《小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边).pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏 模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； S1 S2 AB 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ab CD 如右图 S1: S 2 a : b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 S ACD SBCD；反之，如果 SACD SBCD，则可知直线 AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边
2、形 )； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三两个平行四边形 底相等，面积比等于它们的高之比 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比 如图在ABC 中，D , E分别是 AB , AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在 AC 上)， 则 SABC: SADE( AB AC ) : ( AD AE) D A A D E E B CBC 图图 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“ 蝶形定理 ” ) ： S1: S2 S4: S
3、3或者S1S3S2S4AO : OCS1S2: S4S3 D A S 1 S 4 S 2 O S 3 B C 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模 型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 1 另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关 系 梯形中比例关系 (“ 梯形蝶形定理 ” ) ： A a D S 1 S 2 O S 4 S1: S3 a 2 : b 2 S 3 S1: S3: S 2: S 4 a 2 : b 2 : ab : ab ；B b C S 的对应份数为ab 2 四、相似模型 (一)金字塔模型(二) 沙漏模型 A E
4、F D A D F E B G C B G C AD AE DE AF ； AB AC BC AG S：S AF 2 : AG2 ADE ABC 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改 变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定 理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相 似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具 在小学奥数里，出现最
5、多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角 形五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形 ABC 中， AD，BE， CF 相交于同一点O，那么 A S ABO: SACO BD : DC 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 F E 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，O 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 B D C 三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 2 典型例题 【例 1】如图，正方形ABCD的边长为 6，AE1. 5，CF2长方形EFGH的面 积为 HH AD A
6、 D EE GG BB FCFC 【解析】连接DE ，DF ，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， SDEF661.5622624.54216.5, 所以长方形EFGH 面积为 33 【巩固】如图所示，正方形 ABCD 的边长为8厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？ EE ABA B F F D G CD G C 【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形) 三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半 证明：连接 AG
7、( 我们通过ABG 把这两个长方形和正方形联系在一 起) 在正方形 ABCD 中，SABG 1 2 ABAB边上的高， SABG 1 2 S ABCD( 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积 的一半 ) 同理， SABG 1 2 SEFGB 正 方 形A B C D与 长 方 形 E F G B面 积 相 等 长 方 形 的 宽 8 8 1 0 (6 厘.4米) 3 【例 2】长方形ABCD的面积为 36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任 意一点，问阴影部分面积是多少？ A H D E G B F C 【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC，如下图： A H D
8、E G B F C 可 得 ： S EHB 1 SAHB 、 S FHB 1 SCHB、SDHG 1 SDHC， 而 2 2 2 S ABCD S AHB S CHB S CHD 36 即 S EHB S BHF S DHG 1 (S AHB S CHB S CHD) 1 36 18 ； 2 2 而 S EHB S BHF S DHG S 阴影 S EBF ， S EBF 1 BE BF 1 ( 1 AB )( 1 BC) 1 364.5 2 2 2 2 8 所以阴影部分的面积是： S阴影 18 S EBF184.5 13.5 解法二：特殊点法找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合， 那么
9、图形就可变成右图： A D (H) E G B F C 这样阴影部分的面积就是DEF 的面积，根据鸟头定理，则有： S阴影 S ABCD S AED S BEF S CFD 36 1 2 1 2 36 1 2 1 2 1 2 36 1 2 1 2 3613.5 【巩固】在边长为6厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P，将正方形的一组对边二 等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接 , 求阴影部分面积 4 AD P BC A (P)D BC AD P BC 【解析】（法 1）特殊点法由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法， 假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴
10、影 三角形的面积分别占正方形面积的 1 4 和 1 6 ，所以阴影部分的面积为 6 2 ( 14 1 6) 15 平方厘米 （法 2）连接 PA 、PC 由于PAD 与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 1 4 ，同理可知 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 1 6 ，所以 阴影部分的面积为 6 2 ( 14 1 6) 15 平方厘米 【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB8， AD 15，四边形 EFGO 的面积为 A D O G E B F C 【解析】利用图形
11、中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形 AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO 的面积 由于长方形 ABCD 的面积为158120，所以三角形 BOC 的面积为 1 2 0 1 4 3 ，0所以三角形AOE和DOG的面积之和为120 3 4 70 20 ； 1 1 又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为120 30 ，所以 2 4 四边形 EFGO 的面积为302010 另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积三角形 AFC 面积三角形 BFD 面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形 BFD 面积
12、为长方 形面积的一半，即 60 ，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部 5 分的面积，即120 70 50 ，所以四边形的面积为 60 50 10 【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是 36，E是AD的三等分点，AE2ED，则 阴影部分的面积为 AED O BC A E D M N O B C 【解析】如图，连接 OE 根 据 蝶 形 定 理 ， ON : ND S COE: S CDE 1 S CAE :S CDE 1:1 ， 所 以 2 S 1 S ； O E N 2 O E D OM : MA S BOE: S BAE 1 S BDE :S BAE 1: 4 ，所以S OEM 1
13、S OEA 2 5 又 S 1 1 S 3 ， S 2S 6 ，所以阴影部分面积为： OED 3 4 矩形 ABCD OEA OED 3 1 6 1 2.7 2 5 【例 4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积(丙是三角形 HBC ) A 甲 乙 DIJF MN H 丙 BEC 【解析】因为 D 、E 、F 分别为三边的中点，所以 DE 、DF 、EF 是三角形ABC的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三 角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为 200 根据图形的容斥关系，有 S ABC S丙 S ABN S AMC SAMHN， 即400 S丙 200 200 SAMHN，所以 S丙SAMHN 又S阴影 S ADF S甲 S乙 SAMHN，所以 S阴影 S甲 S乙 S丙 S ADF 143 1 4 40043 6