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1、圆锥曲线的综合问题 1已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率e 3 3 ，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y 24x 的焦点重 合 (1) 求椭圆的标准方程； (2) 若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，求 |AC| |BD| 的最小 值 解(1) 抛物线y 24x 的焦点坐标为 (1,0) ，所以c1， 又因为ec a 1 a 3 3 ，所以a3， 所以b 22， 所以椭圆的标准方程为 x 2 3 y 2 2 1. (2) 当直线BD的斜率k存在且k0 时， 直线BD的方程为yk(x1)， 代入椭圆方程 x 2 3 y
2、 2 2 1， 并化简得 (3k 22) x 26k2x3k260. 36k 44(3 k 2 2)(3 k 26) 48( k 21)0 恒成立 设B(x1，y1) ，D(x2，y2) ， 则x1x2 6k 2 3k 2 2，x1x23k 26 3k 22， |BD| 1k 2| x1x2| ()1k 2 x1x2 24x 1x2 43()k 21 3k 22. 由题意知AC的斜率为 1 k， 所以 |AC| 43 1 k 2 1 3 1 k 2 2 43() k 21 2k 23. |AC| |BD| 43() k 211 3k 22 1 2k 23 203()k 21 2 () 3k 2
3、2 () 2k 23 203()k 21 2 () 3k 22 () 2k 23 2 2 203()k 21 2 k 22 4 163 5 . 当且仅当3k 22 2k23，即 k1 时，上式取等号， 故|AC| |BD| 的最小值为 163 5 . 当直线BD的斜率不存在或等于零时， 可得 |AC| |BD| 10 3 3 16 3 5 . 综上， |AC| |BD| 的最小值为 163 5 . 5已知椭圆C： x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的上顶点为点D， 右焦点为F2(1,0) ，延长DF2交椭圆C于点E，且满足 |DF2| 3|F2E|. (1) 求椭圆C的标准方程； (2)
4、 过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分 别与直线x3 交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是， 求出该定值；若不是，请说明理由 解(1) 椭圆C的上顶点为D(0 ，b) ，右焦点F2(1,0) ，点E的坐标为 (x，y) |DF2| 3|F2E| ，可得DF2 3F2E ， 又DF2 (1，b) ，F2E (x1，y) ， x 4 3， y b 3， 代入 x 2 a 2 y 2 b 21， 可得 4 3 2 a 2 b 3 2 b 21， 又a 2 b 21，解得 a 22， b
5、 21， 即椭圆C的标准方程为 x 2 2 y 2 1. yM y1()32 x12 . 同理可得yN y2()32 x22 ， M，N的坐标分别为3， y1()32 x12 ， 3，y 2()32 x22 ， k1k2 yM 0 31 y N0 31 1 4y MyN 1 4 y1()32 x12 y2()32 x22 错误 ! 错误 ! 1162 m 22 4 m 2 m 2 2 2()12m 2 m 22322 1162 m 22 4 642 m 22 429 8 . k1与k2之积为定值，且该定值是 429 8 . 6已知平面上动点P到点F() 3，0 的距离 与到直线x 43 3 的
6、距离之比为 3 2 ，记动点P的轨迹为曲线E. (1) 求曲线E的方程； (2) 设M(m，n) 是曲线E上的动点，直线l的方程为mxny1. 设直线l与圆x 2y21 交于不同两点 C，D，求 |CD| 的取值范围； 求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程，并探究：若M(m，n) 是曲线 ：Ax 2 By 21( AB0)上的动 点，是否存在与直线l：mxny1 恒相切的定曲线 ？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在， 说明理由 解(1) 设P(x，y) ，由题意，得 ()x3 2y2 x 43 3 3 2 . 整理，得 x 2 4 y 21， 曲线E的方程为 x 2 4 y 2 1. (2)
7、圆心到直线l的距离d 1 m 2 n 2， 直线与圆有两个不同交点C，D， |CD| 24 1 1 m 2 n 2. 又 m 2 4 n 2 1( m0)， |CD| 24 1 4 3m 2 4. |m| 2， 0m 24， 01 4 3m 24 3 4. |CD| 2(0， 3 ，| CD| (0，3 ， 即|CD| 的取值范围为(0，3. 当m0，n1 时，直线l的方程为y1； 当m 2，n0 时，直线l的方程为x 1 2. 根据椭圆对称性，猜想E的方程为4x 2 y 21. 下面证明：直线mxny1(n0)与 4x 2 y 2 1 相切， 其中 m 2 4 n 21，即 m 24n24.
8、 由 4x 2 y 21， y 1mx n ， 消去y得 (m 24n2) x 22mx 1n 2 0， 即 4x 22mx 1n 20， 4m 216( )1n 2 4()m 24n24 0 恒成立，从而直线 mxny1 与椭圆E： 4x 2 y 21 恒相切 若点M()m，n是曲线 ：Ax 2By2 1( )AB0 上的动点，则直线l：mxny1 与定曲线： x 2 A y 2 B 1()AB0 恒相切 7. 已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0) 的左、 右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0) ，点B1， 3 2 在椭圆C上 (1) 求椭圆C的方程； ( 2)
9、 若直线l：yk(x4)(k0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G， 证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程 解析： (1) 由F2(1,0) ，知c1，由题意得 a 21 b 2， 1 a 2 9 4 b 21， 所以a2，b3，所以椭圆C的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2) 因为yk(x4)，所以直线l过定点 (4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线xx0上 当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0 ，3) ， 所以直线l的斜率k 3 4 ，由 y 3 4 x， x 2 4 y 2 3 1， 得 x0， y3 或 x 8 5， y 33 5 ， 所以
10、N 8 5， 33 5 ， 由(1 ) 知A1( 2,0) ，A2(2,0) ， 所以直线lA1M的方程为y 3 2 (x2) ，直线lA2N的方程为y 33 2 (x 2)，所以G1， 33 2 ，所以G在 直线x1上 当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1) ，N(x2，y2) ，由 ykx， x 2 4 y 2 3 1， 得(3 4k 2) x 232k2x64k2120， 所以 ( 32k 2)24(3 4k2) (64 k 212) 0，得 1 2 k1 2， x1x2 32k 2 34k 2，x1x2 64k 2 12 34k 2， 易得直线lA1M的方程为y y1 x12
11、( x2) ，直线lA2N的方程为y y2 x22( x2)，当x1 时， 3y1 x12 y2 x22 得 2x1x25(x1x2) 80， 所以 k 2 34k 2 532k 2 34k 2 4k 2 34k 20 显然成立，所以G在直线x1 上 8已知平面直角坐标系内两定点A( 22，0)，B(22，0) 及动点C(x，y)，ABC的两边AC，BC所在直 线的斜率之积为 3 4. (1) 求动点C的轨迹E的方程； (2) 设P是y轴上的一点，若(1) 中轨迹E上存在两点M，N使得MP 2PN ，求以AP为 直径的圆的面积的取值 范围 解析： (1) 由已知，kACkBC 3 4，即 y
12、x22 y x 22 3 4， 所以 3x 2 4y224，又三点构成三角形，所以 y0， 所以点C的轨迹E的方程为 x 2 8 y 2 6 1(y0) (2) 设点P的坐标为 (0 ，t) 当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t 6 3 . 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxt(k0)， M(x1，y1) ，N(x2，y2) ， 则由MP 2PN 得x1 2x2. 联立得 ykxt， x 2 8 y 2 6 1， 得(3 4k 2) x 28ktx 4t 2240， 当 0 得 64k 2t24(3 4k2)(4 t 2 24)0，整理得 t 28k26. 所以x1x2 8kt 34k 2，x1x2 4t 224 34k 2，