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1、+二一九高考数学学习资料+专题五立体几何第1讲空间几何体1(2012重庆改编)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的 棱与长为的棱异面，则a的取值范围是_解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于.答案(0，)2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 _.解析如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D为O1O的中点，则DB为球的半径，有rDB，S表4r24a2.答案3如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为 _.解析沿着侧棱VA把正
2、三棱锥VABC展开在一个平面内，如图则AA即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得AA6，故答案为6.答案64已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC外接的球表面积等于 _.解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，2a2b48，当且仅当ab2时等号成立此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216.答案165三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等
3、于 _.解析由PA底面ABC知锥体的高即为PA，又底面是正三角形，且边长为2，于是SABC22，VPABC3.答案6已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 _.解析如图，设ACBDO，则SO平面ABCD.设ABa，则AOa，又SA2，高SO.VSABCDa2.令y12a4a6，则y48a33a5，令y0，得a216，当a216，即高为2时，体积V最大答案27已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_解析设正四棱锥的高为h，则()2h，解得高h.则底面正方形的对角线长为，所以OA，S球4()224.答案248已知矩形ABCD
4、的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连接AC，取AC中点O，连接OO.易知AC4，故AO2.在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.答案89如图，在ABC中，ABC45，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)求证：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱锥DABC的表面积(1)证明折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)解由(1)知，DAD
5、B，DBDC，DCDA.DBDADC1，ABBCCA ，从而SDABSDBCSDCA11，SABC sin 60，三棱锥DABC的表面积S3.10有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为V2hh3，由VV，得hr.11如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABC
6、D， PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.(2)解设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.高考数学复习精品高考数学复习精品