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1、I T Q P NM C B A A B C M N P T I I2 I1 A B C MN P Q T I 平面几何 1、 （ 2009 二试 1）如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧 BC 、AC 的中点过 点C作PCMN交圆于P点，I为ABC的内心，连接 PI并延长交圆 于T 求证：MPMTNPNT； 在弧 AB （不含点C）上任取一点Q （ QA，T，B） ，记AQC ，QCB的内心分别为 1I ，2I ， 求证： Q ， 1 I ， 2 I ， T四点共圆 【解析】连NI，MI由于PCMN，P，C，M，N共圆， 故PCMN是等腰梯形因此NPMC，PMNC 连AM，
2、CI，则AM与CI交于I，因为 MICMACACIMCBBCIMCI，所以MCMI 同理NCNI 于是NPMI，PMNI 故四边形MPNI为平行四边形因此 PMTPNT SS （同底，等高） 又P，N，T，M四点共圆，故180TNPPMT，由三角形面积公式 1 sin 2 PMT SPMMTPMT 1 sin 2 PNT SPNNTPNT 1 sin 2 PNNTPMT 于是PMMTPNNT 又因 12 I NTQNTQMTI MT ，有 12 I NTI MT 故 12NTIMTI ，从而1212I QINQMNTMI TI 因此 Q ， 1 I ， 2 I ，T四点共圆 2、 （ 2010
3、 二试 1）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK 延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M求证：若OKMN，则A，B，D，C四点共 圆 同理 22222 QKQOrKOr， 所以 2222 POPKQOQK， 故OKPQ由题设，OKMN，所以PQMN，于是 AQAP QNPM 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得 1 NBDEAQ BDEAQN ， 1 MCDEAP CDEAPM 由， ，可得 NBMC BDCD ，所以 NDMD BDDC ，故DMNDCB，于是DMNDCB，所以BCMN， 故OKBC，即K为BC的中点，矛
4、盾！从而,A B D C四点共圆 . 注 1：“ 2 PKP的幂（关于O）K的幂（关于O）”的证明：延长PK至点F，使得 E Q P O N M K D C B A PKKFAKKE ， 则P，E，F，A四点共圆，故 PFEPAEBCE， 从而E，C，F，K四点共圆，于是 PKPFPE PC， - ，得 2 PKPE PCAKKEP的幂（关于O）K的幂（关于O） 注 2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似 3、 （ 2011 二试 1）如图，QP,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BDAC,的中点若DPABPA，证 明：CQBAQB 【解析】 延长线段 DP 与圆交于另一点E ，则BPAD
5、PACPE，又 P 是线段 AC 的中点， 故 CEAB， 从而BDACDP F E Q P O N M K D C B A 又PCDABD，所以ABD PCD ，于是 CD PC BD AB ，即BDPCCDAB . 从而有BQACBDACBDACCDAB) 2 1 ( 2 1 ， 即 CD BQ AC AB 又ACDABQ，所以ABQACD，所以DACQAB 延长线段AQ与圆交于另一点F ，则DAFCAB，故 DFBC 又因为Q为 BD 的中点，所以DQFCQB 又DQFAQB，所以CQBAQB 4、（2012 二试 1） 如图，在锐角ABC中，,ABAC M N是BC边上不同的两点， 使
6、得.BAMCAN 设 ABC和AMN 的外心分别为 12 ,O O，求证： 12 ,O OA三点共线 . 是 1 O的切线 . 因此BPAC, 因为,BAMCAN 所以AMPBBAMPACCANPAN 因而AP是AMN的外接圆 2 O的切线 , 故 2. APAO所以 12 ,O O A三点共线 . 5、 （ 2013 二试 1） （本题满分40 分）如图，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两 点，满足AEEFFB. 连接 PEPF、并延长，与圆分别相交于点CD、. 求证： A B M N C EF CDACBD 【证明】连接AD ，BC ，CF ，DE. 由于AE=EF=
7、FB，从而 sin =2 sin BCBCEBCPBE ACACEACPAE 点到直线的距离 点 到直线的距离 . (1 ) 同样 sin =2 sin ADADFAPDAF BDBDFBPDBF 点 到直线的距离 点到直线的距离 . (2 ) 另一方面，由于 BCEBCPBDPBDF ， ACEACPADPADF ， 6、 （ 2014 二试 2） （本题满分40 分）如图， 在锐角三角形ABC中，BAC60，过点 B,C 分别作三角形ABC 的外接圆的切线BD,CE,且满足 BD=CE=BC, 直线 DE与 AB ，AC的延长线分别交于点F,G，设 CF与 BD交于点 M,CE与 BG交于
8、点 N ，证明： AM=AN. A B C D E F P P F E D C B A ., MCBCBDACLC DFB MFFDFDABLB 相似|.LMBF因此 |,LNCG同理，由此推出 0 180 -BALABLALM= ALB+ BLM= ALB 0 =180 -CALALCACLALCCLN.ALN |BCFG再结合以及内角平分线定理得到 1 LMLMBFCGCLABBCCLAB LNBFCGLNBCACBLBLAC 及LM=LN. 故由 AL=AL,ALM= ALN,LM=LN 得到 ALM 与 ALN全等，因而 AM=AN, 证毕 . 7、 (2015 二试 3)( 本题满分
9、 50 分) 如图 ,ABC内接于圆,O P为BC上一点 , 点K在线段AP上, 使得BK平 分ABC, 过,K P C三点的圆与边AC交于点D, 连结BD交圆于点E, 连结PE并延长与边AB交 于点F, 证明 :2ABCFCB 8、 （ 2016 二试 2） （本题满分40 分）如图所示，在 ABC 中， X,Y 是直线 BC上两点（ X,B,C,Y 顺次排列）， 使得 BX AC=CY AB. 设ACX ，ABY 的外心分别为 12 ,O O，直线 12 OO与 AB,AC分别交于点U、V.证明： AUV是等腰三角形 . 即 CP PX=BP PY.故P对圆 1 w和 2 w的幂相等，所以
10、P在 1 w和 2 w的根轴上 . 于是 AP 12 O O，这表明点U、V关于直线AP对称，从而AUV 是等腰三角形 . 9、 （2017 二试 1） （本题满分40 分）如图，在ABC中，ABAC，I为ABC的内心， 以A为圆心，AB 为半径作圆 1 T， 以I为圆心，IB为半径作圆 2 T， 过点BI、的圆 3 T与 1 T, 2 T分别交于点,P Q（不同于点B） ， 设IP与BQ交于点 R. 证明：BRCR. 证明：连接,.IB IC IQ PB PC 2 0 1 ,IBQIPB ,IABCIBIC, 1 180, 2 360? IBIP QTIBIQ IRIB ICIP ABAC IRIC BCBPCABRCIRBIRCIBPICP BICBPC 由于点在圆上，故所以故IBPIRB, 从而有IRB=IBP, 且 注意到且 为的内心，故所以于是ICPIRC, 故IRC=ICP. 又点 P在圆 T的弧上，故因此 0011 (90? 22 AABRCR）（）. 故