点， AC与 BD 交于点 E. (1) 求证： DC 2CE AC ； (2) 若 AE
10、 2，EC 1，求证： AOD是正三角形； (3) 在 (2) 的条件下，过点C作O 的切线，交AB的延长线于点H，求 ACH的面积 解：(1) C 是劣弧 BD 的中点， DAC CDB ， ACD DCE ， ACD DCE ， AC DC CD CE ， DC 2CE AC ； (2) 连接 OC ，OD ， AE 2，EC 1， AC 3， DC 2CE AC 13 3， DC 3. C是劣弧 BD 的中点， OC平分 DOB ， BC DC 3. AB是O 的直径， ACB90， AB AC 2BC22 3， OB OC OD DC BC 3， OCD ， OBC 是正三角形， CO
11、D BOC OBC 60， AOD 180260 60. 又OA OD ， AOD 是正三角形； (3) CH是O 的切线， OC CH. COH 60， H30， BAC 90 60 30， HBAC ， AC CH 3， OH CH 2OC22 3， AH 33， AH上的高为BC sin60 3 2， ACH的面积 1 23 3 3 2 93 4 . 4( 2017 云南中考 ) 已知 AB是O 的直径， PB是O 的切线， C 是 O 上的点， AC OP ， M是直径AB上的动 点， A与直线 CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线 CM上的点连线距离的最小值为f. (1) 求证：
12、 PC是O 的切线； (2) 设 OP 3 2AC ，求 CPO的正弦值； (3) 设 AC 9，AB 15，求 d f 的取值范围 解： (1) 连接 OC ， OA OC ， AOCA ， AC OP ， ABOP ， ACO COP ， COP BOP. PB是O 的切线， AB是O 的直径， OBP 90. 在POC与P OB中， OC OB ， COP BOP ， OP OP ， COP BOP ， OCP OBP 90. 又OC为O 的半径， PC是O 的切线； (2) 过 O作 OD AC于 D， ODC OCP 90， CD 1 2AC ， DCO COP ， ODC PCO ， CD OC OC PO ， CD OP OC 2. OP 3 2AC ， AC 2 3OP ， CD 1 3OP ， 1 3OP OP OC 2， OC OP 3 3 ， sinCPO OC OP 3 3 ； (3) 连接 BC ， AB是O 的直径， AC BC ， AC 9，AB 15， BC AB 2AC212， 当 M与 A重合时， d 0，f BC 12， d f12，当 M与 B重合时， d 9，f 0， d f9， df 的取值范围是： 9df 12.