空间几何体的表面积和体积解题方法(2)-高三数学解题技巧专题突破.pdf

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1、空间几何体的表面积和体积解题方法 一【学习目标】 1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质 2了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之 间的内在联系 3能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出 它们的直观图 4会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图 二 【知识要点】 1.三视图 空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的 形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视 2空间几何体的

2、直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x 轴、 y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x 轴、 y 轴，两 轴相交于点O ，且使 xO y45 ，已知图形中平行于x 轴、 y轴的线段在直观图中平行于x 轴、 y 轴；已 知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半 3.有关斜二测画法的常用结论与方法 (1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S 与原平面图形的面积S之间的关系是S 2 4 S. (2)对于图形中与x 轴、 y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法

3、来解决，即过端点作坐标轴的平 行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置. 4.有关三视图的基本规律 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. 画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高. (2)由三视图想象几何体特征时要根据“ 长对正、宽相等、高平齐” 的基本原则 . 5特殊多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱). (2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三 棱锥又叫正四面体. (

4、3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱. 三高考题型典例及训练 （一）空间几何体 例 1 如图，透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1内灌进一些水， 固定容器底面一边BC 于水平地面上， 再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： 有水的部分始终呈棱柱形； 没有水的部分始终呈棱柱形； 水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； 棱 A1D1始终与水面所在平面平行； 当容器倾斜如图(3)所示时， BE?BF 是定值 其中所有正确命题的序号是_ 练习 1已知四面体PABC中， 4PA ，2 7AC， PA 平面PBC，则四 面体PABC的内切球半径为_ 【答案】 3 4 【解析】

5、由题意，已知PA平面PBC， 所以，由勾股定理得到，即PBC为等边三角形， ABC为等腰三角形，可求得四面体的体积为 根据等体积法有：， 几何体的表面积为 所以，可解得 3 4 r. 点睛：本题考查了组合体问题，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征，三棱锥锥的体积计算与体积的 分割等知识点的应用，其中充分认识空间组合体的结构特征，以及等体积的转化是解答此类问题的关键. 练习 2 如图，在棱长为4 的正方体中，E，F分别为AB、 1 DD的中点， 点P是 1 DD 上一点，且PB平面CEF，则四棱锥PABCD外接球的体积为_. 【答案】 41 41 6 【解析】 连接BD交CE于O，则，连接OF

6、，则当BPOF时， PB 平面CEF，则 1 2 PF FD ，F是 1 DD的中点， 1 4DD，3DP，又四棱锥PABCD外接球就是 三棱锥PABC的外接球，三棱锥PABC外接球的直径为， 则所求体积为 41 41 6 . 点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关 系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各 顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在 平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等

7、的 直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面 中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱 两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. （三）旋转体问题 例 3已知等腰三角形的周长为，问绕这个三角形的底边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积最大 时，这个三角形的底边长为_ 【答案】 【详解】如图，设，则底边长为， 绕底边所在直线旋转一周所形成的几何体可以看成两个相同圆锥的组合体，圆锥的高， 底面半径， 则圆锥的体积为， 所求几何体的体积为 ， 所以，令，解得， 易得是函数的定义域内

8、的唯一极值点，也是最大值点， 因此当腰长为，底边长为时，旋转体的体积最大故这个三角形的底边长为 【点睛】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，利用导数解决最值问题是常用的方法，属于中等题 练习 1圆 (x-l) 2+y2=2 绕直线 kx-y-k=0 旋转一周所得的几何体的表面积为 _. 【答案】 8 【解析】 圆 圆心为1,0 直线恒过圆心1,0 旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径 故答案为8. 点 睛 ： 本 题 考 查 几 何 体 的 表 面 积 的 求 法 及 圆 、 球 等 基 础 知 识 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 直 线 恒过已知圆的圆心，从而可

9、知圆绕直线旋转一周后所得的几何体是球，进而求 出球的半径 练习 2下列结论不正确的是_（填序号） . 各个面都是三角形的几何体是三棱锥； 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 【答案】 【解析】 错误，如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它 不是棱锥 . 错误，如图，若ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体 不是圆锥 . 错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是

10、正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面， 侧棱长必然要大于底面边长. 正确，符合圆锥曲线母线的定义，故错误的是. 考点 : 旋转体的结构特征. （四）投影问题 例 4如图所示， 棱长为 1 的正方体中， 若 ， 分别为，的中点， 是正方形的中心，则空间四边形在该正方体的面上的投影的面积的最大值为_ 【答案】 【解析】 看出空间四边形AEFG 在该正方体的各个面上的投影，看出投影的形状和大小，有两个能够直接 做出面积，不能直接作出面积的用正方形面积减去去掉的面积，比较得到结果 【详解】空间四边形在该正方体的上、下面上的投影是一个等腰三角形，腰长是，底边长是，故 这个投影的面积是 空间四边形在

11、该班方体的前、后面上的投影是一个四边形，它的面积是 ；空间四边形在该正方体的左、右面上 的投影是一个三角形，它的面积是 故答案为： 练习 1半径为R的球O放置在水平平面上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R， 则从点P发出的光线在平面上形成的球O的中心投影的面积等于_ 【答案】 2 3 R 【解析】 轴截面如图1 所示，中心投影的面积为 2 3 R 故答案为： 2 3 R 练习 2如图，在棱长为1 的正方体中，,MN分别是 1, BB BC的 中点，则图中阴影部分在平面 11 ADA D上的投影的面积为_ 【答案】 1 8 【解析】 图中点M在平面的投影是 1 AA的中点，点N在

12、平面的投影是AD的中点，点D的投影还是点D, 连接三点的三角形的面积是，故填： 1 8 . （五）直观图 例 1已知水平放置的ABC 按“ 斜二测画法 ” 得到如图所示的直观图，其中B O= C O=2 ， BAC=90 ， 则原 ABC 的面积为 _ 【答案】 8 【解析】 根据 “ 斜二测画法 ” 原理还原出 ABC，利用边长对应关系计算原ABC 的面积即可 【详解】根据“ 斜二测画法 ” 原理，还原出ABC，如图所示； 由 BOC O2， BAC90 ， O ABC 2， 原 ABC 的面积为SBC OA4 48 故答案为： 8 练习 1如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直

13、， 且，则 的边上的高为 _ 【答案】 【点睛】本题考查了平面图形的直观图，画水平放置的平面图形的直观图时，在原系下在坐标轴上或平行 于坐标轴的线段，在新系下仍在坐标轴上或平行于坐标轴，横轴的长度不变，纵轴的减半 练 习2 如 下 图 所 示 , 梯 形是 水 平 放 置 的 平 面 图 形的 直 观 图 ( 斜 二 测 画 法 ), 若 ,则四边形的面积是 _. 【答案】 5 【解析】 根据斜二测画法知，四边形ABCD 是上底为2 下底为 3，高的直角梯形，利用梯形公式即 可求解 . 【详解】由直观图知，四边形ABCD中， ABCD,因为，所以 ，且,根据梯形面积公式，故填5. 格纸上小正方

14、 形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为_ 【答案】 【解析】 首先还原几何体，然后计算表面积 【详解】 由三视图得到几何体如图：是正方体的一部分，四棱 锥 P-ABCD ， 所以几何体的表面积为 故答案为： 练习 2如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是_ 【答案】 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“ 长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何 体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯

15、视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度； 3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. （七）柱、锥、台的体积 例 7由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_ 【答案】 【解析】 根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为个圆柱，中间为一个长方体，分别利用圆柱和长 方体的体积公式，即可求解. 【详解】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为个圆柱，中间为一个长方体， 由长方体长为2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积， 圆柱的底面半径为1，高为 1，则圆柱体的体积， 则该几何体的体积. 【点睛】本题考查了几何体的

16、三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状 时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线. 求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面 的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解. 练习 1四棱锥的三视图如图所示（单位：） ，则该四棱锥的体积是_ 【答案】 12 【解析】 首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积 【详解】由三视图得到几何体如图： 体积为12； 故答案为： 12 【点睛】 由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图， 根据俯视图画出几何体地面的直

17、观图； 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 练习 2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且 EF ，则下列 结论中正确的序号是_ AC BEEF平面 ABCD AEF 的面积与 BEF 的面积相等 三棱锥ABEF 的体积为定值 【答案】 【解析】 利用线面垂直的性质判断正确，利用线面平行的判定定理判断正确，利用同底不同高判断 错误，利用等底等高证明正确. 【详解】由于，故平面，所以，所以正确.由于 ，所以平面，故正确 .由于三角形和三角形的底边都是，而高前者是到的 距离，后者是到的距离，这两

18、个距离不相等，故错误.由于三棱锥的底面三角形的面积为 定值.高是点到平面也即点到平面的距离也是定值，故三棱锥 的体积为定值.故正确 .综上所述，正确的时. 【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，考查平面图形的面积 和空间立体图形的体积的判断，属于基础题. （八）组合体的表面积 例 8如图 ,用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为的 鸡蛋 (视为球体 )放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心 )与蛋巢底面的距离为_ 【答案】 【解析】 先求得球的半径，画出组合体截面的图像，通过构造直角三角形来求得蛋中心(球心 )与

19、蛋巢底面的 距离 . 【详解】根据球的体积公式，有.题目所给图中，虚线的小正方形的边长为， 其 一 半 为， 四 个 等 腰 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 高 为. 画 出 截 面 图 形 如 下 图 所 示 ， 其 中 ，故.所以鸡 蛋中心 (球心 )与蛋巢底面的距离为. 【点睛】本小题主要考查球体和其它几何体组合的问题，解题的策略是通过截面图，构造直角三角形来求 解.属于中档题 . 练习 1我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“ 堑堵 ” 意指底面为直角三角形，且侧棱垂 直于底面的三棱柱，而“ 阳马 ” 指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵， ，若

20、，当阳马体积最大时， 则堑堵的外接球的体积为_ 【答案】 【解析】 由 ACBC，AAB2，得到 “ 阳马 ” BA1ACC1体积V， AC 2+BC24，从而 BC AC4，当且仅当BCAC时取等号，从而当“ 阳 马” BA1ACC1体积最大时，BCAC，由此能求出 “ 堑堵ABCA1B1C1的外接球的半径，进而求得体 积 【详解】 “ 堑堵 ”，ACBC，AAB2， “阳马” BA1ACC1体积 V， ACBC，AAB2， AC 2+BC2 4， BC AC4， 当且仅当BCAC时取等号， 当 “ 阳马 ” BA1ACC1体积最大时，BCAC，堑堵的底面是直角三角形， 堑堵 ABCA1B1

21、C1的外接球的球心在面的中心处， 外接球的半径设为R，则 R= V= 故答案为 【点睛】本题考查棱柱外接球体积的求法，考查“ 阳马 ” 的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方 程思想，是中档题 练习 2 如图所示的几何体是一个五面体，四边形为矩形， 且， 与都是正三角形，则此五面体的体积为_ 【答案】 【解析】 将五面体补全为直三棱柱，根据五面体的几何特征，求三棱柱底面积，再用割补法求五 面体体积 【详解】如图，将五面体补全为直三棱柱，因为，且，与 都是正三角形，所以，所以 ，取中点，则 ，所以，故五 面体的体积为： 【点睛】不规则几何体体积的求法，关键是将几何体看作是多个规则几何体如柱、锥、台、球的组合体， 利用割补法求解，注意运算的准确性