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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明： 来源: 学。科。网 1. 了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2理解直线与圆锥曲线的位置关系 来源 :Zxxk.Com 3理解数形结合思想的应用. 2. 命题方向预测： 直线与圆锥曲线的综合考查，主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、 定点定值的探索问题等考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力同时着重考查学生的分析 问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目. 预测：本节内容仍是2016 年高考的热点之一，题型仍以解答题为主，难度可能会偏难内容会围绕直线与 圆锥曲线的位置关系，展开对定
2、值、最值、参数取值范围等问题的考查设计出探究性、存在性问题也属 正常 分值 1216 分会更加注重知识间的联系与综合，更加注重对综合应用知识解决问题的能力的考查， 更加注重对数学思想方法尤其是函数思想、数形结合思想及分类讨论思想的考查. 3. 名师二级结论： 一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆 锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方 程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求( 过定点、平行弦) 弦中点轨迹、垂直平分线问题必须 提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式
3、是否为正数 一条规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘” 直线与椭圆的相交弦长问题： 弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点 1122 ()()M xyN xy，则弦长公式为 MN 22 1212 (1)()4kxxx x或MN 2 12122 1 (1)(y)4yy y k 直线与抛物线的相交弦长问题： 已知过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点 F 的直线交抛物线于A、B 两点 . 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则： 焦点弦长 12 2 2 |() sin p ABxxpABAB或为的倾斜角 2 2 1212 - 4 p x xy yp， 112
4、 |FAFBp ，其中 |AF|叫做焦半径， 1 | 2 p FAx 焦点弦长最小值为2p.根据 2 2 | sin2 p AB可见，当为时，即 AB 垂直于 x 轴时，弦AB 的长最 短，最短值为2p. 求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视 (1) 重视定义在解题中的作用； (2) 重视平面几何知识在解题中的作用； (3) 重视根与系数的关系在解题中的作用； (4) 重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用 求参数的取值范围 根据已知条件建立等式或不等关系，再求参数的取值范围 4. 考点交汇展示： （1）与基本不等式的应用交汇 【2014 四川高考理第10 题】 已知F是抛物线 2
5、 yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， 2OA OB （其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是（） A2B3C 172 8 D10 （2）与解三角形交汇 设 12 ,F F是椭圆 22 22 1(0,0) xy mn mn 的两个焦点，P为椭圆上任意一点，当 12 F PF取最大值时的 余弦值为 1 49 则（）椭圆的离心率为； 来源:Zxxk.Com （）若椭圆上存在一点A, 使 22 0OAOFF A (O为坐标原点) ，且 12 AFAF , 则的值 为 (3)与平面向量交汇 过双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的左焦点F 作直线交双曲线的两
6、条渐近线与A,B 两点，若2FAFB， 2 ()OB OAOB , 则双曲线的离心率为（） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【考点分类】 热点一直线与圆锥曲线的位置关系 1. 【 2015高考安徽，文 20】 设椭圆 E的方程为 22 22 1(0), xy ab ab 点 O 为坐标原点， 点 A的坐标为( ,0)a, 点 B 的坐标为（ 0，b）,点 M 在线段 AB 上，满足2,BMMA直线 OM 的斜率为 5 10 . （）求E 的离心率e; （）设点C 的坐标为（ 0，-b）,N 为线段 AC 的中点，证明：MNAB. 2. 【 2015 高考北京， 文 20】 （本小题满分
7、14 分）已知椭圆C: 22 33xy，过点D 1,0且不过点2,1 的直线与椭圆C交于， 两点，直线与直线 3x 交于点 （I ）求椭圆C的离心率； （II ）若垂直于x轴，求直线的斜率； （III）试判断直线与直线D的位置关系，并说明理由 3. 【2014 高考陕西第20 题】 如图，曲线C由上半椭圆 22 122 :1(0,0) yx Caby ab 和部分抛物线 2 2: 1(0)Cyxy连接而成， 12 ,C C的公共点为,A B，其中 1 C的离心率为 3 2 . （1）求,a b的值； （2）过点B的直线l与 12 ,C C分别交于,P Q（均异于点,A B），若APAQ，求直线
8、l的方程 . 4. 如图， 抛物线 2 :4E yx的焦点为F，准线l与 x 轴的交点为A.点 C在抛物线E上，以 C为圆心，CO为 半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M ，N. （I ）若点 C的纵坐标为2，求MN； （II ）若 2 AFAMAN，求圆 C的半径 . 【方法总结】 1. 直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的 技巧研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个 数，要注意消元后方程的二次项系数是否含参，若含参需讨论，同时充分利用根与系数的关系进行整体运 算变形有时对于选择，填空题
9、，也常利用几何条件，利用数形结合的方法求解 2. 涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问 题若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率比较两种方法，用“点差法”计算量 较小，此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式 加以检验 热点二轨迹问题 1. 【2015 高考湖南， 文 20】（本小题满分13 分）已知抛物线 2 1: 4Cxy的焦点 F 也是椭圆 22 222 :1 yx C ab (0)ab的一个焦点， 1 C与 2 C的公共弦长为2 6，过点F 的直线l与 1 C相交于,A B两点，与 2 C相交 于,C D两点，
10、且AC与BD同向 . （I）求 2 C的方程； （II）若ACBD，求直线l的斜率 . 2.【2015 高考 陕西，理20】（本小题满分12 分）已知椭圆: 22 22 1 xy ab （0ab）的半焦距为c， 原点到经过两点,0c，0,b的直线的距离为 1 2 c （I）求椭圆的离心率； （II）如图，是圆: 225 21 2 xy的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的 方程 3. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1( 1,0) F， 2(1,0) F，且椭圆C经过点 4 1 (, ) 3 3 P. （）求椭圆C的离心率； （）设过点(0, 2)A的直
11、线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且 222 211 |AQAMAN ，求点Q的轨迹方程 . 4. 如图，抛物线 22 12002 :4 ,:20 .,Cxy Cxpy pMxyC点在抛物线上， 1 MC过作 0 ,.12A B MOA BOx的切线，切点为为原点时，重合于当时， 1 . 2 MA切线的斜率为 - （I ）求p的值； （II ） 2 MCABN当在上运动时，求线段中点 的轨迹方程 ,.A BOO重合于时 中点为 【方法总结】 求轨迹方程的常用方法 (1) 直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y) 0； (2) 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方
12、程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其 待定系数； (3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (4) 代入转移法： 动点P(x，y) 依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化， 并且Q(x0，y0) 又在某已知曲线上， 则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程； 热点三最值与范围问题 1.【2015 高考山东，文21】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 22 22 +=1(0) xy b b 的离心率 为 3 2 ，且点（3， 1 2 ）在椭圆C上. （）求椭圆C的方程； （） 设椭圆E
13、： 22 22 +=1 44 xy ab ，P为椭圆C上任意一点， 过点P的直 线=+ykxm交椭圆E于,A B 两点，射线PO交椭圆E于点Q. （i ）求 | | OQ OP 的值； 来源 : 学。科。网 Z 。X 。 X 。K (ii)求ABQ面积的最大值 . 2. 【2015 高考重庆， 文 21】如题（ 21）图， 椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的左右焦点分别为 1 F, 2 F,且过 2 F 的直线交椭圆于P,Q 两点，且 PQ 1 PF. ()若| 1 PF|=2+2，| 2 PF|=2-2，求椭圆的标准方程. ()若|PQ|=| 1 PF|，且 3 4 4 3 ，试
14、确定椭圆离心率的取值范围. 3. 如图，点)1,0(P是椭圆)0(1: 2 2 2 2 1 ba b y a x C的一个顶点， 1 C的长轴是圆4: 22 2 yxC的直 径. 21,l l是过点P且互相垂直的两条直线，其中 1 l交圆 2 C于两点， 2 l交椭圆 1 C于另一点D （）求椭圆 1 C的方程； （）求ABD面积取最大值时直线 1 l的方程 . 4. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab , (1,0)F 为其右焦点，离心率为 1 2 . ( ) 求椭圆C的标准方程； ( ) 若点 1 (0, ) 2 E，问是否存在直线:lykxm，使l与椭圆 C 交于,M
15、N两点，且 () ()0EMENEMEN 若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由 【方法总结】 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1) 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线 或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题 (2) 求最值常见的解法有两种：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图 形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再 求这个函数的最值 热点四定值和定点问题 1. 【2015 高考上海，文22】（本题满分14 分）本题共3
16、 个小题，第1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小 题 6 分. 已知椭圆 12 22 yx，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于A、B和C、D，设AOC的面积 为S. （1）设),( 11 yxA，),( 22 yxC，用A、C的坐标表示点C到直线 1 l的距离， 并证明|2 1221 yxyxS； （2）设kxyl : 1 ，) 3 3 , 3 3 (C， 3 1 S，求k的值； （3）设 1 l与 2 l的斜率之积为m，求m的值，使得无论 1 l与 2 l如何变动，面积S保持不变 . 2. 【2015 高考四川，理20】如图，椭圆E： 22 22 +1(0) xy ab
17、ab 的离心率是 2 2 ，过点 P（ 0,1）的动直 线l与椭圆相交于A， B 两点，当直线l平行与 x轴时，直线 l被椭圆 E 截得的线段长为22. (1)求椭圆 E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得 QAPA QBPB 恒成立？若存在，求出 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 3. 已知动圆过定点A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦MN的长为 8. ( ) 求动圆圆心的轨迹C的方程 ; ( ) 已知点 B( 1,0), 设不垂直于x 轴的直线l与轨迹 C交于不同的两点P, Q, 若 x 轴是PBQ 的角 平分线 , 证明直线 l 过定点
18、. 4. 椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别是 12 ,F F，离心率为 2 3 ，过 1 F且垂直于x轴的直 线被椭圆C截得的线段长为1. （）求椭圆C的方程； （）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接 12 ,PF PF，设 12 F PF的角平分线PM交C的长轴于 点 ,0Mm ，求m的取值范围； （）在 （）的条件下， 过点P作斜率为k的 直线l, 使l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线的 12 ,PF PF 斜率分别为 12 ,k k. 若0k，试证明 12 11 kkkk 为定值，并求出这个定值. 【方法总结】 1求定值问题常见的方法有两种 (1)
19、从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 2定点的探索与证明问题 (1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于 直线系的思想找出定点 (2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 热点五存在性问题 1.【2015 高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1 所示 O 是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕 O 转动， 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子D 可沿滑槽 AB 滑动，且1DNON，3MN当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动
20、N 绕 O 转动， M 处的笔尖画出的椭圆记为C以 O 为原点，AB所在的 直线为x轴建立如图2 所示的平面直角坐标系 （）求椭圆C 的方程； （） 设动直线 l 与两定直线 1:20lxy和2:20lxy分别交于 ,P Q 两点 若直线 l 总与椭圆 C 有且只有 一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 2. 如图，椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：经过点 P（1. ），离心率e= ，直线 l 的方程为 x=4. （1）求椭圆 C的方程； （2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线 AB与直线 l 相交于点M ，记
21、 PA，PB ，PM的斜 率分别为 123 ,k k k. 问：是否存在常数，使得 123 +=kkk？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 3. 【 2015 高考新课标1，理 20】在直角坐标系xoy中，曲线C：y= 2 4 x 与直线ykxa(a0)交 与 M,N 两点， （）当k=0 时，分别求C 在点 M 和 N 处的切线方程； （） y 轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由 . 4. （本小题满分 13分）设 A是单位圆 x 2+y2=1上的任意一点， i 是过点 A与x轴垂直的直线，D是直线 i 与 x轴的交 点，点 M 在直线 l 上，且满足丨 DM 丨 =m 丨DA 丨（ m0,且m 1）。当点 A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线 C。 （I ）求曲线 C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标； （）过原点且斜率为k的直线交曲线 C于P、Q 两点，其中 P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线 QN 交 曲线 C于另一点 H，是否存在 m ，使得对任意的k0，都有 PQ PH ？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由。 【方法总结】 化解探索性问题的方法