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1、1 对椭圆、双曲线“第三”定义的探究 摘 要： 本文对数学教材：选修2-1 第二章第41 页例 3 以及第 55 页的探究结果发现：1、椭 圆和双曲线都可以用动点与两定点连线的斜率积为定值来统一定义，若积为负数是椭圆，积 为正值是双曲线；2、定值绝对值大小对椭圆或者双曲线的作用；3、定值与离心率的关系式。 关键词：椭圆双曲线定义斜率积 1 探究原型 新课标选修 2-1第二章第 2.2节（第 41页）例 3（以下称例 3） ：如图 1，设点 A，B坐标分别为 （-5，0） ， （5， 0）.直线 AM，BM相交于点 M，且它们的斜率之积是 9 4 ，求点 M的轨迹方程 . 新课标选修 2-1的第
2、二章第 2.3节（第 55页）探究（以下称探究）：如图 2所示，设点 A，B 的坐标分别为（-5，0） ， （5， 0）.直线 AM， BM相交于点 M，且它们的斜率之积是 9 4 ，求点 M 的轨迹方程，并由点M的轨迹方程数数轨迹的形状，与2.2节例 3比较，你有什么发现？ 从例 3的结果的方程的形式上来判断点M的轨迹应该为焦点在x轴椭圆（除去两定点即两顶 点） 。探究的结果是：点M的轨迹方程为：)5(1 9 100 25 22 x yx ,从方程的形式上来判断点M 的轨迹应该为焦点在x轴上的双曲线（除两顶点）。 比较例 3与探究发现一个动点与两个定点连线的斜率之积（以下称斜率积）为定值时，
3、曲 线是椭圆或双曲线，当斜率积为一个负分数（说明：斜率积为-1时轨迹为圆）时是椭圆，当斜 率积为一个正数时为双曲线。那么这两个定点对轨迹是如何影响轨迹方程的？斜率积的绝对 值的大小又是如何影响轨迹方程的？带着这样的疑问，我就从一般方程进行了一系列的探索。 A M 图 1 x y B O x 图 2 y A M B O 2 2对椭圆探究 2.1 椭圆中的斜率积为定值的证明 2.1.1 已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 长轴两顶点分别为)0,( aA、)0,(aB. 椭圆上不同于 )0,( aA、)0 ,(aB的任一动点),( 00 yxP求证： PBPA kk为一个定值 .
4、 证明：因为点),( 00 yxP在椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 上， 所以有：1 2 2 0 2 2 0 b y a x ，则 2 2 0 22 2 0 )( a xab y. 所以： 2 2 22 0 2 2 0 22 22 0 2 0 0 0 0 0 )( a b ax a xab ax y ax y ax y kk PBPA （定值） 2.1 2 已知椭圆：)0(1 2 2 2 2 ba a y b x 长轴两顶点为),0(aA、),0(aB. 椭圆上不同于 ),0(aA、),0(aB的任一动点),( 00 yxP求证： PBPA kk为一个定值 . 证明：因为点
5、),( 00 yxP在椭圆)0(1 2 2 2 2 ba a y b x 上 所以有：1 2 2 0 2 2 0 a y b x ，则 2 2 0 22 2 0 )( a yab x. 所以： 2 2 2 2 0 22 2 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 )(b a a yab ay x ay x ay x ay kk PBPA （定值） 好奇于例 3和探究中的曲线中的两个定点恰是长轴的顶点，如果把例 3中的两个定点改为 短轴上的两个顶点，是否也出现定值？探究证明如下： 2.1.3 已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 短轴两顶点分别为),0(bA、),0(bB.
6、 椭圆上不同于 ),0(bA、),0(bB的一动点),( 00 yxP，求证： PBPA kk为一个定值 . 3 证明：因为点),( 00 yxP在椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 上， 所以有：1 2 2 0 2 2 0 b y a x ，则 2 2 0 22 2 0 )( b yba x. 所以： 2 2 2 2 0 22 2 2 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 )(a b b yba by x by x by x by kk PBPA （定值） 从证明结果来看，斜率积也是一个定值，且与长轴上两顶点的斜率积一样。同理，也可 以证明对椭圆：)0( 1 2 2 2 2
7、 ba a y b x 短轴两顶点为)0 ,( bA、)0,(bB. 椭圆上不同于 )0,( bA、)0 ,(bB的任一动点),( 00 yxP，则 PBPA kk为定值 2 2 b a . 综上可知：不管椭圆的焦点在x轴上还是在 y轴上，不管两定点是长轴顶点还是短轴两顶 点，斜率积都是一个定值，虽表达式不同，但都是负的 2 y的分母除以 2 x的分母。可统一表述 为：即对于椭圆1 2 2 2 2 n y m x 上任一点到两顶点（同一轴上的）连线的斜率积为定值： 2 2 m n 2.2 如何判断焦点所在的轴 想从已知条件中判断出结果椭圆的焦点应在哪个坐标轴上，对例3 做了以下三个变式。 变式
8、一：设点 A，B的坐标分别为（0，-5） ， （0，5）.直线 AM，BM相交于点 M，且它们的 斜率之积是 9 4 ，求点 M的轨迹方程 结果是：)0(1 25 4 225 22 x yx ，显然该椭圆的焦点也是在x轴上。 变式二：设点 A，B的坐标分别为（-5， 0） ， （5，0）.直线 AM，BM相交于点 M，且它们的 斜率之积是 4 9 ，求点 M的轨迹方程 . 结果是：)5(1 4 225 25 22 x yx ，显然该椭圆的焦点是在y 轴上。 4 变式三：设点 A，B的坐标分别为（0，-5） ， （0，5）.直线 AM，BM相交于点 M，且它们的 斜率之积是 4 9 ，求点 M的
9、轨迹方程 . 结果是：)0(1 25 9 100 22 x yx ，显然该椭圆的焦点也是在y轴上。 从以上变式看出：椭圆的焦点并不是所给的定点所在的轴，而是由定值的绝对值的大小 而定的， 当积的绝对值小于1时，椭圆焦点在 x轴上；当积的绝对值大于1时，椭圆焦点在 y轴上。 3对双曲线的探究 3.1 双曲线中斜率积为定值的证明 3.1.1 已知双曲线：1 2 2 2 2 b y a x 两顶点分别为)0 ,( aA、)0 ,(aB，双曲线上不同于)0,( aA、 )0,(aB上一动点),( 00 yxP，求证： PBPA kk为一定值 . 证明：因为点),( 00 yxP在双曲线1 2 2 2
10、2 b y a x 上， 得：1 2 2 0 2 2 0 b y a x ， 则 2 2 2 0 2 2 0 )( a axb y. 所以： 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0 0 0 0 )( a b ax a axb ax y ax y ax y kk PBPA （定值） 3.1.3 已知双曲线：1 2 2 2 2 b y a x 上一动点),( 00 yxP，且两定点为),0(bA、),0(bB. 求证： PBPA kk不是定值 . 证明：因为点),( 00 yxP在双曲线：1 2 2 2 2 b y a x 上， 得1 2 2 0 2 2 0 b y a x
11、 ， 即 2 22 0 2 2 0 )( b bya x. 所以 2 0 2 2 0 0 0 0 0 x by x by x by kk PBPA )()( 22 0 22 0 2 2 2 22 0 2 22 0 by by a b b bya by （非定值） . 3.1.2 已知双曲线：1 2 2 2 2 b x a y 上一动点),( 00 yxP，两顶点分别为),0(aA、),0(aB. 求证： PBPA kk是一个定值 . 5 证明：因为点),( 00 yxP在双曲线1 2 2 2 2 b x a y 上， 得：1 2 2 0 2 2 0 b x a y ， 2 2 2 0 2 2
12、0 )( a ayb x. 所以： 2 2 2 22 0 2 22 0 2 0 22 0 0 0 0 0 )(b a a ayb ay x ay x ay x ay kk PBPA （定值） 结论：双曲线中两定点为实轴两顶点，斜率积公式因焦点不同而不同，但也可统一为： 正的 2 y的分母除以 2 x的分母。 32 斜率积绝对值的大小对双曲线的影响规律 椭圆中斜率积的绝对值小于1时焦点在 x轴上，大于 1焦点在 y轴上，而双曲线中定点决定 了焦点所在的轴，那么斜率积的绝对值又影响如何？探究如下： 设点 A，B的坐标分别为（-5，0） ， （5， 0）.直线 AM，BM相交于点 M，且它们的斜率之
13、积 是 9 4 ，求点 M的轨迹方程 . 结果：)5( 1 9 100 25 22 x yx ，显然该双曲线的焦点在x轴上，较扁狭。 设点 A，B的坐标分别为（-5，0） ， （5， 0）.直线 AM，BM相交于点 M，且它们的斜率之积 是 4 9 ，求点 M的轨迹方程 . 结果：)5(1 4 225 25 22 x yx ，显然该双曲线的焦点在x 轴上，较开阔。 设点 A，B的坐标分别为（0， -5） ， （0， 5）.直线 AM，BM相交于点 M，且它们的斜率之积 是 9 4 ，求点 M的轨迹方程 . 结果：)0(1 4 225 25 22 x xy ，显然该双曲线的焦点在y 轴上，较开阔
14、。 设点 A，B的坐标分别为（0， -5） ， （0， 5）.直线 AM，BM相交于点 M，且它们的斜率之积 是 4 9 ，求点 M的轨迹方程 . 6 结果：)0(1 9 100 25 22 x xy ，显然该椭圆的焦点是在y 轴上，较扁狭。 可见：当两定点在x 轴上，可知 2 x的分母，当两定点在y 轴上，可知 2 y的分母。斜率积 的绝对值大小只影响了 2 b大小。进而影响了双曲线的开阔程度，也就是当绝对值等于1 时为 等轴双曲线（证明略） ，当焦点在x 轴时，绝对值小于1 比较扁狭，大于1 比较开阔些；当焦 点在 y 轴上时，绝对值小于1 比较开阔，大于1 比较扁狭些。 4 椭圆、双曲线
15、“第三”定义的归纳与内在统一性探究及解释 4.1 椭圆、双曲线的“第三”定义 根据以上椭圆、双曲线有共同的描述，本文大胆归纳出椭圆、双曲线的“第三”定义： 平面坐标系内一动点到两个定点的连线的斜率之积为不等于0和 -1 的常数的轨迹为椭圆 或者是双曲线。当斜率积为负分数时为椭圆、当斜率积为正数时为双曲线。特殊地，当斜率 积为 1时是等轴双曲线。 4.2 斜率积与离心率的关系探究及其对曲线影响的解释 4.2 斜率积与离心率的关系探究 从方程上推导出斜率积为 2 y的分母除以 2 x的分母。 要解释其对椭圆所在的轴或对双曲线 的开阔与扁狭的影响，则需讨论其本质几何要素的关系，而椭圆与双曲线中最本质
16、的几何要 素为离心率，对于椭圆， 2 2 1 a b a c e，当焦点在x 轴上时斜率积为：1 2 2 2 e a b ，因 10e得：11 2 e；当焦点在y 轴上时斜率积为： 1 1 22 2 eb a ，且1 1 1 2 e 。这 一结论可以反过来说明：当斜率积的绝对值小于1 为焦点在x 轴上的椭圆，当斜率积的绝 对值大于1 为焦点在y 轴上的椭圆。对于双曲线， 2 2 1 a b a c e，当焦点在x 轴上时 1 2 2 2 e a b ，当焦点在y 轴上时， 1 1 22 2 eb a 。因此当椭圆或双曲线的焦点在x 轴上斜率积 1 2 e，当焦点在y 轴上时，斜率积 1 1 2
17、 e 。 7 4.3 斜率积对椭圆位置、双曲线形状影响的解释 斜率积绝对值小于1 或大于1 对椭圆、双曲线影响可从斜率的几何意义上来解释：斜率 绝对值越大上下越陡，绝对值越小上下越平，考虑到椭圆与圆也有一定相似之处，斜率积等 于-1 时为圆（证明略） ，斜率积为负分数时为椭圆，这个负分数的绝对值小于1 时的椭圆为上 下短型（圆上下压了） ，故焦点在x 轴上，大于1 时的椭圆为上下长型（圆上下拉了），故焦点 在 y 轴上；斜率积等于1 时为等轴双曲线，焦点在 x 轴上且斜率积小于1 的双曲线为上下短型 （由斜率积11 2 e得：21e，等轴双曲线上下压了），故较扁狭，斜率积大于1 的双曲线为上下
18、长型（由斜率积11 2 e得：2e，等轴双曲线上下拉了） ，故较开阔； 焦点在 y 轴上时且斜率积小于1 的双曲线为上下短型（由斜率积1 1 1 2 e 得： 2e ， 等轴双曲线左右拉了） ， 故越开阔，斜率积大于1 时的双曲线为上下长型，由斜率积1 1 1 2 e 得：21e，等轴双曲线左右压了）故越扁狭。这与离心率越大越开阔的规律是一致的。 4.3 对椭圆位置、双曲线“第三”定义的补充说明 考虑到等轴双曲线 x y 1 （其对称轴与坐标轴不重合，也不平行，相当于是坐标轴旋转 45而得到的）上任一点到两个顶点（1，1）、（-1 ，-1）的连线斜率积不是定值（篇幅有限， 不再详述） 。这是怎
19、么回事呢？原来例3以及探究中所给定点都是坐标轴上关于原点对称的点， 而本文中证明也是以标准方程为基础进行证明的，后经进一步探索得出：“第三”定义适用 于标准型或者是平移型的椭圆、双曲线，对于旋转型则不适用。 5椭圆、双曲线“第三”定义的应用 椭圆、双曲线“第三”定义的应用主要体现在以下四个方面：1、已知方程求斜率积 （定值）； 2、已知定值，求方程；3、已知离心率求斜率积（定值）；4、已知斜率积求离心 率。由于篇幅所限，不再辍述。 参考文献： 1.黄志鲲，关于“椭圆、双曲线的第三定义”一文的讨论. 中学数学研究.2002(12) 2.马跃进，康一宇，伴生椭圆、双曲线的有趣性质. 中学数学研究 .2011(7) 3.王明飞， 与椭圆、 双曲线的离心率有关的一些结论及其应用举例. 数学教学通讯 .2006(11) 8 4.罗文军，有关黄金双曲线和黄金椭圆的几个性质. 数学通讯 .2011(7)