【名校资料】高考数学(理)一轮资源库 第10章 学案4.doc

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1、+二一九高考数学学习资料+曲线与方程导学目标: 了解曲线的方程与方程的曲线的对应法则自主梳理1曲线的方程与方程的曲线如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)0的解,且以方程f(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上,那么,方程f(x,y)0叫做曲线C的方程曲线C叫做方程f(x,y)0的曲线2求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M);(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)0;(4)化方程f(x,y)0为最简形式;(5

2、)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3求曲线方程的常用方法:(1)直接法;(2)定义法;(3)代入法;(4)参数法自我检测1已知动点P在曲线2x2y0上移动,则点A(0,1)与点P连线中点的轨迹方程为_2一动圆与圆O:x2y21外切,而与圆C:x2y26x80内切,那么动圆的圆心P的轨迹是_3已知A(0,7)、B(0,7)、C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是_4若M、N为两个定点且MN6,动点P满足0,则P点的轨迹方程为_5(2011江西改编)若曲线C1:x2y22x0与曲线C2:y(ymxm)0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是_探究点

3、一直接法求轨迹方程例1动点P与两定点A(a,0),B(a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点P的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线变式迁移1已知两点M(2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|0,则动点P(x,y)的轨迹方程为_探究点二定义法求轨迹方程例2已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且O1O24.动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线变式迁移2在ABC中,A为动点,B、C为定点,B,C,且满足条件sin Csin Bsin A,则动点A的轨迹方程为_探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程例3如图所示,从双曲线

4、x2y21上一点Q引直线xy2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程变式迁移3已知长为1的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且.求点P的轨迹C的方程分类讨论思想例(14分) 过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线l1与l2,且l1与x轴交于点M,l2与y轴交于点N,如图所示,求线段MN的中点P的轨迹方程多角度审题要求点P坐标,必须先求M、N两点,这样就要求直线l1、l2,又l1、l2过定点且垂直,只要l1的斜率存在,设一参数k1即可求出P点坐标,再消去k1即得点P轨迹方程【答题模板】解(1)当l1不平行于y轴时,设l1的斜率为k1,则k10.因为l1l2,

5、所以l2的斜率为,2分l1的方程为ybk1(xa),4分l2的方程为yb(xa),6分在中令y0,得M点的横坐标为x1a,8分在中令x0,得N点的纵坐标为y1b,10分设MN中点P的坐标为(x,y),则有消去k1,得2ax2bya2b20 (x)12分(2)当l1平行于y轴时,MN中点为,其坐标满足方程.综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax2bya2b20.14分【突破思维障碍】引进l1的斜率k1作参数,写出l1、l2的直线方程,求出M、N的坐标,求出点P的坐标,得参数方程,消参化为普通方程,本题还要注意直线l1的斜率是否存在【易错点剖析】当AMx轴时,AM的斜率不存在,此时MN

6、中点为,易错点是把斜率不存在的情况忽略,因而丢掉点.1求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点,列式,代换,化简,证明五个步骤,但最后的证明可以省略(2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程(3)代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,

7、则可先将x,y表示为x、y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法(4)参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程2本节易错点:(1)容易忽略直线斜率不存在的情况;(2)利用定义求曲线方程时,应考虑是否符合曲线的定义(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分)1已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,则动点M的轨迹是_2已知A、B是两个定点,且AB3,CBCA2,则点C的轨迹方程为_3长为3的线段AB的端点

8、A、B分别在x轴、y轴上移动,2,则点C的轨迹方程为_4(2011淮安模拟)如图,圆O:x2y216,A(2,0),B(2,0)为两个定点直线l是圆O的一条切线,若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是_5P是椭圆1上的动点,作PDy轴,D为垂足,则PD中点的轨迹方程为_6已知两定点A(2,0),B(1,0),如果动点P满足PA2PB,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_7已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长CD3,则顶点A的轨迹方程为_8平面上有三点A(2,y),B,C(x,y),若,则动点C的轨迹方程为_二、解答题(共42分)9(14分)已知

9、抛物线y24px (p0),O为顶点,A,B为抛物线上的两动点,且满足OAOB,如果OMAB于点M,求点M的轨迹方程10(14分)(2009宁夏、海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程;(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的一点,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线11(14分)在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,)和F2(0,)为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x轴,y轴的交点分别为A,B,且.求:(1)点M的轨迹方程;

10、(2)|的最小值学案53曲线与方程答案自我检测18x22y102.双曲线的右支3.y21(y1)4x2y295(,0)(0,)解析C1:(x1)2y21,C2:y0或ymxmm(x1)当m0时,C2:y0,此时C1与C2显然只有两个交点;当m0时,要满足题意,需圆(x1)2y21与直线ym(x1)有两交点,当圆与直线相切时,m,即直线处于两切线之间时满足题意,则m0或0m.综上知m0或0mB0,表示焦点在x轴上的椭圆;2AB0,表示圆;30A0B,表示焦点在x轴上的双曲线;5A0B,表示焦点在y轴上的双曲线;6A,B0,点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)若k0,(*)式可化为1

11、.1当1k0时,点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A、B两点);2当k1时,(*)式即x2y2a2,点P的轨迹是以原点为圆心,|a|为半径的圆(除去A、B两点);3当k1时,点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)变式迁移1y28x解析由题意:(4,0),(x2,y),(x2,y),|0,(x2)4y00,移项两边平方,化简得y28x.例2解题导引(1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数,故应考虑是否符合双曲线的定义,是双曲线的一支还是两支,能否确定实轴长和虚轴长等,以便直接写出其方程,而不需再将几何等式借助坐标转化;(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意:“轨迹”和“轨迹方

12、程”是两个不同的概念,前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围)解如图所示,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由O1O24,得O1(2,0)、O2(2,0)设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆O1内切,有MO1r1;由动圆M与圆O2外切,有MO2r2.MO2MO134.点M的轨迹是以O1、O2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支a,c2,b2c2a2.点M的轨迹方程为1 (x)解析sin Csin Bsin A,由正弦定理得到ABACBCa(定值)A点轨迹是以B,C为焦点的双曲线右支,其中实半轴长为,焦距为BCa.虚半轴长为 a,由双曲线标准方程得

13、为1(x)例3解题导引相关点法也叫坐标转移(代入)法,是求轨迹方程常用的方法其题目特征是:点A的运动与点B的运动相关,且点B的运动有规律(有方程),只需将A的坐标转移到B的坐标中,整理即可得点A的轨迹方程解设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2xx1,2yy1)N在直线xy2上,2xx12yy12.又PQ垂直于直线xy2,1,即xyy1x10.联立解得又点Q在双曲线x2y21上,xy1.代入,得动点P的轨迹方程是2x22y22x2y10.变式迁移3解设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),又(xx0,y),(x,y0y),所以xx0x,y(y0y)得

14、x0x,y0(1)y.因为AB1,即xy(1)2,所以2(1)y2(1)2,化简得y21.点P的轨迹方程为y21.课后练习区1以F1、O为焦点的椭圆2双曲线的一支解析A、B是两个定点,CBCA24AB.根据椭圆的定义知,焦点F的轨迹是一个椭圆5.1解析设PD中点为M(x,y),则P点坐标为(2x,y),代入方程1,即得1.64解析设P(x,y),由题知有:(x2)2y24(x1)2y2,整理得x24xy20,配方得(x2)2y24,可知圆的面积为4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法设A(x,y),y0,则D,CD 3.化简得(x10)2y236,A、B、C三点构成三角形,A不能

15、落在x轴上,即y0.方法二定义法如图所示,设A(x,y),D为AB的中点,过A作AECD交x轴于E,则E(10,0)CD3,AE6,A到E的距离为常数6.A的轨迹为以E为圆心,6为半径的圆,即(x10)2y236.又A、B、C不共线,故A点纵坐标y0.故A点轨迹方程为(x10)2y236 (y0)8y28x9解设M(x,y),直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为ykxb.由OMAB得k.设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由y24px及ykxb消去y,得k2x2x(2kb4p)b20,所以x1x2.消去x,得ky24py4pb0,所以y1y2.(6分)由OAOB,得y1y2

16、x1x2,所以,b4kp.故ykxbk(x4p)(10分)用k代入,得x2y24px0 (x0)(12分)AB斜率不存在时,经验证也符合上式故M的轨迹方程为x2y24px0 (x0)(14分)10解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,由已知得解得又b2a2c2,b,所以椭圆C的方程为1.(4分)(2)设M(x,y),其中x4,4,由已知2及点P在椭圆C上可得2,整理得(1629)x2162y2112,其中x4,4(5分)当时,化简得9y2112,所以点M的轨迹方程为y(4x4)轨迹是两条平行于x轴的线段(7分)当时,方程变形为1,其中x4,4当0时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分当b0,由得,所以曲线C的方程为x21(0x1,0y2)(3分)y2(0x1),y.设P(x0,y0),因为P在C上,有0x01,y2)(10分)(2)|2x2y2,y24,所以|2x215459,当且仅当x21,即x时,上式取等号故|的最小值为3.(14分)高考数学复习精品高考数学复习精品

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