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1、1 导数题型归纳总结 第四讲函数与导数性质的综合运用 1.（综合运用 ） 已知函数( )() x f xxexR 求函数( )f x的单调区间和极值； 已知函数 ( )yg x 的图象与函数 ( )yf x 的图象关于直线1x对称，证明当1x时， ( )( )f xg x 如果 12 xx ，且12 ()()f xf x ，证明12 2xx 解：本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思 想分析解决问题的能力. ( )(1) x fxx e，令( )fx=0, 得1x. 当x变化时， ( )fx ， ( )f x 的变化情况如下表 x(,1) 1
2、 (1,) ( )fx+ 0 - ( )f x极大值 ( )fx 在( ,1) 内是增函数，在 (1,) 内是减函数；极大值 1 (1)f e . 证明：由题意可知g(x)=f(2 x)，g(x)=(2 x) 2x e . 令F(x)=f(x) g(x) 2 (2) xx xexe，则 22 ( )(1)(1) xx Fxxee 当1x时， 2x20, 从而 22 10, x e 0,( )0 x eF x又所以, 从而( )F x在1,+ ) 是增函数。 又F(1)= 11 01eex所以时有，F(x)F(1)=0, 即f(x)g(x). 证明：若 12 (1)(1)0,xx 12 ()()
3、,f xf x由及1x xx x则 与 矛盾 若 12121212 (1)(1)0,()(),.xxfxf xxxxx由及得与矛盾 根据得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx不妨设 由可知， 2 ()f x 2 ()g x , 则2 ()g x =2 (2)fx ，所以2 ()f x 2 (2)fx , 从而 1()f x2(2)fx. 因为21x，所以221x， 又由可知函数( )fx在区间（，1）内是增函数，所以 1 x 2 2x , 即12 xx 2. 2. （2010天津理数 21，综合运用 ） 2 已知函数 1 1 ( )( x x f xx e R). 求函数( )f x的
4、单调区间和极值； 已知函数( )yg x对任意 x满足( )(4)g xfx ，证明：当2x时，( )( );f xg x 如果 12 xx ，且 12 ()()f xf x ，证明： 12 4.xx 解：( )f x = 1 1 x x e ，( )fx = 1 2 x x e . (2 分) 令( )f x=0，解得2x. x(,2)2 (2,) ( )fx0 ( )f x极大值 e 1 ( )f x在(,2)内是增函数，在(2,)内是减函数 . (3 分) 当2x时，( )f x取得极大值(2)f= e 1 . (4分) 证明：. 3 )(),4()( 3 x e x xgxfxg 13
5、 13 ( )( )( ) xx xx F xf xg x ee 令 , 则 ( )Fx= 321 132 22(2)() x xxx xxx ee eee . (6 分) 当2x时，2x0，21x3，从而 321x ee 0， ( )Fx 0， ( )F x 在(2, )是增函数 . (7 分) 11 ( )(2)0,2( )( ).F xFxf xg x ee 故当时,成立(8 分) 证明：( )f x在(,2)内是增函数，在(2,)内是减函数 . 当 12 xx ，且12 ()()f xf x ，1 x 、2 x 不可能在同一单调区间内. 不妨设 12 2xx ，由可知22 ()()f
6、xg x ， 又 22 ()(4)g xfx ，22 ()(4)f xfx . 12 ()()f xf x ，12 ()(4)f xfx . 221 2,42,2xxx，且( )fx在区间(,2)内为增函数， 12 4,xx ，即12 4.xx (12 分) 3.已知函数( )ln(1),( )1 x f xxg xe， （）若( )( )F xf xpx，求( )F x的单调区间； （）对于任意的 21 0xx，比较 21 ()()f xf x与 21 ()g xx的大小，并说明理由 解： （）( )( )ln(1)F xfxpxxpx， 11 ( ) 11 pxp Fxp xx ， -1分
7、 3 当0p时，( )0Fx在( 1,)上恒成立，( )F x的递增区间为( 1,)；-2分 当0p时，( )F x的递增区间为( 1,)；-3分 当0p时，( )F x的递增区间为 1 ( 1, 1) p ，递减区间为 1 ( 1,) p ；-4分 （）令( )( )( )1ln(1)(1) x G xg xfxexx， 11 ( ) 11 xx xe xe Gxe xx ， 令( )1(1) xx H xe xex，( )(2)0 x Hxex在( 1,)上恒成立， 当0x时，( )(0)0H xH成立，( )0Gx在0x上恒成立， ( )G x在(0,)上单调递增，当0x时，( )(0)
8、0G xG恒成立， 当0x时，( )( )0g xf x恒成立， 对于任意的 21 0xx时， 2121 ()()g xxf xx， 又 2121 21 11 1() 10 11 xx xx xx xx ， 2 2121 1 1 ln(1)lnln(1)ln(1) 1 x xxxx x ， 2121 ()()()fxxf xf x，即 21 ()g xx 21 ()()f xf x 4.（2011辽宁理 21，利用 2的对称） 已知函数xaaxxxf)2(ln)( 2 讨论 )( xf 的单调性； 设0a，证明：当 a x 1 0时，) 1 () 1 (x a fx a f； （作差） 若函数
9、)(xfy的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x ，证明：0 ()0fx . 解：( )(0,),f x 的定义域为 1(21)(1) ( )2(2). xax fxaxa xx 若0,( )0,( )(0,)afxf x则所以在单调增加 . 若 1 0,( )0,afxx a 则由得 且当 11 (0,),( )0,( )0.xfxxfx aa 时当时 4 所以 1 ( )(0,)f x a 在单调增加，在 1 (,) a 单调减少 . 设函数 11 ( )()(),g xfxfx aa 则 32 22 ( )ln(1)ln(1)2, 2 ( )2. 111 g xaxa
10、xax aaa x g xa axaxa x 32 22 ( )ln(1)ln(1)2, 2 ( )2. 111 g xaxaxax aaa x g xa axaxa x 当 1 0,( )0,(0)0,( )0xg xgg x a 时而所以. 故当 1 0x a 时， 11 ()().fxfx aa 由可得，当0,( )ayf x时 函数的图像与x轴至多有一个交点， 故0a，从而 ( )f x 的最大值为 11 (),()0.ff aa 且 不妨设 121212 1 (,0),(,0),0,0.A xB xxxxx a 则 由得 111 211 ()()()0.fxfxf x aaa 从而
11、12 210 21 ,. 2 xx xxx aa 于是由知，0()0.fx 5.（恒成立，思路不常见） 已知函数 x ax xf ln )( ，其中 a为实数 (1)当2a时，求曲线 )(xfy 在点 )2(, 2(f 处的切线方程； (2)是否存在实数a，使得对任意), 1()1 ,0(x，xxf)(恒成立 ?若不存在，请说明理由，若存 在，求出a的值并加以证明 解：2a时， x x xf ln 2 )(， xx xxx xf 2 ln 2ln )(， 2ln 1 )2(f，又0)2(f，所以切线方程为)2( 2ln 1 xy. 当10x时，0ln x，则x x ax ln xxxaln 令
12、xxxxgln)(， x xx xg 2 ln22 )(， 再令xxxhln22)(，0 111 )( x x x x xh 当10x时0)(xh，)(xh在)1 ,0(上递减， 当10x时，0) 1()(hxh， 0 2 )( )( x xh xg，所以)(xg在) 1, 0(上递增，1)1()(gxg，所以1a 5 1x时，0ln x，则x x ax ln xxxaln )(xga 由知当1x时0)(xh，)(xh在), 1(上递增 当1x时，0) 1()(hxh，0 2 )( )( x xh xg 所以)(xg在), 1(上递增，1)1()(gxg，1a； 由得1a. 6.已知函数)1,
13、0(12)( 2 babaxaxxg，在区间3,2上有最大值 4，最小值 1，设 ( ) ( ) g x f x x （）求ba,的值； （）不等式02)2( xx kf在 1 , 1x上恒成立，求实数k的范围； （）方程 0)3 |12| 2 (|)12(| x x kf 有三个不同的实数解，求实数k的范围 解: （） (1) 2 ( )(1)1g xa xba 当0a时， 2, 3gx 在上为增函数 故 (3)296251 (2)544220 gaaba gaabb 当0( )2, 3ag x时，在上为减函数 故 (3)296221 (2)244253 gaaba gaabb 011bab即 2 ( )21g xxx. 1 2fxx x . （）方程(2 )20 xx fk化为 1 222 2 xx x k 211 1()2 22 xx k，令t x 2 1 ， 2 21ktt 1 , 1x 2, 2 1 t记12)( 2 tttmin ( )0t 0k （）方程0)3 |12| 2 (|)12(| x x kf化为0)32( |12| 21 |12|k k x x 0)21 (|12|)32(|12| 2 kk xx ，0|12| x 令t x |12|， 则方程化为0)21 ()32( 2 ktkt（0t）