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1、微专题 24 椭圆中与面积有关的取值范围问题 范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构 建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在 于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取 值范围 . 例题：如图，已知椭圆C： x2 a2 y2 b2 1(ab0)的左焦点为F(1， 0)，左准线方程为 x 2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B两点满足OAOB(O为坐标原点 )，求AOB面积的取值范围 变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E： x2 2 y 21，点 A 是椭圆上异
2、于长轴端 点的任一点， F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线 AO 与椭圆交于C 点，求 ABC 面积的最大值 变式 2 设椭圆E： x 2 16 y 2 4 1，P 为椭圆C： x 2 4 y 2 1 上任意一点，过点 P 的直线y kx m 交椭圆 E于 A，B 两点，射线PO 交椭圆 E于点 Q. (1)求 OQ OP 的值； (2)求ABQ 面积的最大值 串讲 1 如图，已知椭圆C： x 2 2 y 21，设 A 1，A2分别为椭圆C 的左、右顶点， S 为直 线 x22上一动点 (不在 x 轴上 )，直线 A1S 交椭圆 C 于点 M ，直线 A2S 交椭圆于点N ，
3、 设 S1，S2分别为A1SA2， MSN 的面积，求 S1 S2的最大值 串讲 2 已知点 A(0 ， 2)，椭圆E： x 2 a 2 y 2 b 2 1(a b0)的离心率为 3 2 ，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为 23 3 ， O 为坐标原点 (1)求 E的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求l 的方程 (2018 广西初赛改编)已知椭圆C： x 2 4 y 21，设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 两点 P，Q，且直线OP，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求OPQ 面积的取值范围 (2018 南通泰州一
4、模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 x 2 a 2 y2 b 21(a b 0)的离心率为 2 2 ，两条准线之间的距离为42. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的左顶点为A，点 M 在圆 x2y 28 9 上，直线 AM 与椭圆相交于另一点B， 且 AOB 的面积是 AOM 的面积的2 倍，求直线AB 的方程 答案： (1) x 2 4 y 2 2 1；(2)y x 2y 20，x2y 20. 解析： (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得， c a 2 2 ， 2a 2 c 42，2 分 解得 a2，c2，所以 b2，所以椭圆的标准方程为 x 2 4 y2 2 1.4 分
5、 (2)解法 1：因为 S AOB2S AOM，所以 AB2AM ，所以点M 为 AB 的中点 .6 分 因为椭圆的方程为 x2 4 y 2 2 1，所以 A(2，0)设 M(x0，y0)，则 B(2x02，2y0)， 所以 x02y0 2 8 9 ， （2x02） 2 4 （2y0） 2 2 1， 10 分 由，得9x0218x016 0，解得 x0 2 3或 x 0 8 3 (舍去 ) 把 x0 2 3 代入，得y0 2 3 ，12 分 所以 kAB 1 2 ，因此，直线AB 的方程为y 1 2(x2)， 即 x2y20，x 2y20.14 分 解法 2：因为 S AOB2S AOM，所以
6、 AB 2AM ，所以点M 为 AB 的中点 .6 分 设直线 AB 的方程为yk(x 2)，由 x2 4 y 2 2 1， yk（x2）， 得(12k 2)x28k2x8k2 40， 所以 (x2)(1 2k 2)x 4k22 0，解得 x B 24k 2 12k 2，8 分 所以 xM xB（ 2） 2 4k 2 12k 2，10 分 yMk(xM2) 2k 1 2k 2，代入 x 2y2 8 9 ，得 4k 2 12k 2 2 2k 12k 2 2 8 9 ， 化简得 28k 4k220，12 分 即(7k 22)(4k21) 0，解得 k 1 2 ， 因此，直线AB 的方程为y 1 2 (x2)， 即 x2y20，x 2y20.14 分