《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第十章 10.3.DOC》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第十章 10.3.DOC（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、+二一九高考数学学习资料+10.3二项式定理1.二项式定理(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(r0,1,2，n)叫做二项式系数.式中的Canrbr叫做二项展开式的通项，用Tr1表示，即展开式的第r1项：Tr1Canrbr.2.二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3.二项式系
2、数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当r时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大.当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCCC2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(ab)n的展开式中
3、某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.()2.(12x)5的展开式中，x2的系数等于_. 答案40解析Tr1CanrbrC15r(2x)rC2rxr，令r2，则可得含x2项的系数为C2240.3.在()n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_.答案7解析由题意有n8，Tr1C()8r(1)rx8r，r6时为常数项，常数项为7.4.已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于_.答案63解析逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.5.设(x
4、1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.答案0解析a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10C，a11C，所以a10a11CC0.题型一求二项展开式的指定项或指定项系数例1已知在n的展开式中，第6项为常数项.(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.思维启迪先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再求指定项.解(1)通项公式为Tr1C rxCr.因为第6项为常数项，所以r5时，0，即n10.(2)令2，得r2，故含x2的项的系数是C2.(3)根据通项公式，由题意，令m (mZ)，则102r3m，r5m，rN，m应为偶数.m可取2,0
5、，2，即r可取2,5,8，第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可.(1)(2013江西改编)5展开式中的常数项为_.(2)(x)(2x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为_.答案(1)40(2)40解析(1)Tr1C(x2)5rrC(2)rx105r，令105r0得r2.常数项为T3C(2)240.(2)令x1得(1a)(21)51a2，所以a1.因此(x)(2x)5展开式中的
6、常数项即为(2x)5展开式中的系数与x的系数的和.(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r(1)rxrC25rx52r(1)r.令52r1，得2r4，即r2，因此(2x)5展开式中x的系数为C252(1)280.令52r1，得2r6，即r3，因此(2x)5展开式中的系数为C253(1)340.所以(x)(2x)5展开式中的常数项为804040.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例2在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维
7、启迪求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解.解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a
8、3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.已知f(x
9、)(1x)m(12x)n (m，nN*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.解(1)由已知得C2C11，m2n11，x2的系数为C22C2n(n1)(11m)2.mN*，m5时，x2的系数取得最小值22，此时n3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m5，n3，f(x)(1x)5(12x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)a0a1xa2x2a5x5，令x1，a0a1a2a3a4a52533，令x1，a0a1a2a3a4a51，两式相减得2(a1a3a5)60，故展开式中x的奇次幂项的系
10、数之和为30.题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n5na能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)思维启迪(1)将已知式子按二项式定理展开，注意转化时和25的联系；(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可.解(1)原式46n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应
11、关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(1)(2012湖北改编)设aZ，且0a0，y0).(1)当m3时，求f(6，y)的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f(4，y)a0，且a332，求i；(3)设n是正整数，t为正实数，实数t满足f(n,1)mnf(n，t)，求证：f(2 010,1 000)7f(2 010，t).(1)解f(6，y)(1)6，故展开式中二项式系数最大的项是第4项T4C()3.(2)解f(4，y)a0(1)4，a3Cm332，所以m2.i(1)481.(3)证明由f(n,1)mnf(n，t)，得(1m)nmn(1)n(m)n，即1mm，m，f(2 010,1 000)(1)2 010(1)2 0101CC()2C()3C()41227.而f(2 010，t)(1)2 010(1)2 0107f(2 010，t).高考数学复习精品高考数学复习精品