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1、第二十一章一元二次方程 一、知识结构： 一元二次方程 韦达定理 根的判别 解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1) 定义： 只含有一个未知数 ，并且 未知数的最高次数是 2 ，这样的 整式方程 就是一元二次方程。 (2) 一般表达式： )0(0 2 acbxax 难点：如何理解“未知数的最高次数是2” ： 该项系数不为“ 0” ； 未知数指数为“ 2” ； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例 1 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A 1213 2 xx B 02 11 2 xx C 0 2 cbxaxD 12 22 xxx 变
2、式：当 k 时，关于 x 的方程 32 22 xxkx是一元二次方程。 例 2 方程0132mxxm m 是关于 x 的一元二次方程，则m的值为。 针对练习： 1、方程 78 2 x的一次项系数是，常数项是。 2、若方程 02 1m xm是关于 x 的一元一次方程， 求 m的值；写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程 11 2 xmxm是关于 x 的一元二次方程，则m的取值范围是。 4、若方程 nx m +x n-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是
3、方程的解。 应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例 1、已知 32 2 yy的值为 2，则124 2 yy的值为。 例 2、关于 x 的一元二次方程 042 22 axxa 的一个根为 0，则 a 的值为。 例 3、已知关于 x 的一元二次方程 00 2 acbxax的系数满足bca，则此方程 必有一根为。 例 4、已知 ba , 是方程 04 2 mxx的两个根，cb ,是方程058 2 myy的两个根， 则 m的值为。 针对练习： 1、已知方程 010 2 kxx 的一根是 2，则 k 为，另一根是。 2、已知关于 x 的方程 02 2 kxx 的一个解与方程 3 1 1 x x
4、 的解相同。 求 k 的值；方程的另一个解。 3、已知 m是方程 01 2 xx的一个根，则代数式mm 2 。 4、已知 a 是 013 2 xx 的根，则 aa62 2 。 5、方程 0 2 acxcbxba的一个根为（） A 1 B 1 C cb D a 6、若 yx 则 yx324,0352 。 考点三、解法 方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点： 降次 类型一、直接开方法： mxmmx,0 2 对于 max 2 ， 22 nbxmax等形式均适用直接开方法 典型例题： 例 1、解方程： ;0821 2 x 2 16252x=0; ;0913 2 x 例 2、若 22
5、21619xx，则 x 的值为。 针对练习： 下列方程无解的是（） A. 123 22 xx B.02 2 x C.xx132 D.09 2 x 类型二、因式分解法 :0 21 xxxx 21, xxxx或 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ， 方程形式：如 22 nbxmax ， cxaxbxax ， 02 22 aaxx 典型例题： 例 1、3532xxx的根为（） A 2 5 x B 3x C 3, 2 5 21 xx D 5 2 x 例 2、若04434 2 yxyx，则 4x+y 的值为。 变式 1： 2222 2 22 ,06b则ababa。 变式 2：若 0
6、32yxyx ，则 x+y 的值为。 变式 3：若 14 2 yxyx，28 2 xxyy，则 x+y 的值为。 例 3、方程 06 2 xx的解为（） A. 23 21 ，xx B.23 21 ，xx C.33 21 ，xx D.22 21 ，xx 针对练习： 1、下列说法中： 方程 0 2 qpxx的二根为 1 x， 2 x，则)( 21 2 xxxxqpxx )4)(2(86 2 xxxx. )3)(2(65 22 aababa )()( 22 yxyxyxyx 方程07)13( 2 x可变形为0)713)(713(xx 正确的有（） A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 2、以 7
7、1 与 71 为根的一元二次方程是（） A 062 2 xx B062 2 xx C 062 2 yy D 062 2 yy 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足 023yxyx ，则 x+y 的值为（） A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 2 5、方程： 2 1 2 2 x x 的解是。 类型三、配方法 00 2 acbxax 2 2 2 4 4 2a acb a b x 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。
8、 典型例题： 例1、 试用配方法说明 32 2 xx 的值恒大于 0。 例2、 已知 x、y 为实数，求代数式 742 22 yxyx的最小值。 例3、 已知，x、y yxyx01364 22 为实数，求 y x的值。 例4、 分解因式：3124 2 xx 针对练习： 1、试用配方法说明 4710 2 xx的值恒小于 0。 2、已知 04 11 2 2 x x x x，则 x x 1 . 3、若 91232 2 xxt，则 t 的最大值为，最小值为。 类型四、公式法 条件： 04,0 2 acba且 公式： a acbb x 2 4 2 , 04,0 2 acba且 典型例题： 例 1、选择适
9、当方法解下列方程： .613 2 x.863xx014 2 xx 0143 2 xx 5211313xxxx 例 2、在实数范围内分解因式： （1） 322 2 xx；（2）184 2 xx. 22 542yxyx 说明：对于二次三项式 cbxax 2 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令 cbxax 2 =0，求出两根，再写成 cbxax 2 = )( 21 xxxxa. 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、 “降次思想”的应用 求代数式的值；解二元二次方程组。 典型例题： 例1、 已知023 2 xx，求代数
10、式 1 11 2 3 x xx 的值。 例 2、如果 01 2 xx，那么代数式72 23 xx的值。 例 3、已知a是一元二次方程 013 2 xx的一根，求 1 152 2 23 a aaa 的值。 例 4、用两种不同的方法解方程组 )2(.065 )1(,62 22 yxyx yx 说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题 . 考点四、根的判别式 acb4 2 根的判别式的作用： 定根的个数； 求待定系数的值； 应用于其它。 典型例题： 例 1、若关于 x的方程012 2 xk
11、x有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。 例 2、关于 x 的方程 021 2 mmxxm有实数根，则 m的取值范围是 ( ) A. 10且mm B. 0m C. 1m D. 1m 例 3、已知关于 x 的方程 022 2 kxkx (1) 求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根； (2) 若等腰ABC的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。 例 4、已知二次三项式 2)6(9 2 mxmx是一个完全平方式，试求m的值. 例 5、m为何值时，方程组 .3 ,62 22 ymx yx 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？ 针对练习： 1、当 k 时，关于 x 的二
12、次三项式 9 2 kxx是完全平方式。 2、当 k取何值时，多项式kxx243 2 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3、已知方程 02 2 mxmx有两个不相等的实数根，则m的值是 . 4、k为何值时，方程组 .0124 ,2 2 yxy kxy （1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解 . 5、当 k取何值时，方程042344 22 kmmxmxx的根与 m 均为有理数？ 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例 1、关于 x 的方程 0321 2 mxxm 有两个实数根，则m为 , 只有一个根，则 m为。 例2、 不解方程，判
13、断关于x 的方程32 22 kkxx根的情况。 例 3、如果关于 x 的方程 02 2 kxx及方程02 2 kxx均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。 考点六、应用解答题 “碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题； “最值”型问题；“图表”类问题 典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990 次，问晚宴共有多少人出席？ 2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90 张，那么这个小组共多少人？ 3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根 据计划，第一年投入资金60
14、0 万元，第二年比第一年减少 3 1 ，第三年比第二年减少 2 1 ，该产品第一年 收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利 3 1 ，要实现这一目 标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1 ， 61.313 ） 4、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月 能售出 500 千克，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10 千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克55 元时，计算月销售量和月销售利润。 （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000 元， 销售单
15、价应定为多少？ 5、将一条长 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。 （3）两个正方形的面积之和最小为多少？ 6、A、B两地间的路程为36千米. 甲从 A地，乙从 B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2 小 时 30 分到达 B地，乙再走 1 小时 36 分到达 A地，求两人的速度 . 考点七、根与系数的关系 前提：对于0 2 cbxax而言，当满足0a、0时， 才能用韦达定理。
16、 主要内容： a c xx a b xx 2121 , 应用：整体代入求值。 典型例题： 例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程0782 2 xx的两根，则这个直角三 角形的斜边是（） A. 3 B.3 C.6 D.6 例 2、已知关于 x 的方程 0112 22 xkxk有两个不相等的实数根 21, x x， （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不 存在，请说明理由。 例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错 常数项，而得到解为8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1 。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？ 例 4、已知 ba ， 012 2 aa，012 2 bb，求ba。 变式：若 012 2 aa，012 2 bb，则 a b b a 的值为。 例 5、已知,是方程01 2 xx的两个根，那么3 4 . 针对练习： 1、解方程组 )2(5 )1(,3 22 yx yx 2已知47 2 aa，47 2 bb)(ba，求 b a a b 的值。 3、已知 21, x x是方程09 2 xx的两实数根，求6637 2 2 2 3 1 xxx的值。