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1、+二一九高考数学学习资料+2.4二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数yxn是定义域上的增函数()(5)若函数f(x)(k21)x22x3在(，2)上单调递增，则k.()(6)已知f(x)x24x5，x0,3)，则f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.()2(2013重庆)(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.答案B解析因为 ，所以当a时，的
2、值最大，最大值为.3函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上()A先减后增 B先增后减C单调递减 D单调递增答案D解析由f(x)为偶函数可得m0，f(x)x23，f(x)在区间(5，3)上单调递增4已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析yx22x3的对称轴为x1.当m2时，ymaxf(m)m22m33，m0或m2，无解1m2.5若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_答案1或2解析由，解得m1或2.经检验m1或2都适合.题型一二次函数的图象和性质例1已知函数f(x)x22ax3，x4,
3、6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用解(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(3)当
4、a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)，f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_答案y(x2)21(2)若函数f(x)2x2mx1在区间1，)上递增，则f(1)的取值范围是_答案(，3解析抛
5、物线开口向上，对称轴为x，1，m4.又f(1)1m3，f(1)(，3题型二二次函数的应用例2已知函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围思维启迪利用f(x)的最小值为f(1)0可列两个方程求出a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决解(1)由题意有f(1)ab10，且1，a1，b2.f(x)x22x1，单调减区间为(，1，单调增区间为1，)(2)f(x)xk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，
6、则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k(m2m1) ，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.思维启迪(1)由幂函数的定义可得n22n21，再利用f(x)的单调性、对称性求n；(2)构造函数yx，利用函数单调性求m范围答案(1)B(2)D解析(1)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1适合题意，故选B.(2)因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1m2m1，得1m2，综上mf(a1)的实数a的取值范围解(1)m2mm(m1)，mN*，而m与m1中必有一个为偶数
7、，m(m1)为偶数函数f(x)x(m2m)1(mN*)的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数(2)函数f(x)经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.f(x)x.由f(2a)f(a1)得解得1a.a的取值范围为1，)分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)(1)若a1，作出函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式思维启迪(1)因f(x)的表达式中含|x|，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图(2)因aR，而a的取值决定f(x)
8、的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决规范解答解(1)当a1时，f(x)x2|x|1.3分作图(如右图所示)5分(2)当x1,2时，f(x)ax2x2a1.6分若a0，则f(x)x1在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)3.7分若a0，则f(x)a22a1，f(x)图象的对称轴是直线x.当a0时，f(x)在区间1,2上是减函数，g(a)f(2)6a3.当0时，f(x)在区间1,2上是增函数，g(a)f(1)3a2.当12，即a时，g(a)f2a1.当2，即0a0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的
9、图象下降，反之也成立失误与防范1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.A组专项基础训练一、选择题1若f(x)x2ax1有负值，则实数a的取值范围是()Aa2 B2a2或a2 D1a0，则a2或a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故
10、应排除B，因此选C.3如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(0)f(2)f(2)答案D解析由f(1x)f(x)知f(x)的图象关于x对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)f(2)f(2)4设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x1)0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x1.
11、所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.5已知f(x)x，若0ab1，则下列各式中正确的是()Af(a)f(b)f()f()Bf()f()f(b)f(a)Cf(a)f(b)f()f()Df()f(a)f()f(b)答案C解析因为函数f(x)x在(0，)上是增函数，又0ab0，0m.综上0m.7若方程x211x30a0的两根均大于5，则实数a的取值范围是_答案0a解析令f(x)x211x30a.结合图象有，02x的解集为(1,3)若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的单调区间解f(x)2x0的解集为(1,3)，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，f(x)a(x1)
12、(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.方程有两个相等的根，(24a)24a9a0，解得a1或a.由于a0，舍去a1.将a代入式得f(x)x2x(x3)2，函数f(x)的单调增区间是(，3，单调减区间是3，)10已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.(1)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.B组专项能力提升1设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3,1) D(，3)(1，)答案C解析当a0时，(
13、)a71，即2a3，3a0.当a0时，1，0a1.故3abc，abc0，集合Am|f(m)0BmA，都有f(m3)0Cm0A，使得f(m03)0Dm0A，使得f(m03)bc，abc0可知a0，c0，且f(1)0，f(0)c1时，f(x)0.由ab，得1，设方程ax2bxc0的另一个根为x1，则x111，即x12，由f(m)0可得2m1，所以1m30，选A.3已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值域为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1且0.1a0.(1)求证：21；(2)若x1、x2是方程f(x)0的两个实根，求|x1x2|的取值
14、范围(1)证明当a0时，f(0)c，f(1)2bc，又bc0，则f(0)f(1)c(2bc)c20即(1)(2)0，从而21.(2)解x1、x2是方程f(x)0的两个实根，则x1x2，x1x2，那么(x1x2)2(x1x2)24x1x2()24()2()2.21，(x1x2)2，|x1x2|0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2.f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又x的最小值为0，x的最大值为2.2b0.故b的取值范围是2,0高考数学复习精品高考数学复习精品