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1、- 1 - 13 、分式总复习 【知识精读】 分 式 定 义 ：（、为 整 式 ，中 含 有 字 母 ） 性 质 通 分 ： 约 分 ： 分 式 方 程 定 义 ： 分 母 含 有 未 知 数的 方 程 。 如 解 法 思 想 ： 把 分 式 方 程 转 化为 整 式 方 程 方 法 ： 两 边 同 乘 以 最 简公 分 母 依 据 ： 等 式 的 基 本 性 质 注 意 ： 必 须 验 根 应 用 ： 列 分 式 方 程 解 应用 题 及 在 其 它 学 科 中 的应 用 A B A B AM BM M A B AM BM M xx ABB () () 0 0 5 1 1 3 【分类解析】
2、1. 分式有意义的应用 例 1. 若abab10，试判断 1 1 1 1ab ，是否有意义。 分析： 要判断 1 1 1 1ab ，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因 式分解，即可判断ab11，与零的关系。 解： abab10 a bb()()110 即()()ba110 b10或a10 1 1 1 1ab ， 中至少有一个无意义。 - 2 - 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例 2. 计算： aa a aa a 22 1 1 31 3 分析：如果先通分， 分子运算量较大， 观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分 离分式法”简化计算。 解：
3、 原式 a a a a a a ()()11 1 31 3 a a a a aa aa aa a aa 1 1 1 3 1 1 1 3 31 13 22 13 () ()() ()() ()() 例 3. 解方程：1 1 76 55 56 2 2 2 xx xx xx 分析： 因为xxxx 2 7616()()，xxxx 2 5623()()，所以最简公 分母为：()()()()xxxx1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于 xx xx xx xxxx 2 2 2 22 55 56 561 56 1 1 56 故可得如下解法。 解： xx xxxx 2 22 561 56 1 1
4、56 原方程变为1 1 76 1 1 56 22 xxxx - 3 - 1 76 1 56 7656 0 22 22 xxxx xxxx x 经检验， x0是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例 4. 已知aa 2 69与|b1互为相反数，求代数式 () 42 2 2222 22 22 ab ab aba b aabb a bab b a 的值。 分 析 ： 要 求 代 数 式 的 值 ， 则 需 通 过 已 知 条 件 求 出a 、 b的 值 ， 又 因 为 aaa 22 6930()，|b10，利用非负数及相反数的性质可求出a、b 的值。 解： 由已知得ab3010，解得ab31，
5、原式 ()()() () 42 2 22 ab ab ab ab ba aabb ab ab b a () ()() () () ()() () ()() ab ab ab ab ababb ab ab b a ab ab ab ab ab ab ab ab b a ab a b 2222 2 2 2 2 1 把ab31，代入得：原式 1 12 4. 用方程解决实际问题 例 5. 一列火车从车站开出，预计行程 450 千米， 当它开出3 小时后， 因特殊任务多停一 站，耽误 30 分钟，后来把速度提高了0.2 倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。 解： 设这列火车的速度为x 千米 /时
6、- 4 - 根据题意，得 450 3 1 2 4503 12x x x. 方程两边都乘以12x ，得5400 42450030xx 解得x 75 经检验，x75是原方程的根 答： 这列火车原来的速度为75 千米 /时。 5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。 而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例 6. 已知x y y 23 32 ，试用含x 的代数式表示y，并证明()()32 3213xy。 解： 由x y y 23 32 ，得3223xyxy 3223 3223 23 32 xyyx xyx y x x () () () ()() 32
7、 3 23 32 2 6964 32 13 32 32 3213 x y y yy yy xy 6、中考原题： 例 1已知 M xy xyy xy xy xy 22 2 22 2 ，则 M _ 。 分析： 通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出 M 。 解： 2 2 22 xyy xy xy xy - 5 - 22 222 22 2 22 22 xyyxxyy xy x xy M xy Mx 2 例 2已知xx 2 320，那么代数式 ()xx x 11 1 32 的值是 _ 。 分析：先化简所求分式，发现把xx 2 3看成整体代入即可求的结果。 解：原式()(
8、)xxxxxxx112113 222 xxxx 22 32032 原式xx 2 32 7、题型展示： 例 1. 当 x 取何值时，式子 | | x xx 2 32 2 有意义？当x 取什么数时，该式子值为零？ 解： 由xxxx 2 32120()() 得x 1或2 所以，当 x1和x2时，原分式有意义 由分子| | x 20得x2 当x2时，分母xx 2 320 当x2时，分母xx 2 320，原分式无意义。 所以当x2时，式子 | | x xx 2 32 2 的值为零 - 6 - 例 2. 求 xmn xmn xmn xmn xm xn 2 2 22 22 () () 的值，其中xmn23
9、1 2 。 分析： 先化简，再求值。 解： 原式 ()() ()() ()() ()() xmxn xmxn xmxm xnxn () () xm xn 2 2 xmn xmxnmn 23 1 2 23 1 4 1 6 ， 原式 () () () () xm xn mm nn 2 2 2 2 2 3 m n 2 2 2 24 1 4 4 1 6 9 16 () () 【实战模拟】 1. 当 x 取何值时，分式 21 1 1 x x 有意义？ 2. 有一根烧红的铁钉，质量是m ，温度是t0，它放出热量Q 后，温度降为多少？（铁的 比热为 c） - 7 - 3. 计算：xy y xy x y yx
10、 2 4 2 4 4 22 22 4. 解方程： x x x x x x x x 2 1 4 3 6 5 8 7 - 8 - 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单 独做则要超过3 天。现在甲、乙两人合作2 天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定 日期是多少天？ 6. 已知43602700xyzxyzxyz，求 xyz xyz2 的值。 - 9 - 【试题答案】 1. 解： 由题意得 x x 0 1 1 0 解得x0且x1 当x 0且x1时，原式有意义 2. 解： 设温度降为t，由已知得： Qmc tttt Q mc tt Q mc () 00 0
11、答： 温度降为()t Q mc 0 。 3. 分析： 此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。 因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。 解： 原式 ()() ()() xyxyy xy x y yxyx 224 2 4 22 22 x xy x y xyxy xx yx y xyxy xxy xyxy x xy 22 322 2 2 2 4 22 24 22 2 22 2 ()() ()() () ()() 4. 解： 原方程化为1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 7xxxx 1 1 1 3 1 5 1 7xxxx 方程两边通分，得
12、 2 13 2 57()()()()xxxx ()()()()xxxx5713 - 10 - 化简得8 32x 解得x 4 经检验： x4是原方程的根。 说明： 解分式方程时，在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便的 方法，减少繁琐计算。 5. 分析： 设规定日期是x 天，则甲的工作效率为 1 x ，乙的工作效率为 1 3x ，工作总量 为 1 解： 设规定日期为x 天 根据题意，得2 11 3 2 3 1() xx x x 解得x6 经检验 x6是原方程的根 答： 规定日期是6 天。 6. 解：436012702xyzxyz( )( )， 由(1)(2) 解得 xz yz 3 2 xyz xyz zzz zzz2 32 322 4 3