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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明： 来源 :学科网 ZXXK (1) 考查余弦定理、三角形面积公式, 考查方程思想、运算能力, 是历年常考内容. (2) 考查利用正、余弦定理判断三角形的形状 (3) 考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法 2. 命题方向预测： (1) 利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点 (2) 常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 3. 课本结论总结： （1）正弦定理： a sin A b sin B c sin C （2）余弦定理：a 2 b 2 c 22bccos A，b 2a2c22accos B，c 2 a
2、 2 b 22abcos C 余弦定理可以变形为：cos A b 2 c 2 a 2 2bc ，cos B a 2 c 2 b 2 2ac ，cos Ca 2 b 2 c 2 2ab . （3）SABC 1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B （4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则 来源 :学科网 A为锐角 A为钝角或直 角 图形 关系 式 absin Aabsin Absin Aabababab 解的 个数 无解一解两解一解一解无解 （5）常见题型： 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1) 已知两角及任一边，求其它边或角；
3、(2) 已知两边及一边的 对角，求其它边或角情况(2) 中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分 余弦定理可解决两类问题：(1) 已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2) 已知三边，求各角 4. 名师二级结论： （1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC 中，ABabsin Asin B. （2）正弦定理的变形： a sin A b sin B c sin C 2R，其中R是三角形外接圆的半径 abc sin Asin Bsin C； a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C； sin A a 2R ，sin B b 2R ，si
4、n C c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题 （4）三角形的面积公式：SABC 1 2absin C 1 2bcsin A1 2acsin Babc 4R 1 2( abc) r(R是三角形外接圆 半径，r是三角形内切圆的半径) ，并可由此计算R，r. （5）解三角形的常用途径： 化边为角；化角为边，并常用正弦( 余弦 ) 定理实施边、角转换 5. 课本经典习题： (1) 新课标 A版第 10 页，第 B2 题（例题） 在ABC中，如果有性质BbAacoscos，试问这个三角形 的形状具有什么特点 【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。 新课标 A版第
5、25页，第 B3 题（例题）研究一下，一个三角形能否同时具有一下两个性质： （1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2 倍. 【解析】设三角形的三边长依次为1, 1nnn，对应角依次为ABA2,;由正弦定理，得 1 1 sin 2sin n n A A ， 则 1 1 cos2 n n A，又由余弦定理得 1 1 ) 1( )1() 1( 222 n n nn nnn ，化简得 2 ) 1()1)(4(nnn， 解得5n，即存在这样的三角形，边长依次为4,5,6. 【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式. 6. 考点交汇展示： (1) 与三角函数的图像与性质的交汇 【2015 高
6、考山东，理16】设 2 sin coscos 4 fxxxx. （）求fx的单调区间； （）在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c,若0,1 2 A fa,求ABC面积的最大值 . (2) 与平面向量的交汇 【2015 高考陕西，理17】 （本小题满分12 分）C的内角，C所对的边分别为a，b，c向 量 ,3mab 与cos,sinn平行 （I ）求； （II）若 7a ，2b求C的面积 (3) 与实际问题的交汇 【20 15 高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶600m 后到达 B
7、处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为30 ，则此山 的高度CDm. 【考点分类】 热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 1. 【 2014 全国 2 高考理第 4 题】钝角三角形ABC的面积是 1 2 ，AB=1 ，BC=2，则 AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 2.【2015 高考重庆，理13】在ABC 中， B=120 o ，AB=2，A 的角平分线AD=3,则 AC=_. 3. 【 2014 高考广东卷理第12 题】在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知 bBcCb2coscos，则 b a . 4. 已知 ABC的内
8、角 A、B、C所对应边分别为a、b、c，若 222 32330aabbc，则角 C的大小是 _（结果用反三角函数值表示）. 【方法规律】(1) 已知两 角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可 来源: 学|科 | 网 (2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难 点，应引起注意 （3）已知三边，解三角形，利用余弦定理； （4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理； 【解题技巧】在处理解三角形过程中，要注意“整体思想”的运用，可起到事半功倍的效果。 如：在 ABC中， BC a，AC b，a，b 是方程0232 2 xx的
9、两个根，且1cos2BA。求： (1) 角 C的度数； (2)AB的长度。 【解析 （1） 2 1 coscoscosBABACC120 （2）由题设： 32 2 ba ab 120cos2cos2 22222 abbaCBCACBCACAB 10232 2 222 abbaabba 10AB 【易错点睛】已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是 解题的难点，应引起注意 如：在 ABC中， a 32 ，b22，B 45，则 A等于（） A30 B60 C60或 120D 30 或 150 【解析】由正弦定理，可得 0 45sin 22 sin 32 A
10、，解得 2 3 sin A; 因为2 32 2ab， 4 BA, 所以 00 12060 或A，故选 C. 热点二、利用正余弦定理判断三角形形状 1. 【 2014 全国 1 高考理第 16 题】已知cba,分别为ABC三个内角CBA,的对边，2a，且 CbcBAbsin)()sin(sin2，则ABC面积的最大值为_ 2. 【 2014 高考安徽卷第16 题】 （本小题满分12 分）设ABC的内角,A B C所对边的长分别是, ,a b c，且 3,1,2 .bcAB （1）求a的值； （2）求sin( ) 4 A的值 . 3. 【 2014 高考北京理第15 题】如图，在ABC中，,8 3
11、 BAB，点D在BC边上，且2CD， 1 cos 7 ADC. （1）求sinBAD； （2）求BD，AC的长 . 4. 【 2014 高考湖南理第18 题】如图5, 在平面四边形ABCD中,1,2,7ADCDAC. (1) 求cosCAD的值 ; (2) 若 7 cos 14 BAD, 21 sin 6 CBA, 求BC的长 . 【方法规律】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： 1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状； 2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，
12、得出内角的关 系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论 【解题技巧】熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用 如：在ABC中，已知bccba 222 ，则角 A为（） A. 3 B. 6 C. 3 2 D. 3 或 3 2 【解析 考虑余弦定理的公式特点，则：bccba 222 ，bcacb 222 ， 则 2 1 22 cos 222 bc bc bc acb A，又A0， 3 2 A, 故选 C. 【易错点睛】在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时，在化简过程中，要保证等价变形，一定不 要漏解。如： (1) 新课标 A版第 10 页，第
13、 B2 题（例题） 在ABC中，如果有性质BbAacoscos，试问这个三角形 的形状具有什么特点 【解析】法一：利用正弦定理及BbAacoscos，得BBAAcossincossin, 即BA2sin2sin; BA,0,BABA2222或, 即 2 BABA或, 所以三角形是等腰三角形或直角三角 形. 法二：利用余弦定理及BbAacoscos，得 ac bca b bc acb a 22 222222 ，化简得 0)()( 222 cbababa，则 222 cbaba或，即三角形是等腰三角形或直角三角形. 热点三、利用正余弦定理求三角形面积 1.【 2014 高考福建卷第12 题】 在A
14、BC中， 60 ,4,2 3AACBC , 则ABC的面积等于 _. 2. 【2015 高考浙江，理16】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 4 A， 22 ba= 1 2 2 c. （1）求tanC的值； （2）若ABC的面积为7，求b的值 . 3. 【2015 高考陕西， 理 17】 （本小题满分12 分）C的内角，C所对的边分别为a，b，c向 量 ,3mab 与cos,sinn平行 （I）求；来源 :Z_xx_k.Com （II）若7a，2b求C的面积 4. 【 2014 高考浙江理第18 题】在ABC中，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知,3ab
15、 c， 22 cos-cos3sincos-3sincos .ABAABB （I ）求角 C的大小； （II ）若 4 sin 5 A，求ABC的面积 . 【方法规律】常用三角形的面积公式 ahS 2 1 BacAbcCabSsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 Sppapbpcpr(p是周长的一半，即p abc 2 ，r为内切圆半径 ) ； S abc 4R( R为外接圆半径) 【解题技巧】在解三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合使用. 如：【浙江省“六市六校”联盟2014 届高考模拟考试】在ABC 中，内角,A B C 的对边分别为, ,a b c ，且
16、2 coscoscosaAbCc B （1）求角A的大小； （2）若6,8abc，求ABC 的面积 【解析】（1）由 2 coscoscosaAbCcB 及余弦定理或正弦定理可得 1 cos 2 A ,4 分 所以 3 A,6 分 (2) 由余弦定理a 2 b 2 c 22bccos A ，得b 2 c 2 bc36又bc8，所以bc 28 3 ,10 分 由三角形面积公式S 1 2bcsin A，得ABC的面积为 73 3 ,1 考点： 1、正弦定理； 2、两角和的三角函数；3、余弦定理 . 【易错点睛】在利用面积公式解三角形时，要注意不要漏解. 如： 已知 ABC的面积为 2 3 ，且3,
17、2 cb，则 A等于（） A30B30或 150C60D 60或 120 【解析】由三角形的面积公式AbcSsin 2 1 , 得 2 3 sin32 2 1 A, 解得： 2 3 sin A; 00 1800A, 所以A60或 120 . 【热点预测】 1. 在ABC中，若 22sin5 3, sin2 C baac A ，则 cosB 的值为 (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 1 5 (D) 1 4 2.【2015 高考天津，理13】在ABC中，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知ABC的面积为 3 15， 1 2,cos, 4 bcA则a的值为. 3.【2015 高
18、考上海，理14】在锐角三角形C中， 1 tan 2 ，D为边C上的点，D与CD的 面积分别为2和4过D作D于，DFC于F，则DDF 4.【2015 高考广东， 理 11】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a， 1 sin 2 B， 6 C ，则b. 5.【2015 高考北京，理12】在 ABC 中， 4a ， 5b ， 6c ，则 sin2 sin A C 6.【2015 高考新课标1，理 16】在平面四边形ABCD 中， A=B= C=75 ，BC=2，则 AB 的取值范围 是. 7.【广东省惠州一中等六校2015 届高三 8 月联考 11】已知C中，角C的对边分别为a.b
19、.c， 且2a，135， C 4S，则b 8. 在ABC中，角,A B C所对边分别为, ,a b c，且 4524Bc，面积2S，则b= 9. 在 ABC中， a、b、c 分别为 A、 B、 C的对边，三边a、b、c 成等差数列，且B 4 ，则 cosA 一 cosC的值为 . 10. 【河南省安阳一中2015 届高三第一次月考18】 （本小题满分12 分）ABC中，a b c、分别为角A B C、 的对边，满足 222 bcabc. （）求角A的值； （）若3a，设角B的大小为, xABC的周长为y，求( )yf x的最大值 . 11.【河北省“五个一名校联盟” 2015 高三教学质量监测
20、( 一)17 】（本小题满分12 分）在ABC中， 角CBA, 所对的边分别是cba,，已知 3 ,2 Cc. (1) 若ABC的面积等于3，求ba,； (2) 若AABC2sin2)sin(sin，ab且，求ABC的面积 . 12. 【 江苏省苏州市2015 届高三 9 月调研测试17】 如图,有两条相交直线成 0 60角的直路,X X Y Y交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY上，甲的起始位置距离O点3,km乙的起始位置距离O点1,km后来甲沿XX的 方向,乙沿Y Y的方向,两人同时以4/km h的速度步行 （1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离； （2）设th后甲乙两人的距离为,d t写出d t的表达式； 当t为何值时,甲乙两人的距离最短,并求出此时 两人的最短距离 13. 【河南省安阳一中2015 届高三第一次月考19】 （本小题满分12 分）在ABC中，,A B C的对边分别 为, ,a b c且cos,cos, cosaC bB cA成等差数列 （1）求B的值； （2）求 2 2sincosAAC的范围 14.【2015 江苏高考， 15 】 （本小题满分14 分） 在ABC中，已知 60,3,2AACAB. （1）求BC的长； Y A B O Y X X （2）求C2sin的值 .