考点17等差、等比数列的运算和性质-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练.pdf

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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明： （1）理解等差、等比数列的概念；（2）掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式；（3）了解等差 数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系；（4）能利用等差、等比数列的前n项和公式及其性 质求一些特殊数列的和；（5）能运用数列的等差、等比关系解决实际问题. 2. 命题方向预测： 预计 2016 年高考针对本节内容的考查将以等差、等比数列的通项公式，求和公式和性质为主，在复习时应 予以关注等差、等比数列与其他知识的综合. 3. 课本结论总结： 等差数列的判断方法： (1) 定义法：对于2n的任意自然数，验证 1nn aa为同一常数； (2) 等差中项法：

2、验证 * 12 2(3,) nnn aaannN都成立； (3) 通项公式法：验证 n apnq； (4) 前 n 项和公式法：验证 2 n SAnBn. 注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列 来源 :学 & 科& 网 来源: 学#科# 网 等比数列的判定方法： (1) 定义法：若 1n n a q a (q为非零常数 )或 1 n n a q a (q为非零常数且 2n ) ，则 n a是等比数列 (2) 中项公式法：若数列 n a中0 n a且 2* 12( ) nnn aaanN，则数列 n a是等比数列 (3) 通项公式法：若数列通项公式可写成 1n n ac

3、 q(c，q均为不为0 的常数， * nN) ，则 n a是等比 数列 (4) 前 n 项和公式法：若数列an 的前 n 项和 n n Sk qk(k为常数且0k，0,1q) ，则 n a是等比 数列 注：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调 结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可 4. 名师二级结论： 以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题, 主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前 n项和公式 以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求，此类题型主要考查学生对 知识的灵活

4、变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推 数列考查的力度，这点应当引起高度的重视预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一 定会出现其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未 来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题 求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数fx在定义域为D，则当 xD时，有 fxM恒成立 min fxM；fxM恒成立 max fxM；(2) 利用等差数 列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得求解数列中的某些最值问

5、题，有时须结合不 等式来解决，其具体解法有：(1) 建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2) 首先利用 不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3) 利用条件中的不等式关系确定最值. 5. 课本经典习题： (1) 新课标 A版必修 5 第 44 页，例 3 已知数列 n a的前n项和为 2 1 2 n Snn，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它是首项与公差分别是什么？. (2) 新课标 A版必修 5 第 45页，例 4 已知等差数列5， 2 4 7 ， 4 3 7 ，, 的前n项和为 n S，求使得 n S最大 的序号n的值 . 6. 考点交汇展示： 来

6、源:Zxxk.Com (1) 数列与函数相结合 1. 【 2015 高考福建，文 16】 若,a b是函数 2 0,0fxxpxq pq的两个不同的零点， 且, , 2a b 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于 _ 2. 【 2014 高考陕西卷文第14 题】已知0, 1 )(x x x xf，若Nnxffxfxfxf nn ),()(),()( 11 ， 则)( 2014 xf的表达式为 _. (2) 数列与不等式相结合 来源 :学科网 【房山区2014 届高三年级第一学期期末统考】设0,0.ab若3是 a 3 与 b2 3的等比中项 , 则 ba 12

7、 的最 小值为 ( ) A.8 B.4 C.1 D. 1 4 【考点分类】 热点 1 等差数列基本量的计算 1. 【2015 高考陕西，文 13】 中位数为 1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015， 则该数列的首项为_ 2. 【 2015 高考新课标1，文 7】已知 n a是公差为1 的等差数列， n S为 n a的前n项和，若 84 4SS，则 10 a（） （A） 17 2 （B） 19 2 （C）10（D）12 3. 【2014 高考江西卷文第13 题】 在等差数列 n a中，7 1 a，公差为d，前n项和为 n S，当且仅当8n 时 n S取最大值，则d的取值范围 _. 4.

8、 在等差数列 n a 中, 已知38 10aa , 则57 3aa_. 【解题技巧】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量 1 a， n a，d，n， n S，知其中三个就能 求另外两个，体现了用方程的思想解决问题，此外要注意当0d时，为常数列，是特殊的等差数列，例如 第 4 题，需分类讨论求解问题. 【方法规律】数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而 1 a和d是等差数列的两个基 本量， 用它们表示已知和未知是常用方法，例如第 3 题，将条件中的等式都转化为关于 1 a和d的方程组，通 过解方程组求解. 热点 2 等差数列性质的综合运用 1.【2015 高考安徽，

9、文13】已知数列 n a中，1 1 a， 2 1 1nn aa（2n），则数列 n a的前 9 项和 等于. 2. 【2015 高考浙江， 文 10】 已知 n a是等差数列， 公差d不为零若 2 a， 3 a， 7 a成等比数列， 且 12 21aa， 则 1 a，d 3. 设函数( )2cosf xxx, n a是公差为 8 的等差数列 , 125 ()()()5f af af a, 则 2 313 ()f aa a（） A0 B 21 16 C 21 8 D 213 16 4. 设数列, nn ab都是等差数列 , 若 1133 7,21abab, 则 55 ab_. 【方法规律】等差数

10、列的性质：（1）通项公式的推广： * () ( ,) nm aanm d n mN（2）若 * ( , ,)klmn k l m nN，则 klmn aaaa；（ 3）若 n a， n b为等差数列，且前n项和分别为 n S和nS，则 21 21 mm mm aS bS ，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第6 题，利 用等差数列的下标性质，可以快速求解问题 【解题技巧】等差数列前n项和的最值问题的方法：二次函数法：将 n S看作关于n的二次函数，运用配 方法， 借助函数的单调性及数形结合，使问题有解； 通项公式法： 求使0 n a（或0 n a）成 立的最大n 值，即可

11、得 n S的最值；（ 3）不等式法：借助 n S最大时，有 1 1 (2) nn nn SSn SS ，解此不等式组确定n的范 围，进而确定n的值和对应 n S的值（即 n S的最值） . 热点 3 等比数列基本量的计算 1. 【 2015 高考广东，文13】若三个正数a，b，c成等比数列，其中52 6a，52 6c，则 b 2. 等比数列x，33x，66x，, 的的第四项等于（） A.-24 B.0 C.12 D.24 3. 【 2014 高考江苏卷第7 题】在各项均为正数的等比数列 n a中，若 2 1a， 864 2aaa，则 6 a的值 是 . 4.【2014 高考安徽卷文第12 题】

12、如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边2 2BC，过点A作BC的垂 线，垂足为 1 A；过点 1 A作AC的垂线，垂足为 2 A；过点 2 A作 1 AC的垂线，垂足为 3 A； , ，以此类推，设 1 BAa， 12 AAa， 123 A Aa， , ， 567 A Aa，则 7 a_. 来源 学# 科# 网 【解题技巧】（1）对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意 “相除”消元的方法，同时要注意整体代入( 换元 ) 思想方法的应用 （2）在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公式 q是否等于1的判断和讨论 【方法规律】关于等比数列的基本运算，其实质就是解方

13、程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面： 一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵 活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量，例如第13 题，将条件中的等式转化为关于 1 a和q的方程组，解得 1 a和q，从而解决问题 热点 4 等比数列性质的综合运用 1 【2014 高考北京版理第5 题】设 n a是公比为q的等比数列， 则“1q”是“ n a为递增数列” 的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2. 【 2015 高考新课标1，文13】数列 n a

14、中 11 2,2, nnn aaaS为 n a的前n 项和，若126 n S，则 n. 3. 【 2014 高考福建卷文第17 题】在等比数列 n a中， 25 3,81aa. （1）求 n a； （2）设 3 log nn ba，求数列 n b的前n项和 n S. 4.【2014 高 考上海文第23 题】已知数列 n a满足 11 1 3,*,1 3 nnn aaanNa. （1）若 234 2,9aax a，求x的取值范围； （2）若 n a是等比数列，且 1 1000 m a，正整数m的最小值，以及m取最小值时相应 n a的仅比； （3）若 12100 ,a aa成等差数列，求数列 12

15、100 ,a aa的公差的取值范围. 【方法规律】等比数列的性质：（1）通项公式的推广： * ( ,) n m nm aaqn mN（2）若 * ( , ,)klmn k l m nN，则 klmn aaaa；（3）等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比 数列，即 232 , nnnnn S SS SS成等比数列，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例 如第 18 题，利用等比数列的下标性质，可以快速求解问题 【解题技巧】(1) 由 1nn aqa，0q并不 能立即断言 n a为等比数列，还要验证 1 0a， (2) 在运用等比数列的前n 项和公式时， 必须注意对1q与1

16、q分类讨论， 防止因忽略1q这一特殊情形 导致解题失误 【热点预测】 1.公比为 3 2等比数列 n a的各项都是正 数, 且 311 16a a, 则 216 log a（） A4B5CD 2. 【河北省“五个一名校联盟” 2015 届高三教学质量监测（一）】在等差数列 n a中， 9 a= 12 1 6 2 a,则 数列 n a的前 11 项和 11 S= （） A24 B 48 C66 D132 3. 设等比数列 an的前 n 项积 nnaaaaP321 ，若 127 32PP，则 10 a等于 ( ) (A)16 (B)8 (C)4 (D)2 4. 【湖北省武汉市2015 届高三 9

17、月调研测试】如图，互不相同的点 1 A， 2 A， , ， n A， , 和 1 B， 2 B， , ， n B， , 分别在角O的两条边上， 所有 nn A B相互平行， 且所有梯形 1!nnnn A B BA 的面积均相等 设 nn OAa， 若 1 1a， 2 2a，则 9 a（） A19 B22 C5 D2 7 5. 【河北省“五个一名校联盟” 2015 届高三教学质量监测（一）】已知定义在 R上的函数)(xf 是奇函 数且满足)() 2 3 (xfxf，3)2(f，数列 n a满足1 1 a，且21 nn Sa nn ，（其中 n S为 n a 的前n项和），则)()( 65 afa

18、f ( ) A3B2 C3 D2 6.【湖北省稳派教育 2014 届高三上学期强化训练（三） 】将函数xy2cos的图象向右平移 6 个单位长后 与直线)0(1 mmy相交，记图象在y轴右侧的第)N(n n个交点的横坐标为 n a，若数列 n a为等 成数列，则所有m的可能值为（） A. 1 B.2 C.1 或2D. 1 或2 7. 【成都外国语学校高2014 届高三（下）二月月考数学】若在数列 n a中，对任意正整数n，都有 22 1nn aap（常数），则称数列 n a为“等方和数列”，称p为“公方和”，若数列 n a为“等方和 数列”，其前n项和为 n S，且“公方和”为1，首项 1 1

19、a，则 2014 S的最大值与最小值之和为（） A,2014 B.1007 C. 1 D.2 8. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且 ，则下列结论错误的是（） A. B.C, D.与均为的最大值 9. 在正项等比数列 n a中， 5 1 2 a， 67 3aa. 则满足 1212nn aaaa aa的最大正整数n的 值为 . 10. 若等比数列 an满足a2a4=20，a3a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= . 11. 【湖北省部分重点中学2014-2015 学年度上学期高三起点考试】已知各项均为正数的数列 na满足：nS 为数列 n a的前 n项和，且 2 ， n

20、a ， n S 成等差数列 . （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 21 () 2 n b n a， n n n b c a 求数列 n c的前 n项和 . 12. 已知等比数列 n a的各项均为正数，且 2 4a， 34 24aa. (1) 求数列 n a的通项公式； (2) 设 nn ab 2 log，求数列 nn ab的前n项和 n T. *Nnanq n Kn 87665 KKKKK， 1 7 a 59 KK 6 K 7 K n K10q 13. 【四川省成都市2015 届高中毕业班摸底测试16】已知等差数列 n a的前 n 项和为nS ，且 * 273,49,aSnN (1) 求数列 n a的通项公式； (2) 设 1 (1) 2 n n n a b n ，求数列 nb的前 n 项和 Tn. 14. 【湖北省武汉市2015 届高三 9 月调研测试】已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a，0 n a， 1 1 nnn a aS，其中为常数 （1）证明： 2nn aa； （2）当为何值时，数列 n a为等差数列？并说明理由