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1、第 7 节对称问题 【基础知识】 1. 中点坐标公式 2两条直线的垂直关系 (1) 对于两条直线 12 ,l l，其斜率为 12 ,k k，有 1212 1llk k. (2) 对于两条直线 11112222 :0,:0lAxB yClA xB yC，有 121122 0llABA B. 【规律技巧】 涉及对称问题，主要有以下几种情况： 1若点 00 (,)P xy关于直线:0lAxByC对称， 设对称点是 00 (,)Q xy，则线段PQ的 中点在直线上且直线PQl，由此可得一方程组 0000 00 0 0 22 ()1 xxyy ABC yyA xxB ，解 这个方程组得： 00 ,xy的
2、值，从而求得对称点的坐标. 2若直线:0lAxByC关于点 00 (,)P xy对称，由于对称直线必与直线 :0lAxByC平行，故可设对称直线为 0 :0lAxByC. 因为直线, l l间的距离 是点P到直线:0lAxByC的距离的二倍，则有 000 2222 2 CCAxByC ABAB ， 解这个方程可得 0 C的值（注意这里求出的 0 C有两个），再结合图形可求得对称直线l的方 程 3若直线:0lAxByC关于直线 0000 :0lA xB yC对称，则在直线 :0lAxByC上取两点，求出这两点关于直线 0 l对称的两点的坐标，再由两点式便可 得直线关于直线 0 l对称的直线的方程
3、 om 【典例讲解】 【例 1】 已知直线l：2x3y10，点A( 1， 2) 求： (1) 点A关于直线l的对称点A的坐标； (2) 直线m： 3x2y60 关于直线l的对称直线m的方程； (3) 直线l关于点A( 1， 2) 对称的直线l的方程 解(1) 设A(x，y) ，再由已知 y 2 x 1 2 3 1， 2 x1 2 3 y 2 2 10， 解得 x 33 13， y 4 13， A 33 13， 4 13 . (2) 直线关于点的对称：求直线l关于点M(m，n) 的对称直线l的问题，主要依据l上的 任一点T(x，y) 关于M(m，n) 的对称点T(2mx，2ny) 必在l上 (3
4、) 点关于直线的对称：求已知点A(m，n)关于已知直线l：ykxb的对称点A(x0， y0) 的坐标， 一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线，列出关于x0，y0的方程组， 由“垂 直”得一方程，由“平分”得一方程 (4) 直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况： 一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行 【变式探究】光线沿直线l1：x2y50 射入，遇直线l： 3x2y70 后反射， 求反射光线所在的直线方程 【针对训练】 1、点(4,0)关于直线54210xy对称的点是（） A、 （ -6 ，8） B、 （-6 ，-8 ） C、 （ -8 ，-6
5、） D、 （6，8） 【答案】B 2、直线0632yx关于点(1, 1)对称的直线方程为_. 【答案】2380xy 3、已知直线 1 :10,: 220.l xylxy 若直线 2 l与 1 l关于对称 , 则 2 l的方程是 ( ) .210A xy .210B xy .10C xy .210D xy 【答案】B 4、在 ABC中，已知 A（2，3） ，角 B的外角平分线为Y轴，角 C的平分线为： x+y=4, 求 BC 边所在的直线方程. 【答案】370xy 【解析】由题意知直线BA、BC关于 Y轴对称，即A关于 Y轴的对称点 1 A2,3在直线 BC上；直线CA、BC关于对称，即A关于的
6、对称点 2 A1,2在直线BC上；直线BC 即直线 12 A A370xy：. 5、光线从2,0Q发出射到直线：x+y=4 上的 E点，经反射到y 轴上 F点，再经 y 轴反射又 回到 Q点，求直线EF的方程 . 【答案】320xy 【综合点评】 对称问题实际上是两直线位置关系的应用，主要是应用转化与化归思想、数形结合思想分析 求解 . 【练习巩固】 1若直线l1：yk(x4) 与直线l2关于点 (2，1) 对称，则直线l2经过定点 ( ) A(0， 4) B(0，2) C ( 2，4) D (4 ， 2) 解析直线l1：yk(x4)经过定点 (4 ，0)，其关于点 (2 ，1) 对称的点为
7、(0，2) ，又直 线l1：yk(x4) 与直线l2关于点 (2 ，1) 对称，故直线l2经过定点 (0 ，2) 答案B 2. 如图所示，已知两点A(4 ，0) ，B(0 ，4) ，从点P(2，0) 射出的光线经直线AB反射后 再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ( ) A210 B6 C33 D25 3 （2013重庆卷）已知圆C1：(x 2) 2(y 3)21，圆 C 2：(x 3) 2(y 4)29，M ， N分别是圆C1，C2上的动点， P为 x 轴上的动点，则|PM|PN| 的最小值为 ( ) A5 24 B. 171 C62 2 D.17 【答案
8、】 A 图 13 4 （2013湖南卷）在等腰直角三角形ABC中， AB AC 4，点 P是边 AB上异于 A，B 的一点，光线从点P出发，经BC ，CA反射后又回到点P(如图 11 所示 ) ，若光线QR经过 ABC的重心，则AP等于 ( ) 图 11 A2 B 1 C. 8 3 D. 4 3 【答案】 D 5、一条光线从点2, 3射出，经y轴反射后与圆 22 321xy相切，则反 射光线所在直线的斜率为（） （A） 5 3 或 3 5 （B） 3 2 或 2 3 （ C） 5 4 或 4 5 （D） 4 3 或 3 4 【答案】 D 6、已知 ABC的两个顶点A( 1，5) 和 B(0，
9、1) ，又知C 的平分线所在的直线方程为2x 3y60，求三角形各边所在直线的方程 易错分析： (1) 不能结合图形，分析直线的位置关系；（2）计算能力差，解方程组有误 正确解析：设A点关于直线2x 3y60 的对称点为A(x1，y1) ， 则 11 1 1 15 2360 22 53 12 xy y x ， ， 11 11 2350 3270 xy xy ， ， 解得 1 1 31 13 1 13 x y ， ， 即 A 311 1313 ，-， 同理，点B关于直线2x3y60 的对称点为B 36 41 13 13 -，. 角平分线是角的两边的对称轴，A点在直线BC上 直线 BC的方程为y
10、1 1 13 31 0 13 -(-） x 1，整理得12x31y310. 同理，直线AC的方程为y5 41 5 13 36 1) 13 - -( (x 1) ，整理得24x23y1390. 直线 AB的方程为y 51 1 0 -(-） x 1，整理得6xy10. 温馨提醒：在两直线位置关系问题研究中，涉及两直线的交点问题，即解方程组问题； 涉及两直线的垂直、平行的判定，一般将直线化成斜截式方程再进行判定. 注意点：一般式 方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即y的系数是否为0） ；数形结合思 想，是解析几何分析问题、解决问题的重要特征，要注意将几何问题与代数问题灵活地加以 转化 .