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1、三角函数的性质与应用 【考纲要求】 （1）了解三角函数的周期性； （2）理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2 上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x轴的交点 等） ； （3）理解正切函数在区间 , 22 内的单调性 【命题规律】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、 最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难 度中低档为主，主要有两种考查题型：（ 1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质 求相关的参数值（或取值范围） 预计 2018 年高考对三角函数的性质的考查仍
2、会集中在对称性、单调性、 周期性和最值问题，体现整体 思想的应用 【典型高考试题变式】 （一）三角函数的周期性 例 1 【2017 山东】函数3sin2cos2yxx最小正周期为（） A 2 B 2 3 CD2 【答案】 C 【解析】 31 2sin 2cos22sin2 226 yxxx， 2 2 T，故选 C 来源 学。科。网 Z。X 。X。K 【方法技巧归纳】求解三角函数的周期性的方法： （1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一， 最高次数为一次的形式， 然后借助于常见三角函数的周期来求解 （2）三角函数的最小正周期的求法有：由定义出发去探求；公式法：化成si
3、n()yAx，或 tan()yAx等类型后，用基本结论 2 | T或 | T来确定；根据图象来判断 【变式 1】 【例题中的解析式改变了，选择题改为填空题】函数 2 1cos2sinfxxx的最小正周期 是_ 【变式2 】 【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数 sin3cosfxkxkx 的最小正周期是 3 ，则正数 k 的值为 （二）三角函数的单调性 例 2【2015新课标1】函数( )f x=cos()x的部分图像如图所示，则( )f x的单调递减区间为 （） A 13 (,), 44 kkkZB 13 (2,2), 44 kkkZ C 13 (,),
4、 44 kkkZD 13 (2,2), 44 kkkZ 【答案】 D 【方法技巧归纳】求解三角函数的单调性的方法： （1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用 数形结合方法求解 （2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法： 子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组 )求解； 反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集， 列不等式 (组 )求解 【变式1】 【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数 2sin1(0,)fxx的一
5、个零点是 3 x， 6 x是y fx的图像的一条对称轴， 则取最小值时，fx的单调增区间是（） A 71 3,3, 36 kkkZB 51 3,3, 36 kkkZ C 21 2,2, 36 kkkZD 11 2,2, 36 kkkZ 【变式2】 【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函 数 sin3cos0fxxxx 的单调增区间是_ （三）三角函数的奇偶性 例 3 【2014 安徽】 若将函数xxxf2cos2sin)(的图像向右平移个单位， 所得图像关于 y轴对 称，则的最小正值是（） A 8 B. 4 C 8 3 D 4 3 【答案】 C 【方法
6、技巧归纳】求解三角函数的奇偶性的策略： （1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数； 复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”一般情况下，需先对函数式进行化 简，再判断其奇偶性； （ 2 ） 两 个 常 见 结 论 ： 若 函 数 sinfxAx 为 奇 函 数 ， 则 kkZ ； 若 函 数 sinfxAx为偶函数，则 2 kkZ；若函数cosfxAx为奇函数，则 2 kkZ；若函数cosfxAx为偶函数，则kkZ 【变式 1】 【命 题中由先求解析式改为直接给出解析，且由偶函数改为奇函数，所求基本不变】若函数 cos0,2
7、33 x fxx是奇函数，则（） A 2 B 2 3 C 3 2 D 5 3 【变式2】 【命题中解析式变为含有初相外的另一参数的非标准正弦型函数，所求解问题没有变】使函 数 sin3cosfxxx, 22 是奇函数，且最小正周期为，则 （四）三角函数的对称性 来源 学。科。网 例 4【2016 新课标 2】若将函数y=2sin 2x的图像向左平移 12 个单位长度， 则平移后图像的对称轴 为（） Ax= 26 k (kZ) Bx= 26 k (kZ) Cx= 212 k (k Z) Dx= 212 k (kZ) 【答案】 B 【解析】由题意，将函数2sin 2yx的图像向左平移 12 个单位
8、长度得函数 2sin 2() 12 yx 2sin(2) 6 x的图像，则平移后函数图像的对称轴为 2 , 62 xkkZ，即 , 62 k xkZ，故选 B 【方法技巧归纳】求解三角函数对称性的方法： （1）求函数sin()yAx的对称中心、 对称轴问题往往转化为解方程问题：由sinyx的对称 中心是(0)k ，kZ，所以sin()yAx的中心， 由方程xk解出x即可； 因为sinyx 的对称轴是 2 xk，kZ，所以可由 2 xk解出x，即为函数sin()yAx的对称 轴； (3)注意tanyx的对称中心为 1 (,0)() 2 kkZ； （2）对于函数sin()yAx，其对称轴一定经过图
9、象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的 零点，因此在判断直线 0 xx或点 0,0 x是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 0 fx的值进行 判断 【变式 1】 【例题由正弦改为余弦，由求对称轴改为求对称中心】将函数 2cos 4 6 yx的图象向左 平移 12 个单位后，得到的图象的一个对称中心为（） A ,0 4 B ,0 6 C ,0 3 D 5 ,0 12 【变式 2】 【由例题求函数的对称轴改为根据函数的对称性求解参数】如果函数2sin 2yx的图 像关于点 4 ,0 3 中心对称，那么的最小值为（） A 6 B 4 C 3 D 2 （五）三角函数的最值 例 5【2017 课
10、标 II】函数 2 3 ( )sin3 cos 4 fxxx(0,) 2 x的最大值是 _ 【答案】 1 【解析】化简三角函数的解析式，则 23 1cos3 cos 4 fxxx 21 cos3 cos 4 xx 2 3 (cos)1 2 x，由0, 2 x可得cos0,1x，当 3 cos 2 x时，函数( )f x取得最大 值 1 【方法技巧归纳】求解三角函数的值域(最值 )常见的题目类型及求解策略： （1）形如sincosyaxbxk的三角函数化为sin()yAxk的形式，再利用正弦曲线的知 识求最值 (值域 )； （2）形如 2 sinsinyaxbxk的三角函数，可先设sinxt，化
11、为关于t的二次函数求值域(最值 )； （3）形如sin cossincosyaxxbxxc的三角函数，可先设sincostxx，化为关于t的二次 函数求值域 (最值 ). 【变式 1】 【例题中的解析式改变了，给定区间改变了，求最大值改为求最小值】函数 2 2 14cos4sin, 43 fxxx x，则fx的最小值为 _ 来源 :Zxxk.Com 【变式 2】 【例题中解析式改为含有字母的解析式，所求最大值没改】 设a为常数， 且1,02ax， 则函数 2 cos2 sin1fxxax的最大值为（） A21aB21aC21aD 2 a 【数学思想】 1函数与方程的思想 主要体现在求解析式中含
12、有参数的函数性质问题时，通常要通过建立方程解决；求解三角函数的最值 有时可以转化二次函数，利用二次函数的最值知识求解 2转化与化归的思想 主要体现在求解函数的性质（奇偶性、对称性、单调性、周期性最值等）时，通常要将函数转化为形 如 sinyAx 的形式，再利用正弦曲线的性质求解 来源学科网 ZXXK 3分类讨论的思想 主要体现在求解解析式、定义域中含有参数的函数性质时，由于参数的取值范围不同，可能造成不同 的结果，此时常常要考虑利用分类讨论的思想求解 4整体代换的思想 求较为复杂的三角函数的性质时，首先化简成sin()yAx的形式，通常将x看作一 个整体， 代入sinyx的单调区间、对称轴（或
13、中心）可求得相应的单调性区间与对称轴（或中心） 【注意事项】 1求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域三 角函数存在多个单调区间时易错用“”联结 2闭区间上的最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数 对最值的影响 3处理三角函数的奇偶性或最值等性质时，必须树立“定义域优先”的意识 4 利用函数的单调性比较两个三角函数值的大小时，必须将考虑所涉及到的角是否在同一单调区间内， 否则会造成错判学= 科网 5利用换元法处理三角函数的最值时，注意确定新元范围，如令 sin ,1,1tx t ， sincos ,2,2txx
14、t 【典例试题演练】 1 【四川外语学院重庆第二外国语学校2017 届高三3 月月考】下列函数中，最小正周期为的偶函数是 ( ) Asin(2) 2 yxBcos(2) 2 yxCsin 2cos2yxxDsincosyxx 2 【东北三省三校2017 年高三第二次联合模拟】函数sincos 6 fxxx的值域为（） A2,2B3,3C1,1D 33 , 22 3【陕西师范大学附属中学2017 届高三上学期第二次模考】函数 sin 23cos 2fxxx是 偶函数的充要条件是（） A, 6 kkZB2, 6 kkZ C, 3 kkZD2, 3 kkZ 4 【2016 届黑龙江省大庆实验中学高三
15、上期末】函数sin()0fxx在区间0, 4 上单调递增， 在区间, 43 上单调递减，则为（） A 1 B2 C 3 2 D 2 3 5若将函数sin2yx的图象向左平移 6 个单位，则平移后的图象（） A关于点 ,0 12 对称B关于直线 12 x对称 C关于点 ,0 12 对称D关于直线 12 x对称 6 【2017 届福建厦门一中高三理上期中】若函数13 tancos , 36 fxxxx，则fx的最 大值为（） A 1 B 2 C3D31来源 学 科 网 7 【四川省泸州市2017年高三下学期3 月】函数 2 sin3sin cosfxxxx的图像的一条对称轴为 （） A 12 xB
16、 6 xC 5 6 xD 7 12 x x 8 【河南省兰考县第二高级中学2017 学年高三下学期月考】已知函数 3sincos(0)fxxx ， yfx的图像与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则fx的单调递增区间是( ) A, 36 kkkZB 511 , 1212 kkkZ C 5 , 1212 kkkZD 2 , 63 kkkZ 9 【河北省石家庄市高三数学一模】函数 sinfxAx (0A,0)的最小正周期为,其图象 关于直线 3 x对称 ,则的最小值为 ( ) A 12 B 6 C 5 6 D 5 12 10 【辽宁省大连市2017届高三第一次模拟】若方程2sin 2 6 xm在0
17、, 2 x 上有两个不相等的 实数解 12 ,x x，则 12 xx（） A 2 B 4 C 3 D 2 3 11 【2017 届福建厦门一中高三理上期中】若函数 1 sin 2cos 2 fxxax在 0,上单调递增，则a的 取值范围是（） A, 1B1,C,1D1, 12 【福建省师大附中2017年高三下学期月考】已知函数 cos,(0,) 4 fxxxR，若函数 fx在区间, 2 内单调递减，则的取值范围为( ) A 1 5 , 2 4 B 1 3 , 2 4 C 3 0, 4 D 3 ,2 4 13 【甘肃省肃南县一中2017 年高三上学期模拟】定义一种运算 , , a ab ab b
18、 ab ，令 2 3 cossin 2 fxxx，且, 22 x，则函数 2 fx的最大值是（） A. 1 2 B. 3 2 C. 5 4 D. 1 14 【2017 届湖北荆州市高三上质检一】已知函数 3 sin 2 fxaxxaR，且在0, 2 上的最大值 为 3 2 ，则实数a的值为 ( ) A 1 2 B1 C 3 2 D2 15 【湖南省邵阳市2016-2017学年普通高中学业水平考试模拟】函数cos2fxx的最小正周期为 _ 16 【河北省衡水中学2017 年高考猜题卷 （一） 】若函数sin3sin 44 fxaxx是偶函数， 则实数a的值是_ 17 【河南省新乡市2017届高三
19、第三次模拟】若函数sin 3 fxx（01）的图象关于点 2,0对称，则_ 18 【2017 届湖南省岳阳市高三教学质量检测试卷（二） 】若点,是函数sin3cosfxxx的一个 对称中心，则 cos2sin cos_ 19 【甘肃省兰州市2017 年高考实战模拟】 已知函数：2sin2 3 fxx； 2sin 2 6 fxx； 1 2sin 23 fxx； 1 2sin 23 fxx 其中，最小正周期为且图象关于直线 3 x 对称的函数序号是_ 20 【河南省息县第一高级中学2017 届高三第七次适应性】已知点4, 3P在角的终边上，函数 cosfxx的图象上离y轴最近的两个对称中心间的距离
20、为 2 ，则 8 f的值为 _ 21 【江西省上饶市2017 届高三第二次模拟】已知函数sin 332sincos 22fxxxx， 其中，若fx在区间 2 , 63 上单调递减，则的最大值为 _ 22 【2017 届四川双流中学高三必得分训练5】 已知函数 2 3 ( )sinsin 2 2 f xxx （1）求函数( )fx的解析式及其最小正周期； （2）当0, 3 x时，求函数( )f x的值域学 + 科网 23 【2017 届湖北荆州市高三上质检一】已知函数 21 3sincoscos 2 fxxxx （1）求函数 fx 的对称中心； （2）求 fx 在 0, 上的单调区间 24 【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟】已知函数cosfxx（0） ， g xf xf x是偶函数 （1）求的值； （2）求函数yfxg x在区间0, 2 的最大值