初中数学培优专题12_全等三角形及其应用(含答案)[1].pdf

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1、- 1 - 全等三角形及其应用 【知识精读】 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全 等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫 对应角。2. 全等三角形的表示方法：若 ABC 和 ABC是全等的三角形， 记作 “ ABC ABC其中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示 对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应 边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找：如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角； 以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个

2、三角形全等时，对应顶点的字母都 写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹 的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种 不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 翻折如图（ 1），BOCEOD，BOC 可以看成是由EOD 沿直线AO 翻折 180 得到的； 旋转如图（2）， CODBOA ， COD 可以看成是由BOA 绕着点 O 旋转 180 得到的； 平移如图（ 3），DEFACB ，DEF 可以看成是

3、由ACB 沿 CB 方向平行移 动而得到的。 - 2 - 5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角 边公理（ 2） 推论：角角边定理 6. 注意问题：（ 1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明 两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA ；b :有两边和其中一角对应相等， 即 SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。 在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的 位置，常常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 （1）证明线段（或

4、角）相等 例 1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证： BF=FC 证明：在 ACD 和 ABE 中， AE=AD A= A AB=AC. ACD ABE (SAS) B= C（全等三角形对应角相等） 又 AD=AE,AB=AC. AB AD=AC AE 即 BD=CE 在DBF 和ECF 中 B=C BFD= CFE（对顶角相等） BD=CE DBF ECF （AAS ） BF=FC （全等三角形对应边相等） （2）证明线段平行 例 2：已知：如图， DEAC ，BFAC，垂足分别为E、F，DE=BF ，AF=CE. 求证： - 3 - ABCD DC BA E F 证明：DEAC ，B

5、FAC （已知）DEC BFA=90 （垂直的定义） 在ABF 与CDE 中， AF=CE （已知） DEC BFA （已证） DE=BF （已知） ABF CDE（SAS） C A (全等三角形对应角相等) ABCD （内错角相等， 两直线平 行） （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例 3：如图，在ABC 中，AB=AC ，延长 AB 到 D，使 BD=AB ，取 AB 的中点 E， 连接 CD 和 CE. 求证： CD=2CE 证明：取CD 中点 F，连接 BF BF= 1 2 AC,且 BFAC （三角形中位线定理） ACB 2 (两直线平行内错

6、角相等) 又AB=AC ACB 3 （等边对等角）3 2 在CEB 与CFB 中， BF=BE 3 2 CB=CB CEBCFB (SAS) CE=CF= 1 2 CD （全等三角形 对应边相等）即CD=2CE （）加倍法证明：延长CE 到 F，使 EF=CE，连 BF. AEBD C F 41 2 3 - 4 - 在AEC 与BEF 中， AE=BE 1 2 （对顶角相等） CE=FE AEC BEF (SAS) AC=BF, 4 3 (全等三角形对应边、对应角相等) BFAC (内错角相等两直线平行) ACB+ CBF=180 o, ABC+ CBD=180 o, 又 AB=AC ACB=

7、 ABC CBF=CBD （等角的补角相等） 在CFB 与CDB 中， CB=CB CBF=CBD BF=BD CFBCDB (SAS) CF=CD 即 CD=2CE (4)证明线段相互垂直 例 4：已知：如图，A、D、B 三点在同一条直线上，ADC 、 BDO 为等腰三角 形， AO 、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 证明：延长AO 交 BC 于 E,在ADO 和CDB 中 AD=DC ADO= CDB=90 o OD=DB ADO CDB (SAS) AO=BC, OAD= BCD （全等三角形对应边、对应角相等） AOD COE （对顶角相等） COE+ OCE=90

8、 o AO BC 5、中考点拨： 例 1如图，在ABC 中， ABAC，E 是 AB 的中点，以点E 为圆心， EB 为半径画弧， 交 BC 于点 D，连结 ED，并延长ED 到点 F，使 DF DE，连结 FC 求证： F A - 5 - 证明： ABAC， ACB B， EBED， ACB EDB ED AC BED A BEEA BDCD 又 DE DF， BDE CDF BDE CDF， BED F F A 例 2 如图， 已知ABC 为等边三角形， 延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AE=BD ， 连接 CE、DE.求证： EC=ED BCD E F A 证明：过D 点

9、作 DFAC 交 BE 于 F 点 ABC 为等边三角形BFD 为等边三角形BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BF AF 即 EF=AB EF=AC 在ACE 和 DFE 中， EF=AC （已证） EAC EDF (两直线平行，同位角相等) AE=FD ( 已证 ) AEC FED（SAS） EC=ED（全等三角形对应边相等） 题型展示： 例 1 如图， ABC 中， C2B， 1 2。求证： ABACCD 证明：在AB 上截取 AEAC，连结 DE AE AC， 1 2，ADAD，AED ACD， DEDC， AED C AED B EDB， C2B， 2B B E

10、DB 即 B EDB EBED，即 EDDC，ABACDC - 6 - 【实战模拟】 1. 下列判断正确的是（） （A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 （B）有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等 （C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2. 已知：如图， CDAB 于点 D，BE AC 于点 E，BE、CD 交于点 O，且 AO 平分 BAC求证： OBOC 3. 如图，已知C 为线段 AB 上的一点，ACM 和CBN 都是等边三角形，AN 和 CM 相交于 F 点， BM 和 CN 交于 E 点。求证：CEF

11、是等边三角形。 A B C M N EF 1 2 4.如图，在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线求证：AD 1 2 (AB+AC) - 7 - 5. 如图，在等腰RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于 E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G 求证：BDCG 【试题答案】 1. D 2.证明： AO平分ODB，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CE 交于点O， ODOE，ODBOEC 90, BODCOE。 BODCOE（ASA） OBOC 3. 分析由ACM=BCN=60 ，知ECF=60 ，欲证CEF 是等边三角形，只要证明 CEF 是等腰三

12、角形。 先证CAN MCB ， 得1=2.再证CFNCEB， 即可推得CEF 是等边三角形的结论。 证明：在CAN 和MCB ， - 8 - AC=MC ，CN=CB ， CAN=MCB=120 ， ACN MCB 中， FCB 和CEB 中， FCN=ECB=60 ，1=2，CN=CB ， CFNCEB， CF=CE， 又ECF=60 ， CEF 是等边三角形. 4. 分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于 AB、AC 、AD 不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是 将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD 是

13、 BC 边上的 中线，延长AD 至 E，使 DEAD ，即可得到 ACD EBD 证明：延长AD 到 E，使 DEAD ，连结 BE 在 ACD 与EBD 中 ACD EBD（SAS） ACEB（全等三角形对应边相等） 在ABE 中， ABEBAE（三角形两边之和大于第三边） AB AC2AD （等量代换） 说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。 - 9 - 5.分析：由于BD 与 CG 分别在两个三角形中，欲证BD 与 CG 相等，设法证CGE BDF 。由于全等条件不充分，可先证AEC CFB 证明：在 RtAEC 与 RtCFB 中， ACCB，AECD 于 E，BF

14、C 交 CD 的延长线于F AEC CFB90 又 ACB90 CAE90 ACE BCF RtAECRtCFB CEBF 在 RtBFD 与 RtCEG 中， F GEC90， CEBF， 由 FBD 90 FDB 90 CDH ECG， RtBFD RtCEG BDCG - 10 - 全等三角形及其应用 【知识精读】 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全 等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫 对应角。2. 全等三角形的表示方法：若 ABC 和 ABC是全等的三角形， 记作 “ ABC ABC其中，“”读作“全等于”。记

15、两个三角形全等时，通常把表示 对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应 边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找：如果两个三角形 全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常 情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角 形的记法便可写出对应的元素。（ 2）根据已知的对应元素寻找：全等三角形对应角所对 的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（ 3）通过观察，想象图形的运动变化状 况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出 其中一个是由另

16、一个经过下列各种运动而形成的。 翻折如图（ 1），BOCEOD，BOC 可以看成是由EOD 沿直线AO 翻折 180 得到的； 旋转如图（2）， CODBOA ， COD 可以看成是由BOA 绕着点 O 旋转 180 得到的； 平移如图（ 3），DEFACB ，DEF 可以看成是由ACB 沿 CB 方向平行移 动而得到的。 - 11 - 5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角 边公理（ 2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（ 1）在判定两个三角形全等时，至少有 一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA ；b : 有

17、两边和其中一角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具， 同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或 需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 （2）证明线段（或角）相等例 1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证： BF=FC （2）证明线段平行例2：已知：如图， DEAC，BFAC ，垂足分别为E、F，DE=BF ， AF=CE. 求证： AB CD DC BA E F （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例 3：如图，在ABC 中，

18、AB=AC ，延长 AB 到 D，使 BD=AB ，取 AB 的中点 E， 连接 CD 和 CE. 求证： CD=2CE (4)证明线段相互垂直例 4：已知：如图， A、D、B 三点在同一条直线上，ADC 、 BDO 为等腰三角形，AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 C BA O E D 5、中考点拨：例 1如图，在 ABC 中， ABAC，E 是 AB 的中点，以点E 为圆心， EB 为半径画弧，交BC 于点 D，连结 ED，并延长ED 到点 F，使 DFDE，连结 FC 求证： F A - 12 - 例 2 如图， 已知ABC 为等边三角形， 延长 BC 到 D，延长

19、 BA 到 E，并且使 AE=BD ， 连接 CE、DE.求证： EC=ED BCD E F A 题型展示： 例 1 如图， ABC 中， C2B， 1 2。求证： ABACCD 【实战模拟】1. 下列判断正确的是（）（ A）有两边和其中一边的对角对应相等的 两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30的两个等腰三角形全等（C） 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角 形全等 2. 已知：如图， CDAB 于点 D，BE AC 于点 E，BE、CD 交于点 O，且 AO 平分 BAC求证： OBOC 3. 如图，已知C 为线段 AB 上的一点，ACM 和CBN 都是等边三角形，AN 和 CM - 13 - 相交于 F 点， BM 和 CN 交于 E 点。求证：CEF 是等边三角形。 A B C M N EF 1 2 4.如图，在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线求证：AD 1 2 (AB+AC) 5. 如图，在等腰RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于 E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G求证：BDCG