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1、1 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 天津理科数学 1.(2016 天津 ,理 1)已知集合A=1,2,3,4, B= y|y= 3x-2,xA, 则 AB=() A.1 B.4 C.1,3 D.1,4 答案 D由题意知集合B= 1,4,7,10, 则 A B= 1,4 .故选 D. 2.(2016 天津 ,理 2)设变量 x,y满足约束条件 - - - 则目标函数z=2x+5y 的最小值为 () A.-4 B.6 C.10 D.17 答案 B如图 ,作出变量x,y 满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC 及其内部 ,点 A,B,C 的坐标 依次为 (0,2),(3,0),(1,3)
2、 .由图可知 ,将 z=2x+5y 变形为 y=- x+ ,可知当 y=- x+ 经过点 B时,z取最小值 6.故选 B. 3.(2016 天津 ,理 3)在ABC 中 ,若 AB=,BC= 3,C= 120,则 AC= () A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A由余弦定理得 13=9+AC 2 +3AC? AC= 1.故选 A. 4.(2016 天津 ,理 4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S的值为 () A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B依次循环:S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,满足条件 ,结束循环,输出 S=4.故选 B. 2 5.(2016 天津
3、 ,理 5)设an是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“ q0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲 线的两条渐近线相交于A,B,C,D 四点 ,四边形 ABCD 的面积为2b,则双曲线的方程为() A.= 1 B.=1 C.=1 D.= 1 答案 D根据对称性,不妨设点 A 在第一象限 ,其坐标为 (x,y),于是有 ?则 xy=? b 2= 12.故所求双曲线的方程为 =1,故选 D. 7.(2016 天津 ,理 7)已知 ABC 是边长为1的等边三角形 ,点 D,E 分别是边AB,BC 的中点 ,连接 DE 并延 长到点 F,使得 DE= 2EF,则的值为 () A.-B
4、.C.D. 答案 B设 =a,=b,则(b-a),(b-a),=- a+ (b-a)=- a+ b.故=- a b+ b 2=- ,应选 B. 8.(2016 天津 ,理 8)已知函数f(x)= - (a0,且 a 1)在 R 上单调递减 ,且关于 x 的 方程 |f(x)|= 2-x 恰有两个不相等的实数解,则 a的取值范围是() A.B. C.D. 答案 C由函数 f(x)在 R 上单调递减 ,可得 - 解得a . 当 x0 时,由 f(x)=0 得 x0= -1. 3 又a ,-12,即 x0 (0,2. 如图 ,作出 y=|loga(x+1)+ 1|(x 0)的图象 ,由图知当 x0
5、时,方程 |f(x)|= 2-x 只有一解 . 当 x0 时,解得 a1. 又a,a. 方程有一负根x0和一零根 ,则有 x0 0=3a-2= 0,解得 a= . 此时 x0+ 0= 2-4a=- f (- ),则 a的取值范围是. 答案 解析 由题意知函数f(x)在区间 (0,+ )上单调递减,又 f(x)是偶函数,则不等式 f(2|a-1|)f (- )可化为 f(2 |a-1|)f ( ),则 2 |a-1|0)的焦点为F,准线为 l.过抛物线上一点A 作 l 的 垂线 ,垂足为 B.设 C,AF 与 BC 相交于点E.若|CF|= 2|AF|,且ACE 的面积为3,则 p 的值 为.
6、答案 解析 由题意知抛物线的普通方程为 y2=2px,焦点为 F,|CF|= p- = 3p,又|CF|= 2|AF| ,则|AF|=p. 由抛物线的定义得|AB|= p,所以 xA=p ,则 yA=p. 由 CFAB,得 ,即=2,所以 SCEF=2SCEA= 6,SACF=SAEC+SCFE=9.所以 3pp=9,解得 p=.又知 p0,所以 p=. 15.(2016 天津 ,理 15)已知函数f(x)=4tan xsin- cos- . (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论 f(x)在区间- 上的单调性 . 6 解 (1)f(x)的定义域为. f(x)=4tan xcos
7、 xcos- =4sin xcos- =4sin x =2sin xcos x+2sin 2x- = sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin-, 所以 ,f(x)的最小正周期T= = . (2)令 z=2x- ,函数 y=2sin z的单调递增区间是 -,kZ.由- + 2k 2x- + 2k ,得-+k x+k ,kZ.设 A= -,B=-,易知 AB= -.所以 ,当 x -时,f(x)在区间-上单调递增 ,在区间-上单调递减 . 16.(2016 天津 ,理 16)某小组共10 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数 分别为
8、3,3,4,现从这 10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会. (1)设 A为事件 “ 选出的 2 人参加义工活动次数之和为4” ,求事件 A 发生的概率 ; (2)设 X为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解 (1)由已知 ,有 P(A)= . 所以 ,事件 A 发生的概率为 . (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=. 所以 ,随机变量X 的分布列为 X0 12 P 随机变量X的数学期望E(X)=0 +1+2= 1. 7 17.(2016 天津 ,理 17)如图 ,正方形 ABCD
9、 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形 ,平面 OBEF平面 ABCD , 点 G 为 AB 的中点 ,AB=BE= 2. (1)求证 :EG平面 ADF ; (2)求二面角O-EF-C 的正弦值 ; (3)设 H 为线段 AF 上的点 ,且 AH= HF ,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. 解 依题意 ,OF平面 ABCD,如图 ,以 O 为原点 ,分别以的方向为 x 轴、 y 轴、 z轴的正方向 建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(- 1,
10、0,0). (1)证明 :依题意 ,= (2,0,0),=(1,-1,2). 设 n1=(x,y,z)为平面 ADF 的法向量 , 则即 - 不妨设 z=1,可得 n1= (0,2,1), 又 = (0,1,-2),可得 n1= 0, 又因为直线EG? 平面 ADF ,所以 EG平面 ADF. (2)易证 ,=(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量 .依题意 ,= (1,1,0),= (-1,1,2). 设 n2=(x,y,z)为平面 CEF 的法向量 , 则即 - 不妨设 x= 1,可得 n2= (1,-1,1). 因此有 cos= =- , 于是 sin=. 所以 ,二面角 O-EF
11、-C 的正弦值为 . 8 (3)由 AH=HF ,得 AH=AF. 因为 =(1,-1,2), 所以-, 进而有 H -,从而, 因此 cos= =- . 所以 ,直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 . 18.(2016 天津 ,理 18)已知 an是各项均为正数的等差数列,公差为 d.对任意的nN *,b n是 an和 an+ 1的 等比中项 . (1)设 cn=,nN *,求证 :数列 c n是等差数列 ; (2)设 a1=d,Tn=(-1) k ,nN * ,求证 :. 证明 (1)由题意得 =anan+1,有 cn=an+1an+ 2-anan+1=2dan+1, 因此 cn
12、+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以 cn是等差数列 . (2)Tn= (-)+(-)+ + (- - )= 2d(a2+a4+a2n)= 2d= 2d 2n(n+1). 所以 -. 19.(2016 天津 ,理 19)设椭圆= 1(a)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中 O 为 原点 ,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点B(B 不在 x 轴上 ),垂直于 l 的直线与l 交于点 M,与 y 轴交于点H. 若 BFHF ,且 MOA MAO ,求直线 l 的斜率的取值范围. 解 (1)设 F(c,0),由 , 即 - ,可得
13、 a 2 -c 2= 3c2, 又 a 2-c2=b2= 3,所以 c2= 1,因此 a2= 4. 所以 ,椭圆的方程为 =1. (2)设直线 l 的斜率为k(k 0), 则直线 l 的方程为y=k (x-2). 9 设 B(xB,yB),由方程组 - 消去 y,整理得 (4k 2+ 3)x2-16k2x+ 16k2-12= 0. 解得 x=2,或 x= - , 由题意得 xB= - ,从而 yB= - . 由(1)知,F(1,0),设 H(0,yH),有 =(-1,yH), - . 由 BF HF,得 = 0,所以 - =0,解得 yH= - . 因此直线 MH 的方程为 y=- x+ -
14、. 设 M(xM,yM),由方程组 - - - 消去 y, 解得 xM= . 在 MAO 中,MOA MAO? |MA| |MO| , 即(xM-2)2+ ,化简得 xM1,即 1,解得 k- ,或 k. 所以 ,直线 l 的斜率的取值范围为 -. 20.(2016 天津 ,理 20)设函数 f(x)=(x-1) 3-ax-b,xR,其中 a,b R. (1)求 f(x)的单调区间 ; (2)若 f(x)存在极值点x0,且 f(x1)=f (x0),其中 x1 x0,求证 :x1+2x0= 3; (3)设 a0,函数 g(x)=|f (x)|,求证 :g(x)在区间 0,2上的最大值不小于 .
15、 (1)解由 f(x)=(x-1) 3-ax-b,可得 f(x)= 3(x-1)2-a. 下面分两种情况讨论: 当 a0 时,有 f(x)= 3(x-1) 2-a0 恒成立 ,所以 f(x)的单调递增区间 为 (-,+ ). 当 a0时 ,令 f(x)=0,解得 x=1+,或 x= 1-. 当 x 变化时 ,f(x),f(x)的变化情况如下表: x - , 1- -, 1+ , f(x)+0-0+ 10 f(x) 单调递 增 极大 值 单调递 减 极小 值 单调递 增 所以 f(x)的单调递减区间为- ,单调递增区间为 -. (2)证明 因为 f(x)存在极值点,所以由 (1)知 a0,且 x
16、0 1.由题意 ,得 f(x0)=3(x0-1) 2-a= 0,即(x 0-1) 2= ,进 而 f(x0)= (x0-1) 3-ax 0-b=-x0- -b. 又 f(3-2x0)=(2-2x0) 3-a(3-2x 0)-b=(1-x0)+ 2ax0-3a-b=-x0- -b=f (x0), 且 3-2x0 x0,由题意及 (1)知,存在唯一实数 x1满足 f(x1)=f (x0),且 x1 x0,因此 x1= 3-2x0.所以 x1+ 2x0= 3. (3)证明 设 g(x)在区间 0,2上的最大值为 M,max x,y 表示 x,y 两数的最大值 .下面分三种情况讨论: 当 a3 时,1-0f =f-, 所以 f(x)在区间 0,2 上的取值范围为f(0),f(2), 因此 M= max |f(0)|,|f(2)|= max|-1-b|,|1-2a-b| =max |1-a+ (a+b )|,|1-a-(a+b )| 11 =1-a+|a+b|. 综上所述 ,当 a0 时,g(x)在区间 0,2上的最大值不小于 .