全国各地中考数学分类解析总汇：全等三角形【共69页】.doc

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1、 全等三角形一、选择题1(2014年四川资阳，第6题3分)下列命题中，真命题是（）A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B对角线互相垂直的平行四边形是矩形C对角线垂直的梯形是等腰梯形D对角线相等的菱形是正方形考点：命题与定理分析：利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项解答：解：A、有可能是等腰梯形，故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；D、正确，故选D点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大2.（2014毕节地区，第5题3分）下列叙述正确的是（ ）A方差越大，说明

2、数据就越稳定B在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变C不在同一直线上的三点确定一个圆D两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等考点：方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件分析：利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项解答：解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误；B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误；C、正确；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误故选C点评：本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件，属于基本定理的应用，较为简单3（2

3、014台湾，第9题3分）如图，坐标平面上，ABC与DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且ABBC5若A点的坐标为(3，1)，B、C两点在方程式y3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？()A2B3C4D5分析：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P由ABBC，ABCDEF，就可以得出AKCCHADPF，就可以得出结论解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、PDPFAKCCHA90ABBC，BACBCA在AKC和CHA中。AKCCHA(ASA)，KCHAB、C两点在方程式y3的图形上，且A点的坐标为(3，1)，AH4K

4、C4ABCDEF，BACEDF，ACDF在AKC和DPF中，AKCDPF(AAS)，KCPF4故选C点评：本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键4. （2014益阳，第7题，4分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使ABECDF，则添加的条件是（）（第1题图）AAE=CFBBE=FDCBF=DED1=2考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可解答：解：A、当AE=CF无法得出ABECDF，故此选项符合题意

5、；B、当BE=FD，平行四边形ABCD中，AB=CD，ABE=CDF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS），故此选项错误；C、当BF=ED，BE=DF，平行四边形ABCD中，AB=CD，ABE=CDF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS），故此选项错误；D、当1=2，平行四边形ABCD中，AB=CD，ABE=CDF，在ABE和CDF中，ABECDF（ASA），故此选项错误；故选：A点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键5. （2014年江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（2，1），点C的纵坐标

6、是4，则B、C两点的坐标分别是（）（第2题图）A（，3）、（，4）B（，3）、（，4）C（，）、（，4）D（，）、（，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。分析：首先过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CFy轴，过点A作AFx轴，交点为F，易得CAFBOE，AODOBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案解答：过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CFy轴，过点A作AFx轴，交点为F，四边形AOBC是矩形，ACOB，AC=OB，CAF=BOE，在ACF和OBE中，CAFBOE（AAS），BE=CF=41=3，AOD+

7、BOE=BOE+OBE=90，AOD=OBE，ADO=OEB=90，AODOBE，即，OE=，即点B（，3），AF=OE=，点C的横坐标为：（2）=，点D（，4）故选B点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用6.（2014扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tanMCN=（）（第3题图）ABCD2考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三

8、角形；勾股定理专题：计算题分析：连接AC，通过三角形全等，求得BAC=30，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作MEON于E，则MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tanMCN解答：解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，ABBC，ADCD，BAD=60在RtABC与RtADC中，RtABCRtADC（LH）BAC=DAC=BAD=30，MC=NC，BC=AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在R

9、tBMC中，CM=2AN=AM，MAN=60，MAN是等边三角形，MN=AM=AN=2，过M点作MEON于E，设NE=x，则CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=，ME=，tanMCN=故选A点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键7（2014年山东泰安，第16题3分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图放置，其中ACB=CED=90，A=45，D=30把DCE绕点C顺时针旋转15得到D1CE1，如图，连接D1B，则E1D1B的度数为（）A10B20C7.5D15分析：根据

10、直角三角形两锐角互余求出DCE=60，旋转的性质可得BCE1=15，然后求出BCD1=45，从而得到BCD1=A，利用“边角边”证明ABC和D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得BD1C=ABC=45，再根据E1D1B=BD1CCD1E1计算即可得解解：CED=90，D=30，DCE=60，DCE绕点C顺时针旋转15，BCE1=15，BCD1=6015=45，BCD1=A，在ABC和D1CB中，ABCD1CB（SAS），BD1C=ABC=45，E1D1B=BD1CCD1E1=4530=15故选D点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出ABC和

11、D1CB全等是解题的关键二.填空题1（2014新疆，第14题5分）如图，RtABC中，ABC=90，DE垂直平分AC，垂足为O，ADBC，且AB=3，BC=4，则AD的长为 考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质分析：先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角形的判定定理得出AODCBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论解答：解：RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，AC=5，DE垂直平分AC，垂足为O，OA=AC=，AOD=B=90，ADBC，A=C，AODCBA，=，即=，解得AD=故答案为：点评：本题考查的是勾股定理

12、及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键2.（2014毕节地区，第20题5分）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为 考点：翻折变换（折叠问题）分析：利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4x，在RtBEC中，利用勾股定理解出x的值即可解答：解：BC=4，由折叠的性质得：BE=BE，AB=AB，设BE=x，则BE=x，CE=4x，BC=ACAB=ACAB=2，在RtBEC中，BE2+BC2=EC2，即x2+22=（4x）2，

13、解得：x=故答案为：点评：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式3.（2014武汉，第16题3分）如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则BD的长为 考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形分析：根据等式的性质，可得BAD与CAD的关系，根据SAS，可得BAD与CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD的关系，根据勾股定理，可得答案解答：解：作ADAD，AD=AD，连接CD，DD，如图：，BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD与CAD中，BADCAD（SAS），BD=CDDA

14、D=90由勾股定理得DD=，DDA+ADC=90由勾股定理得CD=，BD=CD=，故答案为：点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键4. （2014泰州，第16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，DAE=30，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q若PQ=AE，则AP等于1或2cm（第1题图）考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求

15、出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30，再由PN与DC平行，得到PFA=DEA=60，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP的长即可解答：解：根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，四边形ABCD为正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30，AD=3cm，tan30=，即DE=cm，根据勾股定理得：AE=2cm，M为AE的中点，AM=AE=cm，在RtA

16、DE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL），DE=NQ，DAE=NPQ=30，PNDC，PFA=DEA=60，PMF=90，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30，cos30=，AP=2cm；由对称性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，综上，AP等于1cm或2cm故答案为：1或2点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键三.解答题1(2014年四川资阳，第23题11分)如图，已知直线l1l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E（

17、点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE（1）求证：ABPCBE；（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F如图2当=2时，求证：APBD；当=n（n1）时，设PAD的面积为S1，PCE的面积为S2，求的值考点：相似形综合题分析：（1）求出ABP=CBE，根据SAS推出即可；（2）延长AP交CE于点H，求出APCE，证出CPDBPE，推出DP=PE，求出平行四边形BDCE，推出CEBD即可；分别用S表示出PAD和PCE的面积，代入求出即可解答：（1）证明：BC直线l1，ABP=CBE，在ABP和CBE中ABPCBE（SAS）；（2）证明：延长AP交CE于点H，ABPCBE，PA

18、B=ECB，PAB+AEE=ECB+AEH=90，APCE，=2，即P为BC的中点，直线l1直线l2，CPDBPE，=，DP=PE，四边形BDCE是平行四边形，CEBD，APCE，APBD；解：=NBC=nBP，CP=（n1）BP，CDBE，CPDBPE，=n1，即S2=（n1）S，SPAB=SBCE=nS，PAE=（n+1）S，=n1，S1=（n+1）（n1）S，=n+1点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度2（2014新疆，第20题10分）如图，已知ABC，按如下步骤作图：分别以A，C

19、为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；过C作CFAB交PQ于点F，连接AF（1）求证：AEDCFD；（2）求证：四边形AECF是菱形考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图基本作图分析：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CFAB得到EAC=FCA，CFD=AED，利用ASA证得两三角形全等即可；（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形解答：解

20、：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，AE=CE，AD=CD，CFABEAC=FCA，CFD=AED，在AED与CFD中，AEDCFD；（2）AEDCFD，AE=CF，EF为线段AC的垂直平分线，EC=EA，FC=FA，EC=EA=FC=FA，四边形AECF为菱形点评：本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线3 （2014年云南省，第16题5分）如图，在ABC和ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，DAB=CBA，求证：AC=BD考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：根据“SAS”可证明ADBBAC，由全等三角形的性

21、质即可证明AC=BD解答：证明：在ADB和BAC中，ADBBAC（SAS），AC=BD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件4（2014温州，第18题8分）如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图甲，图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为的三个三角形分别对应全等（1）图甲中的格点正方形ABCD；（2）图乙中的格点平行四边形ABCD注：图甲，图乙在答题卡上，分割线画成实线考点：作图应用与设计作图分析：（1）

22、利用三角形的形状以及各边长进而拼出正方形即可；（2）利用三角形的形状以及各边长进而拼出平行四边形即可解答：解：（1）如图甲所示：（2）如图乙所示：点评：此题主要考查了应用设计与作图，利用网格结合三角形各边长得出符合题意的图形是解题关键5（2014舟山，第20题8分）已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；

23、（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案解答：（1）证明：在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；（2）解：当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由：DOEBOF，BF=DE，又BFDE，四边形EBFD是平行四边形，BO=DO，EOD=90，EB=DE，四边形BFED为菱形点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识，得出BE=DE是解题关键6.（2014武汉，第19题6分）如图，AC和BD相

24、交于点O，OA=OC，OB=OD求证：DCAB考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定专题：证明题分析：根据边角边定理求证ODCOBA，可得C=A（或者D=B），即可证明DCAB解答：证明：在ODC和OBA中，ODCOBA（SAS），C=A（或者D=B）（全等三角形对应角相等），DCAB（内错角相等，两直线平行）点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和平行线的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用边角边定理求证ODCOBA7.（2014邵阳，第21题8分）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一

25、组进行证明考点：全等三角形的判定分析：（1）根据题目所给条件可分析出ABECDF，AFDCEB；（2）根据ABCD可得1=2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明ABECDF即可解答：解：（1）ABECDF，AFDCEB；（2）ABCD，1=2，AF=CE，AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）点评：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角8（2014台湾，第29

26、题分）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中BAEBCEACD90，且BCCE请完整说明为何ABC与DEC全等的理由分析：根据BCEACD90，可得35，又根据BAE1290，2D90，可得1D，继而根据AAS可判定ABCDEC解：BCEACD90，3445，35，在ACD中，ACD90，2D90，BAE1290，1D，在ABC和DEC中，ABCDEC(AAS)点评：本题考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角9.（2

27、014云南昆明，第16题5分）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD，AECF，且AE=CF.求证：E=F考点：全等三角形的判定与性质分析：首先根据AECF，可得A=C，结合AB=CD，AE=CF.可知证明出ABECDF，即可得到E=F解答：证明：AECF，A=C，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS），E=F点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是熟练掌握判定定理以及平行线的性质，此题基础题，比较简单10. （2014湘潭，第20题）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6（1）求证：EDFCBF；（

28、2）求EBC（第20题图）考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，E=C=90，对顶角DFE=BFC，利用AAS可判定DEFBCF；（2）在RtABD中，根据AD=3，BD=6，可得出ABD=30，然后利用折叠的性质可得DBE=30，继而可求得EBC的度数解答：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，E=C=90，在DEF和BCF中，DEFBCF（AAS）；（2）解：在RtABD中，AD=3，BD=6，ABD=30，由折叠的性质可得；DBE=ABD=30，EBC=903030=30点评：本题考查了折叠的性质、矩形

29、的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键11. （2014株洲，第22题，8分）如图，在RtABC中，C=90，A的平分线交BC于点E，EFAB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AFBF）（1）求证：ACEAFE；（2）求tanCAE的值考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义分析：（1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等（2）由ACEAFE，得出AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCA

30、E=；解答：（1）证明：AE是BAC的平分线，ECAC，EFAF，CE=EF，在RtACE与RtAFE中，RtACERtAFE（HL）；（2）解：由（1）可知ACEAFE，AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，BC=m，在RTABC中，tanB=，在RTEFB中，EF=BFtanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；tanCAE=点评：本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键12. （2014年江苏南京，第27题）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AA

31、S”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 （第3题图）【深入探究】第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据HL，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是钝角，求证：ABCDEF

32、第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹）（4）B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，若BA，则ABCDEF考点：全等三角形的判定与性质分析：（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CGAB交AB的延长线于G，过点F作DHDE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出CBG=FEH，再利用“角角边”证明CBG和FEH全等，根据全等三

33、角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明RtACG和RtDFH全等，根据全等三角形对应角相等可得A=D，然后利用“角角边”证明ABC和DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到DEF与ABC不全等；（4）根据三种情况结论，B不小于A即可解答：（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CGAB交AB的延长线于G，过点F作DHDE交DE的延长线于H，B=E，且B、E都是钝角，180B=180E，即CBG=FEH，在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中，RtACGRtDFH（HL），A=D，在

34、ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）；（3）解：如图，DEF和ABC不全等；（4）解：若BA，则ABCDEF故答案为：（1）HL；（4）BA点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细13. （2014扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（第4题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图

35、2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值专题：综合题；动点型；探究型分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在RtPCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长（2）由DP=DC=AB=AP

36、及D=90，利用三角函数即可求出DAP的度数，进而求出OAB的度数（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长解答：解：（1）如图1，四边形ABCD是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=BAPO=90APD=90CPO=POCD=C，APD=POCOCPPDAOCP与PDA的面积比为1：4，=PD=2OC，PA=2OP，DA=2CPAD=8，CP=4，BC=

37、8设OP=x，则OB=x，CO=8x在RtPCO中，C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=（8x）2+42解得：x=5AB=AP=2OP=10边AB的长为10（2）如图1，P是CD边的中点，DP=DCDC=AB，AB=AP，DP=APD=90，sinDAP=DAP=30DAB=90，PAO=BAO，DAP=30，OAB=30OAB的度数为30（3）作MQAN，交PB于点Q，如图2AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQPAPB=MQPMP=MQMP=MQ，MEPQ，PE=EQ=PQBN=PM，MP=MQ，BN=QMMQAN，QMF=BNF在MFQ和NFB中，MFQNFBQF

38、=BFQF=QBEF=EQ+QF=PQ+QB=PB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90PB=4EF=PB=2在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2点评：本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键14.（2014德州，第23题10分）问题背景：如图1：在四边形ABC中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60探究图中线段BE，EF，FD之间

39、的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇

40、分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离考点：全等三角形的判定与性质分析：问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出B=ADG，然后利用“边角边”证明ABE和ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，BAE=DAG，再求出EAF=GAF，然后利用“边角边”证明AEF和GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出EAF=AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可解答：解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DA